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高中数学选修 导数及其用附同步解答


高中数学选修 导数及其用 基础知识 1.导数的定义 2. 定义法求函数 y ? f (x) 的导数的一般方法: (1)求函数的改变量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) . (2)求平均变化率

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) . ? ?x ?x

(3)取极限,得导数

?y (?x ? 0) . ?x 3. y ? f (x) 上点( x0 , f ( x0 ) )处的切线方程为
y / = f ?( x) ?
y ? f ( x0 ) ? f / ( x0 )( x ? x0 ) ;
2.基本初等函数的求导公式: C '? 0 ; (kx ? b) ' ? k (k,b 为常数)

1 1 (log a x) ' ? log a e ? (a ? 0, 且a ? 0) x x ln a 1 (ln x)? ? x (sin x)' ? cos x ; (cos x)' ? ? sin x
王新敞
奎屯 新疆

3.导数的运算法则

?cf ( x)? ' ? cf ( x) ' ? f ( x) ? g ( x)? ' ? f '( x) ? g '( x) ? f ( x) g ( x)? ' ? f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x)
? f ( x) ? f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) ? ? ? g ( x) 2 ? g ( x) ?
'

( x a )' ? ax a ?1 ;
(a x ) ' ? a x ln a(a ? 0, 且a ? 0) (e x ) ' ? e x

( g ( x) ? 0)

4.复合函数求导步骤 y ? ? yu? ? u x? ,如 y ? (2 x ? 3) 2 的求导可下法求解: x

yx? ? yu? ? u x? ? (u 2 )? ? (2 x ? 3)? ? 2u ? 2 ? 2(2 x ? 3) ? 2 ? 8 x ? 12 。 5 函数的单调性 (1)利用导数的符号判断函数的单调性: 一般地,设函数 y ? f (x) 在某个区间可导,
如果 f (x) ? 0 ,则 f (x) 为增函数;
'

如果 f ( x) ? 0 ,则 f (x) 为减函数;
'

如果在某区间内恒有 f ( x) ? 0 ,则 f (x) 为常数;
'

(2) 对于可导函数 y ? f (x) 来说, f (x) ? 0 是 f (x) 在某个区间上为增函数的充分非必要条
'

件, f ( x) ? 0 是 f (x) 在某个区间上为减函数的充分非必要条件。 (3) 利用导数判断函数单调性的步骤: ①求函数 f(x)的导数 f′(x). ②令 f′(x)>0 解不等式,得 x 的范围就是递增区间. ③令 f′(x)<0 解不等式,得 x 的范围,就是递减区间.
'

4、常利用导数与函数单调性关系:即“若函数单调递增,则 f ( x) ? 0 ;若函数单调递减,则
'

f ' ( x) ? 0 ”来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解.
6. 函数极大值、极小值 (1)极大值与极小值统称为极值 , 极大值点与极小值点统称为极值点; f ?(c) ? 0 , x ? c 若 则 叫做函数 f(x)的驻点;可导函数的极值点必为驻点,但驻点不一定是极值点。 则 c 是 f (x) 的极值点, f (c) 是极值,并且如果 f ?(x) 在 c 两侧满足“左正右负” ,则 c 是 f (x) 的 极大值点,f (c) 是极大值; 如果 f ?(x) 在 c 两侧满足 “左负右正” 则 c 是 f (x) 的极小值点,f ( x0 ) , 是极小值 (3)求可导函数 f(x)的极值的步骤:
1

(2)判别 f(c)是极大、极小值的方法:若 x 0 满足 f ?(c) ? 0 ,且在 c 的两侧 f (x) 的导数异号,

①确定函数的定义区间,求导数 f ( x) ②求 f(x)的驻点,即求方程 f ( x) 的根 ③用函数的导数为 0 的点, 顺次将函数的定义区间分成若干小开区间, 并列成表格.检查 f ( x) 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正, 那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,那么 f(x)在这个根 处无极值 7 函数的最大值和最小值 在区间[a,b]上连续的函数 f (x) 在[a,b]上必有最大值与最小值。求闭区间 [a, b] 上连续的函 数 f (x) 的最大值和最小值的思想方法和步骤: (1)求函数? (x) 在(a,b)内的极值; (2)求函数? (x) 在区间端点的值?(a)、?(b); (3)将函数? (x) 的各极值与?(a)、?(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。
' '

