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2015梅州一模理科数学答案定稿


梅州市高三总复习质检试卷(2015.03)

数学(理科)参考答案与评分意见
本试卷共4页,21小题, 满分150分。考试用时120分钟。 一、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分. DCDAB CBC 二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9~13题)

x2 y2 1 2 ? ? 1 . 12.10. 13. (??,2] . 9. . 10. . 11. 4 3 2 2
(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.1. 15.

7 . 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)由 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? 1 的周期为 ? , 则有 T ?

2?

?

? ? , 得? ? 2 .

………1 分

所以 f ( x) ? A sin(2 x ? ? ) ? 1 , 因为函数图像有一个最低点 M ( 所以 A ? 2 , 且 sin(2 ? 则有 2 ?

2? 3? ?? ? ? 2 k? 3 2

2? ? ? ) ? ?1 , 3
(k ? Z )
,

2? , ?1) ,A ? 0 , 3

……………………3 分 …………………………… 4 分

解得 ? ?

?

6

? 2 k?

(k ? Z ) , 因为 0 ? ? ?

?
2

,所以 ? ?

?
6

.

………5 分

所以 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

) ? 1,

x?R .

……………………………6 分 ………7 分

? 1 ? 1 ? 1 (2)由f ( ) ? , 得2 sin(? ? ) ? 1 ? , 得 sin(? ? ) ? ? . 2 3 6 3 6 3
0 ?? ?? , ?

?
6

?? ?

?

7 ? ? ? 又 sin(? ? ) ? 0 6 6 , 6 ,
………9 分

? ? 2 2 ? cos(? ? ) ? ? 1 ? sin 2 (? ? ) ? ? . 6 6 3
? cos ? ? [cos(? ?
=

) ? ] ? cos(? ? ) cos ? sin(? ? ) sin ………11 分 6 6 6 6 6 6 2 2 3 1 1 1? 2 6 ? ? ? ? ?? . ………12 分 3 2 3 2 6

?

?

?

?

?

?

1

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)设分数在 ?70,80? 内的频率为 x ,根据频率分布直方图, 则有 (0.01 ? 0.015 ? 2 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? x ? 1 , 可得 x ? 0.3 ,所以频率分布直方图如图所示. …………2 分

…………3 分 (2)平均分:

x ? 45 ? 0.1 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.15 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.25 ? 95 ? 0.05 ? 71… 5 分
(3)学生成绩在 ?40,70? 的有 0.4 ? 60 ? 24 人, 在 ?70,100? 的有 0.6 ? 60 ? 36 人,并且 X 的可能取值是 0,1,2.
1 1 2 C24 C36 C24 46 144 , P( X ? 1) ? ; P( X ? 0) ? 2 ? ? 2 C60 295 C60 295 2 C36 105 ? 2 C60 295 .

……6 分

P( X ? 2) ?

…………9 分

所以 X 的分布列为

X P

0

1

2

46 295

144 295

105 295
…………10 分

所以 EX ? 0 ?

46 144 105 354 ? 1? ? 2? ? . 295 295 295 295

………12 分

18. (本小题满分 14 分) (1)证明:取 A C 中点 G ,连接 DG, GF .
'

2

则由中位线定理可得, DE ∥ BC , DE ?

1 BC ,…1 分 2

1 BC . 2 所以 DE ∥ GF , DE ? GF , 从而四边形 DEFG 是平行四边形,
同理 GF ∥ BC , GF ? 所以 EF ∥ DG . 又 EF ? 面 A' CD , DG
' 所以 EF ∥平面 A CD .

…………3 分

? 平面 A'CD ,
…………5 分

(2)在平面 A' CD 内作 A' H ? CD 于点 H .
? ? DE ? CD ? A ' D ? CD ? D ? ? DE ? A ' D

? DE ? 平面 A' CD ? DE ? A' H .

' 又 DE ? CD ? D ,故 A H ? 底面 BCDE ,

' 即 A H 就是四棱锥 A ? BCDE 的高.
'
' 由 A H ? AD 知,点 H 和 D 重合时,

…………7 分

' 四棱锥 A ? BCDE 的体积取最大值.

…………8 分

分别以 DC, DE, DA 所在直线为 x, y , z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A (0,0, a), B(a,2a,0), E(0, a,0) ,
'

'

A?B ? (a,2a,?a), A' E ? (0, a,?a) .
设平面 A BE 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,
'

?

………9 分

?

?? ? ' ?x ? 2 y ? z ? 0 ?m? A B ? ax ? 2ay ? ax ? 0 由? 得? , ? ? y ? z ? ?m? A' E ? ay ? az ? 0 ? ,
可取 m ? (?1,1,1) .
' 平面 A CD 的一个法向量 n ? (0,1,0) .

