kl800.com省心范文网

两角和与差的余弦公式


20:52:22

一、 新课引入
问题1:

cos75°=cos( 45° +30°)

cos15°=? =cos45°+ cos30°? cos75°= ? cos15°=cos(45°- 30°) = cos45°- cos30° ?
问题2:

cos(α-β) = cos(α+β) =
20:52:22

? ?

探究:如何用任意角α,β的正弦、
余弦值表示
c o s (? ?? ) ?

思考1:设α ,β 为两个任意角, 你能判断 cos(α -β )=cosα -cosβ 恒成立吗?

例:cos(30°-30°)≠cos30°-cos30°
因此,对角α,β cos(α-β)=cosα-cosβ 一般不成立.
20:52:22

〖探究1〗 cos(α-β)公式的结构形式应该与哪些量有关系 ?



? ?

?
2

,

则 cos( ? ? ? ) ? cos(

?
2

? ? ) ? sin ?

令 ? ? ? , 则 cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ? ? cos ?

令? ?

?
2

, 则 cos( ? ? ? ) ? cos( ? ?

?
2

) ? sin ?

令 ? ? ? , 则 cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ? ? cos ?
发现: cos(α-β)公式的结构形式

应该与sinα ,cosα ,sinβ ,cosβ均有关系

20:52:22

思考2:我们知道cos(α -β )的值与α ,β 的三角函数值有一定关系,观察下表中的数 据,你有什么发现?
cos(60° cos60° cos30° sin60° sin30° - 30°)
3 2

1 2

3 2

3 2

1 2

cos(120° cos120° cos60° sin120° sin60° - 60°)
1
20:52:22

?

1 2

1 2

3 2

3 2

2

从表中,可以发现:
cos(60° - 30°)=cos60°cos30°+sin 60°sin30° cos(120° - 60°) =cos120°cos60°+sin 120°sin60°

现在,我们猜想,对任意角α

,β 有:

cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ
20:52:22

〖探究2〗 借助三角函数线来推导cos(α -β )公式

1

y A

P1

?
s? co

s in

?

OM= cos(α-β) OB=cosαcosβ BM=sinαsinβ
P 又 OM=OB+BM

C

?

?
O
20:52:22

? ??
B

co s ?? ? ? sin ? sin ?
M 1

?

x

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ co s ? co s ?

+

〖探究3〗 两角差的余弦公式有哪些结构特征?

co s ? ? ? ? ? ? co s ? co s ? ? sin ? sin ?
上述公式称为差角的余弦公式,记作 C ( ? ? ? )

注意:1.公式的结构特点:等号的左边是复角α-β的
余弦值,等号右边是单角余弦值的乘积与正弦值的乘 积的和。 简记“余余正正号相反”
2.公式中的α ,β 是任意角,公式的应用要讲究一个 “活”字,即正用、逆用、变形用,还要创造条件应用

公式,如构造角β =(α +β )-α ,β
20:52:22

? ?? ? ?? ? = 2 2

等.

〖公式应用〗

引例:求cos15°的值.
分析:将150可以看成450-300而450和300均为特殊角,

借助它们即可求出150的余弦.

cos150 =cos(450- 300)
=cos450cos300 + sin450sin300

=
=
20:52:22

×

+

×

应用

? 例1: 已知sinα= 5 ,α∈( ,?),cosβ= 2 第三象限角,求cos(α-β)的值。
4

5 , β是 13

小结:要求cos(α-β)应先求出α,β的正余弦, 4 ? 解:由sinα= 5 α∈( ,?),得 , 2
cos ? ? ? 1 ? sin
2

分析:由Cα-β和本题的条件,要计算cos(α-β),还应求什么?

? ? ?

- 5 ,β是第三象限的角,得 又由cosβ= 13
sin ? ? ? 1 ? cos
2

? 4? 1? ? ? ? 5 ?

2

? ?

3 5

? ? ?

所以cos(α-β)= cosβcosα+sinβsinα
20:52:22

5 ? ? 1? ?? ? 13 ? ?

2

? ?

12 13

5 ? 4 ? 12 ? 33 ? 3? ? ? ?? ??? ? ??? ? ? ? ? ? 5 ? 13 ? 65 ? 5 ? ? 13 ?