'

1.质点运动方程是 S= t 。则质点在 t=2 时的瞬时速度为( A.6
' 2

3



B。12.
'

C.8

D.9

解: s =3 t ,t=2 时 s =12. 瞬时速度为 12,故选 B 2.求曲线 f(x)= x 在点 P(-2,4)处的切线方程为。 A.y=4x-4,
'

2





B.y=4x+4
'

C.y=-4x+4

D.y=-4x-4

解: f (x)=2x,斜率 k= f (-2)=-4,故选 D 3.曲线 x -y=0 在点(-2,-8)处切线方程是 A .y=12x-16
'

3



) D y=6x+8

By=6x-16
2

C y=12x+16

解: y =3 x ,切线斜率 k=12, 故选 C 4 曲线 f(x)= x 点(4,2)处切线方程是 A.x-4y+4=0 解: f (x)=
'



) D 4x+y+4=0

B x+4y+4=0

C。 4x-y+4=0.

1 2 x
3

,切线斜率 k=

1 ,处切线方程是 x-4y+4=0,故选 A 4
) D (-1,2)或(1,-2)

5、曲线 y ? x ? 3x 上切线平行于 x 轴的点的坐标是( A (-1,2)
2

B (1,-2)

C

(1,2)

解: y? ? 3x ? 3 ? 0, x ? ?1 ,故选 D

2

6.已知y ? ?

1 3 x ? 3x 2 ? 5, 则y'| x ?3 等于 ( ) 6
B.18 C. 27 2 D. 37 2

A.

35 2

7、过点 P(1,0)作曲线 y=- x 切线 l ,则 l 的方程为___ 解:设切点(a,b), f (x)=-3 x ,得切线斜率 k=-3 a ,
'

3

2

2

所以-3 a =

2

? a3 b 3 3 27 = ,得 a=0 或 a= ;切点(0,0)或( ,) 。 a ?1 a ?1 2 2 8

切线方程 y=0 或 54x+8y-54=0 8.若右图是 y=f(x)的导数图像则 f(x)的解析式可能是 ( ) A y= x
3

y

B y=- x
2
'

2

C y= x

2

D y=- x

3

0

x

解; y=- x 时, y =-2x 符合 y=f(x)的导数图像,故选 B 8. 若 f ( x) ? x , f ( x0 ) ? 9 ,则 x0 的值为(
3 '



A, 1,

B

3

C -1

D ? 3

' 2 解: y =3 x =9,x= ? 3 ,故选 D

9. f(x)=sinx,则 f ( A.0
'

'

? )= 2

( C. -1
'

) D.

B.1

解: f (x)=cosx, ? f (
n
'

? ? )=cos =0,故选 A 2 2
( D, 6 )

? 2

10. f(x)= x ,若 f (2)=12,则 n= A.3
'

B. 4
n ?1

C. 5 , n2
2

解: f (x)=n x
3

n ?1

=12,n=3,故选 A
'

11、 f ( x) ? ax ? 3x ? 2 ,若 f (?1) ? 4 ,则 a 的值等于(



10 3 10 2 解: f ?( x) ? 3ax ? 6 x, f ?(?1) ? 3a ? 6 ? 4, a ? ,故选 D 3
A. B. C. D.
3

19 3

16 3

13 3

12、函数 f(x)= a (a>0 且 a ? 1), f (2)= a ,则 a=
x
'

2

(

)

A 2
'

B e
x 2

C 4
2

D

e2

解: f (x)= a lna, a lna= a ,lna=1? a=e ,故选 B 13. .函数 f ( x) ? ? x ? x ? x 的单调减区间是
3 2

(

) D. (?1, )

A. ? ?,?1) (
'

B. ( , ?)
2

1 3

C. ? ?,?1) 和 ( , ?) (

1 3

1 3

解: f (x)=-3 x -2x+1<0,所以 x>
3 2

1 或 x<-1,故选 C 3


14.已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数,则实数 a 的( A. (??,? 3 ] ? [ 3,??) B. [? 3, 3 ] C. (??,? 3 ) ? ( 3 ,??)
'

D. (? 3, 3 )
2

解:曲线 f(x)在 (??,??) 上是单调函数, f (x)=-3 x +2ax-1, ? =4 a -12 ? 0,故选 B
2

15、函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9 ,已知 f (x) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a ? (
3 2