?

…………11 分
?

…………12 分

3

? ? 故 cos ? m, n ?? m? n ? ? 1 ? 0 ? 1 ? 1 ? 1 ? 0 ? 3 , ? ? 3 3 ?1 mn

? ?

…………13 分

所以平面 A' CD 与平面 A BE 夹角的余弦值为

'

3 . 3

…………14 分

' (连 A A ,可以证明 ?A ' CB 即为所求二面角的平面角,易求.参照法一给分)

19.(本小题满分 14 分) a ?1 1 ?1? n 解: (1) an?1 ? 1 ? , 2 ? an 2 ? an 所以
1 an?1 ? 1 ? 2 ? an 1 . ? ?1 ? an ? 1 an ? 1

………… 2 分 ………… 3 分

所以 {

1 } 是首项为 ? 2 ,公差为 ? 1 的等差数列. an ? 1

………… 4 分

所以

n 1 ? ?n ? 1, 所以 a n ? . n ?1 an ? 1

………… 6 分

(可用观察归纳法求,参照法一给分) (2) 设 F ( x) ? ln( x ? 1) ? x( x ? 0) , 则 F ?( x) ? ………… 7 分 . ………… 8 分 ………… 9 分 , ………… 10 分 ………… 11 分

1 ?x ?1 ? ? 0( x ? 0) x ?1 x ?1

函数 F ( x ) 为 (0, ??) 上的减函数, 所以 F ( x) ? F (0) ? 0 , 即l n ( x? 1 ) ?(x x 0 ? ) 从而 ln(1 ?

1 1 1 1 )? ,1 ? ? 1 ? ln(1 ? ), n ?1 n ?1 n ?1 n ?1

所以

an ? 1 ?

1 ? 1 ? ln(n ? 2) ? ln(n ? 1), n ?1

………… 12 分

所以 Sn ? (1 ? ln 3 ? ln 2) ? (1 ? ln 4 ? ln 3) ?

? [1 ? ln(n ? 2) ? ln(n ? 1)] … 13 分
………… 14 分



S n ? n ? ln(

n?2 ) 2 .

(可用数学归纳法证明,参照法一给分) 20. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意知 F (

P p ? 2t , 0) ,设 D(t ,0)(t ? 0) ,则 FD 的中点为 ( , 0) , 2 4

4

因为 | FA |?| FD | ,由抛物线的定义得: 3 ? 解得 t ? 3 ? p 或 t ? ?3(舍去). 由 ?ADF是正三角形,可得

p p ?| t ? | , 2 2
…………2 分

p ? 2t ? 3 ,解得 p ? 2 . 4
…………4 分

所以抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x . (2)①由(1)知 F (1,0) . 设 A( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0), D( xD ,0)( xD ? 0) ,因为 | FA |?| FD | , 则 | xD ?1|? x0 ? 1 ,由 xD ? 0 得 xD ? x0 ? 2 ,故 D( x0 ? 2,0) , , 故直线 AB 的斜率为 k AB ? ?

y0 , 2 y0 x?b, 2

…………5 分

因为直线 l1 和直线 AB 平行,设直线 l1 的方程为 y ? ? 代入抛物线方程得 y 2 ?

8 8b y ? ? 0 ……① y0 y0 64 32b 2 ? ? 0 ,得 b ? ? . 2 y0 y0 y0

由题意方程①的判别式 ? ?

代入①解得 y ? ?

4 4 ,x ? 2 . y0 y0
4 4 , xE ? 2 . y0 y0
…………6 分

设 E( xE , yE ) ,则 yE ? ?

2 当 y0 ? 4 时, k AB

4 ? y0 yE ? y0 y0 4y ? ?? ? 2 0 , 2 4 y0 xE ? x0 y0 ? 4 ? 2 y0 4
4 y0 ( x ? x0 ) , 2 y0 ?4
…………7 分

可得直线 AE 的方程为 y ? y0 ?

2 由 y0 ? 4 x0 ,整理可得 y ?

4 y0 ( x ? 1) , 2 y0 ?4
…………8 分

直线 AE 恒过点 F (1, 0) .
2 当 y0 ? 4 时,直线 AE 的方程为 x ? 1 ,过点 F (1, 0) ,

5

所以直线 AE 过定点 F (1, 0) . ②由①知,直线 AE 过焦点 F (1, 0) , A( x0 , y0 ), E (

…………9 分

4 y0
2

,?