应用

公式的逆用

cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β) β cos(α -β ) ? cosα cosβ + sinα sin
练习:. cos 175 1
0

0

cos 55 ? sin 175
0

0

sin 55

0

?

?

1 2

2
2 . cos( ? ? 21 ) cos( ? ? 24 ) ? sin( ? ? 21 ) sin( ? ? 24 ) ?
0 0 0

2

20:52:22

〖探究4〗 两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式?

co s ? ? ? ? ? ? co s ? co s ? ? sin ? sin ?
用? ? 替换 ? ,得到

cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
上述公式称为和角的余弦公式,记作 C ? ? ?

注意:1.公式的结构特点:等号的左边是复角α+β的
余弦值,等号右边是单角余弦值的乘积与正弦值的乘 积的差。 简记“余余正正号相反”
20:52:22

2.公式中的α ,β 是任意角。

应用

附条件的求值问题 1 例2: 已知cos α +cos β2 = ,sin 1 ? α -sin β = ,求cos(α +β )的值.
3

解:有已知得,
? cos ?
? cos ?

?

2

?

? sin ?

- sin ?

?

2

?

13 36 13 36

2 ? 2 ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? cos ?? ? ?
20:52:22

?

? 11 72

?

? ?

11 72

练习
1、化简 sin(x+y)sin(x-y)-cos(x+y)cos(x -y)的结果是( ) C (A) sin 2x (B)cos 2y (C)-cos 2x (D)-cos 2y
? 3? ? ?? ? sin 2、 ? ? ? , ? ? ? , 2 ? ? , 则 cos ? ? ? ?的值 5 ? 2 ? ? 4 ? 3 为(
A. 2 10
20:52:22

A)
B. ? 2 10 C. 7 10 2 D.? 7 10 2

20:52:22


赞助商链接

两角和差正余弦公式的证明.

两角和差正余弦公式的证明. - 两角和差正余弦公式的证明 两角和差的余弦公式是三角学中很重要的一组公式。 下面我们就它们的推导证明方 法进行探讨。 由角 ...

两角和差正余弦公式的证明

两角和差正余弦公式的证明 - 两角和差正余弦公式的证明 两角和差的余弦公式是三角学中很重要的一组公式。 下面我们就它们的推导证明方 法进行探讨。 由角 ,...

两角和与差的余弦公式教案

两角和与差的余弦公式教案 - 课题:两角和与差的余弦公式 授课教师:北京市陈经纶中学 授课时间:2007 年 11 月 21 日 教学目标: 1. 2. 使学生理解两角和与差...

两角和与差的余弦公式教案

两角和与差的余弦公式【教学三维目标】 1.知识目标: 理解两角和与差的余弦公式的推导过程,熟记两角和与差的余弦公式,运用两角和与差的 余弦公式,解决相关数学问题...

两角和与差的余弦公式教案

两角和与差的余弦公式教案 - 两角和与差的余弦公式 【教学目标】 1.知识与能力:理解两角和与差的余弦公式的推导过程,熟记两 角和与差的余弦公式,运用两角和与...

《两角和与差的余弦公式》教学设计

两角和与差的余弦公式》教学设计 两角和与差的余弦公式》一、教材地位和作用分析: 教材地位和作用分析: 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容,是正弦...

两角和与差的余弦公式优质公开课精品教案

两角和与差的余弦公式优质公开课精品教案 - 两角和与差的余弦公式 一、教材地位和作用分析: 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容,是正弦线、余弦线和...

两角和与差的余弦公式说课稿

3、教学重点与难点 教学重点:两角和与差的余弦公式的推导及应用。 教学难点:两角差的余弦公式的推导。 设计意图:由于“两角和与差的余弦公式的推导及应用”对后...

两角和与差的余弦公式教案

布吉高级中学 蔡晓华 两角和与差的余弦公式教案【三维目标】 三维目标】 目标 1.知识与能力:理解两角和与差的余弦公式的推导过程,熟记两角和与差的余弦公式, 1....

两角和差正余弦公式的证明

两角和差正余弦公式的证明北京四中数学组 皇甫力超 论文摘要: 本文对两角和差的余弦公式的推导进行了探讨。 在单位圆的框架下 , 我们得到了和 角余弦公式 ( ...