)

A.2
2

B.3

C.4

D.5

解: f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 3, f ?(?3) ? 3 ? 9 ? 6a ? 3 ? 0, a ? 5 ,故选 D 16.下图是 f ( x) 的图像,则正确的判断个数是( 1)f(x)在(-5,-3)上是减函数; 2)x=4 是极大值点; 3)x=2 是极值点; 4)f(x)在(-2,2)上先减后增; -5 A 0 B1 C2 D3 解:正确的判断是 2)和 4) ,故选 C 17.函数 f (x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ?(x) 在 (a, b)
y
'



y

-3

-2 0

2

4

x

内 的图象如图所示, 则函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内有极小值点 ( A) A.1 个 C.3 个 B.2 个 D. 4 个
a
O

y ? f ?(x)

b

x

18、函数 f (x) =-x +3x -3x+6 有

3

2





4

A.极大值 5

B 极小值 5

C 极小值 1

D 无极值

解:f ' (x)=-3 x 2 +6x-3=-3(x-1) 2 ? 0,所以 f (x) 在 R 上为减函数,故选 D

19. 设 y ? f ?( x) 是函数 y ? f ( x ) 的导数, y ? f ?( x) 的 图象如右图所示, 则 y ? f ( x ) 的图象最有可能是( )

、 20.若函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内可导,且 x0 ? (a, b) 则 lim
h ?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) h

的值为( A. f ( x0 ) 答案 lim
'

) B. 2 f ( x0 )
'

C. ?2 f ( x0 )
'

D. 0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) ? lim 2[ ] h ?0 h ?0 h 2h f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) ? 2lim ? 2 f ' ( x0 ) h ?0 2h 2 21.一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,
那么物体在 3 秒末的瞬时速度是( A. 7 米/秒 C. 5 米/秒
' 3



B. 6 米/秒 D. 8 米/秒
'

答案: s (t ) ? 2t ? 1, s (3) ? 2 ? 3 ? 1 ? 5 22.函数 y = x + x 的递增区间是( A. (0,??) C. (??,??)
' 2
3 2



B. (??,1) D. (1,??)
'

答案 y = 3x + 1 > 0 对于任何实数都恒成立 23. f ( x) ? ax ? 3x ? 2 ,若 f (?1) ? 4 ,则 a 的值等于( A. )

19 3 13 3

B.

16 3 10 3

C.

D.

5

答案 f ' ( x) ? 3ax 2 ? 6 x, f ' (?1) ? 3a ? 6 ? 4, a ?

10 3


24.函数 y ? f (x) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f (x) 在这点取极值的( A.充分条件 C.充要条件 B.必要条件 D.必要非充分条件
3 ' 2 '

答案 对于 f ( x) ? x , f ( x) ? 3x , f (0) ? 0, 不能推出 f ( x) 在 x ? 0 取极值,反之成立 25.函数 y ? x ? 4 x ? 3 在区间 ? ?2,3? 上的最小值为(
4



A. 72 C. 12
' 3

B. 36 D. 0
' 3 ' '

答案 y ? 4 x ? 4, 令y ? 0, 4 x ? 4 ? 0, x ? 1, 当x ? 1时, y ? 0;当x ? 1时, y ? 0 得 y极小值 ? y |x ?1 ? 0, 而端点的函数值 y |x ??2 ? 27, y |x ?3 ? 72 ,得 ymin ? 0 26、函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? a 的极大值为 6,那么 a 等于(
3 2



A.6
'

B.0
2

C.5

D.11

解:令 f (x)=6 x -6x=0.得 x=0 或 x=1,易得 x=0 极大值点,由 f(0)=6 得 a=6,故选 A 二、填空 27、函数 y= e 2 ,则 y =_________
'

解:常数函数的导数为 0,? y =0,
'

28、求曲线 y ? x ? 解: y =1+
'

1 在点 (1,0) 处的切线方程_____ x

1 ,则切线斜率 k=2, 切线方程 2 x ? y ? 1 ? 0 x2

29.某质点的运动方程是 S ? t 3 ? (2t ? 1) 2 ,则在 t=1s 时的瞬时速度为____________. 【解析】 S ? t ? 4t ? 4t ? 1 , S ? ? 3t ? 8t ? 4 ,当t=1时, S ? ? ?1
3 2 2

填: ?1 30.过原点作曲线 y ? e 的切线,则切点的坐标为
x

,切线的斜率为

.

