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【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第五章 第四节 数列求和重点精选课件 文_图文

第四节 考 纲 展 示

数列求和

1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式. 2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.

高频考点全通关——裂项相消法求和 闯关一:了解考情,熟悉命题角度
【考情分析】 裂项相消法求和是每年高考的热点,题型多为解答题, 难度适中,属中档题. 【命题角度】 高考对裂项相消法的考查常有以下两个命题角度: (1)直接考查裂项相消法求和; (2)与不等式相结合考查裂项相消法求和.

高频考点全通关——裂项相消法求和 闯关二:典题针对讲解——与不等式相结合考查裂项相消法
[例] (2013·广东高考)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1= 1, 2Sn 1 2 =an+1- n2-n- ,n∈N*. n 3 3 (1)求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; 1 2 n,有 1 + 1 +…+ 1 <7. (3) 证明:对一切正整数 解析: (1)依题意,2S1=a2- -1- ,又 S1=a1=1,所以 a2=4. a1 a2 an 4 3 3
1 2 1 2 (2)当 n≥2 时, 2Sn=nan+1- n3-n2- n, 2Sn-1=(n-1)an- (n-1)3-(n-1)2- (n-1), 3 3 3 3 1 2 两式相减,得 2an=nan+1-(n-1)an- (3n2-3n+1)-(2n-1)- , 3 3 an an+1 an a2 a1 整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1),即 - =1,又 - =1,故数列 n 是首项为 1 , 2 1 n+1 n an 公差为 1 的等差数列,所以 =1+(n-1)×1=n,所以 an=n2. n

高频考点全通关——裂项相消法求和 闯关二:典题针对讲解——与不等式相结合考查裂项相消法
1 7 1 1 1 5 7 (3)证明:当 n= 1 时, = 1< ;当 n= 2 时, + =1+ = < ; a1 4 a1 a2 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 当 n≥3 时, = 2< = - ,此时 + +…+ an n n-1 n n-1 n a1 a2 an 1 1 1 1 1 1 - - - 1 1 1 1 1 =1+ 2+ 2+ 2+… + 2<1+ + 2 3 + 3 4 +…+ n-1 n 2 3 4 n 4 1 1 1 7 1 7 =1+ + - = - < . 4 2 n 4 n 4 1 1 1 7 综上,对一切正整数 n,有 + +… + < . a1 a2 an 4

高频考点全通关——裂项相消法求和 闯关三:总结问题类型,掌握解题策略
裂项相消法求和问题的常见类型及解题策略
(1)直接考查裂项相消法求和. 解决此类问题常用的裂项有: 1 - 1 1 2 n - 1 = 2n- 1 2n+ 1 2 1 1 1 = - ; n n+1 n n+1 1 2n+1 ; 1 n+ n+1 = n+ 1- n.

(2)与不等式相结合考查裂项相消法求和. 解决此类问题应分两步:第一步,求和; 第二步,利用作差法、放缩法、单调性等证明不等式.

高频考点全通关——裂项相消法求和 闯关四:及时演练,强化提升解题技能 1.正项数列{an}满足:a2 n- (2n-1)an-2n= 0.
(1)求数列{an}的通项公式 an; 1 (2)令 bn= ,求数列 {bn}的前 n 项和 Tn. n+ 1 an
解:(1)由 a2 n-(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0. 由于{an}是正项数列,所以 an=2n. 1 1 1 1 1 n- n+1 . (2)已知 an=2n,bn= ,则 bn= = 2 n+1 an 2n n+1 1 1 1 1 1 1 1 - + - 1 1- + - +…+ 2 2 3 n-1 n n n+1 Tn= 2 1 1 - n 1 n+1 = = . 2 2 n+1

高频考点全通关——裂项相消法求和 闯关四:及时演练,强化提升解题技能
2.设数列{an}满足 a1+2a2+22a3+…+2n-1an=n,n∈N*.
2 (1)求数列{an}的通项公式; 1 bnbn+1 (2)设 bn= 1 ,cn= ,记 Sn=c1+c2+…+cn,证明:Sn<1. n+1+ n log an 2 n 解:(1) 由题意 a1 +2a2 +22a3+ …+ 2n- 2an- 1+ 2n-1an = ,n ∈N*,当 n≥2 时,a1+ 2a2 2 n-1 n n-1 1 1 +22a3+…+2n-2an-1= .两式相减, 得 2n-1an= - = .所以, 当 n≥2 时, an= n. 2 2 2 2 2 1 1 当 n=1 时,a1= 也满足上式,所求通项公式 an= n(n∈N*). 2 2 1 1 n+1- n 1 1 1 (2) 证明:bn= 1 = = - , Sn= c1+c2+ … +cn 1 = , cn = n 1 n n n + 1 n + 1 log an log 2 n 2 2 1 1 1 1 1 1 1 - 1- - - 1 n+1 =1- = 2+ 2 3+ 3 4 +…+ n <1. n+1

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