4 2 ), y0 ? 4 x0 . y0

由抛物线的定义得 | AE |?| AF | ? | FE |? ( x0 ? 1) ? (

1 1 ? 1) ? x0 ? ? 2 10 分 x0 x0 …
x0 ? 1 , y0

设直线 AE 的方程为 x ? my +1 .因为点 A( x0 , y0 ) 在直线 AE 上,故 m ? 设 B( x1 , y1 ) ,直线 AB 的方程为 y ? y0 ? ? 由于 y0 ? 0 ,可得 x ? ?

y0 ( x ? x0 ) , 2
………11 分

2 y ? 2 ? x0 y0 . 8 y ? 8 ? 4 x0 ? 0 , y0

代入抛物线方程得 y 2 ?

所以 y0 ? y1 ? ?

8 8 4 ,可求得 y1 ? ? y0 ? , x1 ? ? x0 ? 4 , y0 y0 x0

………12 分

所以点 B 到直线 AE 的距离为

| d?

4 8 ? x0 ? 4 ? m( y0 ? ) ? 1| x0 y0 1? m
2

?

4( x0 ? 1) x0

? 4( x0 ?

1 ). x0
………13 分

则 ?ABE 的面积 S ?

1 1 1 ? 4( x0 ? )( x0 ? ? 2) ? 16 , 2 x0 x0

当且仅当 x0 ?

1 即 x0 ? 1时等号成立. x0 ,
………14 分

所以 ?ABE 的面积的最小值为 16.

21. 解: (1)? g (2) ? 2,? a ? b ? 1.
1 ∴ h( x) ? ln x ? ax2 ? (a ? 1) x ,其定义域为(0,+ ? ). 2

h?(x) ?

1 ?ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 ?(ax ? 1)( x ? 1) ? ax ? (a ? 1)= ? , x x x

………… 1 分

若 a ? 0 ,则函数 h( x) 在区间(0,1)上单调递增;

6

在区间(1,+ ? )上单调递减. 若 a ? 0 ,令 h?(x) ? 0 ,得 x1 ? ?

……2 分

1 , x2 ? 1 . a

1?. 当 a ? ?1 时,则 0 ? ?
. 单调递增;在区间( ?

1 1 ? 1 ,所以函数 h( x) 在区间( 0, ? )和(1,+ ? )上 a a
……3 分

1 ,1)上单调递减. a

2 ?. 当 a ? ?1 时, h / ( x) ? 0 ,所以函数 h( x) 在区间(0,+ ? )单调递增. ……4 分 3?. 当 ? 1 ? a ? 0 时,则 ?
1 1 ? 1 ,所以函数 h( x) 在区间(0,1)和( ? ,+ ? )上 a a 1 单调递增;在区间(1, ? )上单调递减. a
……5 分

(综上所述略) (2)∵函数 g ( x) 是关于 x 的一次函数 , ∴ h( x) ? ln x ? bx ,其定义域为(0,+ ? ). ① 由 h(x) ? 0 ,得 b ? ∴ ? (x ) ? ?

ln x ln x ln x ?1 ,记 ? (x ) ? ? ,则 ? ?(x ) ? x x x2 .

……6 分

ln x 在 (0, e) 单调减,在 (e, ??) 单调增, x ln x 1 ∴当 x ? e 时, ? (x ) ? ? 取得最小值 ? . e x
又 ? (1) ? 0 ,所以 x ? (0,1) 时, ? (x) ? 0 ,而 x ? ( 1 , ??) 时, ? (x) ? 0 .
1 ∴ b 的取值范围是( ? ,0). e

……7 分 ……8 分 ……9 分

② 由题意得 lnx1 ? bx1 ? 0,lnx2 ? bx2 ? 0 , ∴ lnx1 x2 ? b( x1 ? x2 ) ? 0,lnx2 ? lnx1 ? b( x2 ? x1 ) ? 0 . ∴

ln x1 x2 x ?x ? 1 2. ln x2 ? ln x1 x2 ? x1
只需要证 ln x1 x2 ?

不妨设 x1 ? x 2 .要证 x1 x2 ? e 2 ,

x1 ? x2 (ln x2 ? ln x1 ) ? 2 , x2 ? x1
……10 分

即证 ln x2 ? ln x1 ?

2( x2 ? x1 ) , x2 ? x1

即 ln

x2 2( x2 ? x1 ) ? . x1 x2 ? x1

7

设t ?

2(t ? 1) 4 x2 ? ln t ? ?2, (t ? 1) , F (t ) ? ln t ? x1 t ?1 t ?1

…………11 分

1 4 (t ? 1)2 F ?(t ) ? ? ? ?0 , t (t ? 1)2 t (t ? 1)2
∴函数 F (t ) 在(1,+ ? )上单调递增,而 F (1) ? 0 , 所以 F (t ) ? 0 ,即 ln t ?

……12 分

2(t ? 1) 2 , ∴ x1 x2 ? e . t ?1

……14 分

8


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