【解析】设切点为 P( x0 , y0 ) , k ? 切点为 P(1, e) , k ? e 填: (1,e ) e

y0 e x0 ? e x0 , x0 ? 1 ,于是 ? f ?( x0 ) ,即 x0 x0

31.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 处有极值 10 ,则 a ?

, b ? __________.

6

? f (1) ? 10 ?a ? 4 ?a ? ?3 【解析】由 ? ,但当 a ? ?3 ,b ? 3 时, f ?( x) ? 3( x ?1) 2 ? 0 ,即 f ( x) ?? 或? f ?(1) ? 0 b ? ?11 b?3 ? ? ?
在 R 上是增函数,矛盾,故 a ? 4 , b ? ?11 填: 4, 11 ? 32.抛物线 y= x 上的点到直线 y=x-2 的最短距离为_______ 解:当切线与直线 y=x-2 平行时,切点到直线 y=x-2 的距离为所求最短距离。
2

7 2 1 1 ,则切点到直线 y=x-2 的距离为 。 y ' =2x=1,切点( , ) 8 2 4

4 的极大值为______极小值为________ x 4 ' 解: y =1- 2 =0,则 x=-2 或 x=2, x=-2 是极大值点,所以极大值为-4,x=2 是极小值点,所以极小 x
33、y=x+ 值为 4. 34.若 f ( x) ? x , f ( x0 ) ? 3 ,则 x0 的值为_________________;答案 ?1 f ( x0 ) ? 3x0 ? 3, x0 ? ?1
3 ' ' 2

35.曲线 y ? x ? 4 x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为__________;
3

答案

3 y ' ? 3 x 2 ? 4 , k ? y' x ?|1 ? ?1 , t a n ? ? 1 , ?? ? ? 4 sin x x cos x ? sin x 的导数为_________________; x x2

36.函数 y ?

37.曲线 y ? ln x 在点 M (e,1) 处的切线的斜率是_________,切线的方程为_______________;

1 , x ? ey ? 0 e
3

1 1 1 1 y ' ? , k ? y ' |x ?e ? , y ? 1 ? ( x ? e), y ? x x e e e
2

38.函数 y ? x ? x ? 5 x ? 5 的单调递增区间是___________________________。

5 (??, ? ), (1, ??) 3
三、解答题 39 函数 y ? f ( x) ?

5 令y ' ? 3x 2 ? 2 x ? 5 ? 0, 得x ? ? , 或x ? 1 3

2 ' ' ,根据定义求 f (2) 并求 f (2) 的值 x

分析:先求导数,再求导数值。

2 2 ? ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x x 解:因为 ? ? ?x ?x ?x
?
所以 y? ?

2[ x ? ( x ? ?x)] 2 ?? 2 x( x ? ?x)?x x ? x ? ?x

?y 2 2 (?x ? 0) ? (? 2 )(?x ? 0) ? ? 2 ?x x ? x ? ?x x
7

? f ?(2) ? ?

1 2
(2)y=2cos

40:求下列函数的导数: (1)y=x x ,

x x sin 2 2
3

(3)y=xsinx

(4)y=

x ?1 x2

1
'

3

解: (1) y =(x ? x 2 ) ' =( x 2 ) ' = (2) y =(2cos
' '

3 2 ?1 3 2 3 x = x = 2 2 2

1

x

x x sin ) ' =(sinx) ' =cosx 2 2

(3) y =(xsinx ) ' =x ' sinx+x(sinx) ' =sinx+xcosx

(4) y =(

'

x ? 1 ' ( x ? 1) ' ? x 2 ? ( x ? 1) ? ( x 2 ) ' x 2 ? ( x ? 1) ? 2 x x ? 2 ) = = =- 3 x4 x4 x2 x

41、求函数的导数: y ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) 解:? y ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ? x ? 6 x ? 11x ? 6
3 2

? y ? ? 3x 2 ? 12 x ? 11
42.求下列函数的导数: ⑴ y ? (2 ? x ) ;
2 3

⑵ y ? sin x ;
2

分析:利用复合函数的求导法。 解:⑴函数 y ? (2 ? x ) 由函数 y ? u 和
2 3 3

? x u ? 2 ? x 2 复合而成,? y? ? yu ? u? ? 3u 2 ? (?2 x) ? 3(2 ? x 2 ) 2 (?2 x) ? ?6 x(2 ? x 2 ) 2
⑵函数 y ? sin x 由函数 y ? sin u 和 u ? x
2

2

2 ? x 复合而成,? y? ? yu ? u? ? cosu ? 2 x ? 2 x cos x

点评:求复合函数的导数时,按以上规则求解就不会算错。

43、物体的运动方程是 s ? t ? 2t ? 1(位移单位:m,时间单位:s) ,当 t ? 2 时,求物体的瞬时
3 2

速度及加速度. 解:? s ? t ? 2t ? 1
3 2

? s? ? 3t 2 ? 4t

(s?)? ? 6t ? 4

8

故当 t ? 2 时, s? ? 20, (s?)? ? 16 所以当时间 t ? 2 时, v ? 20 m / s, a ? 16 m / s .
2

44、f(x)=lnx,若 4f ' (x)+x ? a 恒成立,求 a 的取值范围。 解:由函数定义域知 x>0,又 f ' (x)=

1 4 ,所以不等式化为: +x ? a 恒成立. x x

4 ? +x ? 4 x

4 ?只须 a ? 4 则 +x ? a 恒成立. x 所以 a 的取值范围是:a ? 4.
45.已知函数 y=x+

1 ,试讨论出此函数的单调区间. x

分析:讨论函数的单调区间,可以利用导数来判断 解答:y′=(x+

1 )′ x

2 1 x ? 1 ( x ? 1)( x ? 1) ? =1- 2 = x x2 x2



( x ? 1)( x ? 1) >0. 解得 x>1 或 x<-1. x2 1 的单调增区间是(-∞,-1)和(1,+∞). x

∴y=x+



( x ? 1)( x ? 1) <0,解得-1<x<0 或 0<x<1. x2 1 的单调减区间是(-1,0)和(0,1) x
3 2
新疆

∴y=x+

王新敞
奎屯

46. 求函数 y ? 2 x ? 3x ? 12 x ? 1 的单调区间。 证明:因为 y ? 6 x ? 6 x ? 12 ? 6 x ? x ? 2 ? 6 ? x ? 1?? x ? 2 ?
' 2 2

?

?

当 y ? 0 时解得 ?2 ? x ? 1 时,所以函数 y ? 2 x ? 3x ? 12 x ? 1 的减区间是 ? ?2,1? 。当 y >0 时解
'
3 2

'

得 x>1 或 x<-2, 所以函数 y ? 2 x ? 3x ? 12 x ? 1 的增区间是( ? ?,?2) 和(1, ? ? ) 。
3 2

47、求函数 y ?
'
2

1 3 x ? 4 x ? 4 的极值。 3
令 y =0 的 x1 =-2, x 2 =2
9
'

解:?y = x ? 4

函数 y ?

1 3 x ? 4 x ? 4 驻点左右的符号如下表所示: 3 x (- ? ,-2) (-2,2)
y' + _

(2, ? ) +

y ?x=-2 是极大值点,x=2 是极小值点 所以极大值是 y=

28 , 3
3 2

极小值是 y=-

4 3

48 已知 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? 1 与 x ? ? (1) 求 a, b 的值; (2)若 f (?1) ?

2 时,都取得极值. 3

3 ,求 f ( x) 的单调区间和极值; 2

分析:可导函数在 x0 点取到极值时, f ( x0 ) ? 0 ;求函数极值时,先求单调区间,再求极值。 解: (1)f ′(x)=3x2+2a x+b=0. 2 由题设,x=1,x=- 为 f ′(x)=0 的解. 3 2 2 b 2 1 - a=1- , =1×(- ).∴a=- ,b=-2. 3 3 3 3 2 1 1 3 (2)f (x)=x3- x2-2 x+c,由 f (-1)=-1- +2+c= ,c=1. 2 2 2 1 ∴f (x)=x3- x2-2 x+1. 2 x f ′(x) 2 (-∞,- ) 3 + 2 (- ,1) 3 - (1,+∞) +

2 2 ∴f (x)的递增区间为(-∞,- ) ,及(1,+∞) ,递减区间为(- ,1) . 3 3 2 2 49 1 当 x=- 时,f (x)有极大值,f (- )= ;当 x=1 时,f (x)有极小值,f (1)=- . 3 3 27 2 评析:列表求单调区间和极值不容易出错。 49 求 f(x)=x3-3 x2-9 x +5 在[-4,4]上的最大值和最小值. 解答:(1)f′(x)=3 x2 -6 x -9=3(x +1) -3) (x 令 f′(x)=0 得 x1=-1,x2=3 ∴ f(x)在 x =-1 处有极大值 f(-1)=10 f(x)在 x =3 处有极小值 f(3)=-22 在区间端点处 f(-4)=-71,f(4)=-15 比较上述结果得:f(x)在[-4,4]上的最大值为 f(-1)=10,最小值为 f(-4)=-71. 5. 一矩形铁皮的长为 8cm,宽为 5cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒
10

子,问小正方形的边长为多少时,盒子容积最大? 解: (1)设小正方形边长为 x cm, 则 V=(8-2x) ·(5-2x)x=4x -26x +40x (0<x<
3 2

5 ) 2

V′=4(3x2-13x+10) V′=0 得 x=1 或

10 (舍去) 3

5 v? ? 0得x ? (0,1) , v ? ? 0得x ? (1, ) 2
根据实际情况,小盒容积最大是存 50、某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法:达到 100 人的团体,每人收费 1000 元。如果团体的 人数超过 100 人,那么每超过 1 人,每人平均收费降低 5 元,但团体人数不能超过 180 人(不到 100 人不 组团),要使旅行社的收费最多?, 旅游团组团人数为 A.130; B.140; C.150; D.160 ( )

解:设参加旅游的人数为 x,旅游团收费为 y 则依题意有 f ( x) =1000x-5(x-100)x (100≤x≤180)

令 f ?( x) ? 1500 ? 10 x ? 0 得 x=150 又 f (100) ? 100000 , f (150) ? 112500 , f (180) ? 108000 所以当参加人数为 150 人时,旅游团的收费最高,可达 112500 元,故选 C 51.求垂直于直线 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 并且与曲线 y ? x ? 3x ? 5 相切的直线方程。
3 2

解:设切点为 P(a, b) ,函数 y ? x ? 3x ? 5 的导数为 y ? 3x ? 6 x
3 2 ' 2

切线的斜率 k ? y |x ? a ? 3a ? 6a ? ?3 ,得 a ? ?1 ,代入到 y ? x ? 3x ? 5
' 2

3

2

得 b ? ?3 ,即 P(?1, ?3) , y ? 3 ? ?3( x ? 1),3x ? y ? 6 ? 0 。

52. 求 函 数 f ( x) ? x ? 5 x ? 5 x ? 1 在 区 间 ?? 1,4? 上 的 最 大 值 与 最 小 值 。
5 4 3

4 3 2 2 解: f ?( x) ? 5 x ? 20 x ? 15 x ? 5 x ( x ? 3)( x ? 1) , 当 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 ,或 x ? ?1 ,或 x ? ?3 ,

∵ 0 ?[?1, 4] , ?1? [?1, 4] , ?3 ? [?1, 4] 列表:

x
f ' ( x)

?1
0

(?1,0)
+

0

(0, 4)
+

0

11

f ( x)

0



1



又 f (0) ? 0, f (?1) ? 0 ;右端点处 f (4) ? 2625 ; ∴函数 y ? x ? 5 x ? 5 x ? 1 在区间 [?1, 4] 上的最大值为 2625 ,最小值为 0 。
5 4 3

53.已知函数 y ? ax ? bx ,当 x ? 1 时,有极大值 3 ;
3 2

(1)求 a, b 的值; (2)求函数 y 的极小值。 ‘ 解: (1) y ? 3ax ? 2bx, 当 x ? 1 时, y |x ?1 ? 3a ? 2b ? 0, y |x ?1 ? a ? b ? 3 ,
' 2
'

即?

?3a ? 2b ? 0 , a ? ?6, b ? 9 ?a ? b ? 3
3 2 ' 2

(2) y ? ?6 x ? 9 x , y ? ?18 x ? 18 x ,令 y ? 0 ,得 x ? 0, 或x ? 1
'

? y极小值 ? y |x ?0 ? 0

12


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