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高考数学难点33 函数的连续及其应用


高中数学难点 33

函数的连续及其应用

函数的连续 性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在 一起.在高考中,必将这一块内容溶入到函数内容中去,因而一定成为高考的又一个热点. 本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系. ●难点磁场
?3 ? (★★★★)已知函数 f(x)= ? x ( x ? 1 ) ? log ( x ? 1 ) 2 ? ( x ? ? 1) ( ? 1 ? x ? 1) (1 ? x ? 5 )

(1)讨论 f(x)在点 x=-1,0,1 处的连续性; (2)求 f(x)的连续区间. ●案例探究 [例 1]已知函数 f(x)=
x ?4
2

x?2

,

(1)求 f(x)的定义域,并作出函数的图象; (2)求 f(x)的不连续点 x0; (3)对 f(x)补充定 义,使其是 R 上的连续函数. 命题意图:函数的连续性,尤其是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映. 因而画函数图象去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法. 知识依托:本题是分式函数,所以解答本题的闪光点是能准确画 出它的图象. 错解分析:第(3)问是本题的难点,考生通过自己对所学连续函 数定义的了解.应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式. 技巧与方法: 对分式化简变形, 注意等价性, 观察图象进行解 答. 解:(1)当 x+2≠0 时,有 x≠-2 因此,函数的定义域是(-∞,-2)∪(- 2,+∞) 当 x≠-2 时,f(x)=
x ?4
2

x?2

=x-2,

其图象如上图 (2)由定义域知,函数 f(x)的不连续点是 x0=-2. (3)因为当 x≠-2 时,f(x)=x-2,所以 lim f ( x ) ? lim ( x ? 2 ) =-4.
x ? ?2 x ? ?2

? x2 ? 4 ? 因此,将 f(x)的表达式改写为 f(x)= ? x ? 2 ?? 4 ?

( x ? ?2) ( x ? ? 2)

则函数 f(x)在 R 上是连续函数. [例 2]求证:方程 x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一个正根 ,且它不大于 a+b. 命题意图:要判定方程 f(x)=0 是否有实根.即判定对应的连续函 数 y=f(x)的图象是否 与 x 轴有交点,因此根据连续函数的性质,只要找到图象上的两点,满足一点在 x 轴上方, 另一点在 x 轴下方即可.本题主要考查这种解题方法. 知识依托:解答本题的闪光点要找到合适的两点,使函数值其一为负,另一为正. 错解分析:因为本题为超越方程,因而考生最易想到画图象观察,而忽视连续性的性质

116

在解这类题目中的简便作用. 证明:设 f(x)=asinx+b-x, 则 f(0)=b>0,f(a+b)=a·sin(a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0, 又 f(x)在(0,a+b]内是连续函数,所以存在一个 x0∈(0,a+b] ,使 f(x0)=0,即 x0 是方程 f(x)=0 的根,也就是方程 x=a·sinx+b 的根. 因此,方程 x=asinx+b 至少存在一个正根,且它不大于 a+b. ●锦囊妙计 1.深刻理解函数 f(x)在 x0 处连续的概念: 等式 lim f(x)=f(x0)的涵义是:(1)f(x0)在 x=x0 处有定义,即 f(x0)存在;(2) lim f(x)
x ? x0 x ? x0

存在, 这里隐含着 f(x)在点 x=x0 附近有定义; f(x)在点 x0 处的极限值等于这一点的函数 (3) 值,即 lim f(x)=f(x0).
x ? x0

函数 f(x)在 x0 处连续,反映在图象上是 f(x)的图象在点 x=x0 处是不间断的. 2.函数 f(x)在点 x0 不连续,就是 f(x)的图象在点 x=x0 处是间断的. 其情形: lim f(x)存在; (x0)存在, lim f(x)≠f(x0);(2) lim f(x)存在, f(x0) (1) f 但 但
x ? x0 x ? x0 x ? x0

不存在.(3) lim f(x) 不存在.
x ? x0

3.由连续函数的定义,可以得到计算函数极限的一种方法:如果函数 f(x)在其定义区 间内是连续的, x0 是定义区间内的一点, 点 那么求 x→x0 时函数 f(x)的极限, 只要求出 f(x) 在点 x0 处的函数值 f(x0)就可以了,即 lim f(x)=f(x0).
x ? x0

●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)若 f(x)= 3 A.
3 2

1? x ?1 1? x ?1
2 3

在点 x=0 处连续,则 f(0)等于(

)

B.

C.1
0? x ?1 x ?1 1? x ? 2

D.0

?x ? ?1 2.(★★★★)设 f(x)= ? ?2 ?1 ?

则 f(x)的连续区间为(

)

A.(0,2) C.(0,1)∪(1,2) 二、填空题 3.(★★★★) lim
x
2

B.(0,1) D.(1,2)
? ln( 2 ? x ) 4 arctan x
x ? 0 x ? 0

=_________.

x?1

?1 ? 1 ? x ? 4.(★★★★)若 f(x)= ? x ? a ? bx ?

处处连续,则 a 的值为_________.

117

三、解答题
? 1 x ?2 ?1 ? 1 5.(★★★★★)已知函数 f(x)= ? x ?2 ?1 ?1 ?

( x ? 0) ( x ? 0)

(1)f(x)在 x=0 处是否连续?说明理由; (2)讨论 f(x)在闭区间[-1,0]和[0,1]上的连续性.
?1 ? 1 ? x ( x ? 0) ? 6.(★ ★★★)已知 f(x)= ? x ? a ? bx ( x ? 0 ) ?

(1)求 f(-x); (2)求常数 a 的值,使 f(x)在区间(-∞,+∞)内处处连续. 3 2 7.(★★★★)求证任何一个实系数一元三次方程 a0x +a1x +a2x+a3=0(a0,a1,a2,a3 ∈R,a0 ≠0)至少有一个实数根.
?x ? 1 ? log 2 ( x ? ) 2 ? ( x ? 1) ( x ? 1)

8.(★★★★)求函数 f(x)= ?

的不连续点和连续区间.

参考答案 难点磁场 解:(1) lim f(x)=3, lim f(x)=-1,所以 lim f(x)不存在,所以 f(x)在 x=-1 处不
x? ?1
?

x? ?1

?

x? ?1

连续, 但 lim f(x)=f(-1)=-1, lim f(x)≠f(-1),所以 f(x)在 x=-1 处右连续,左不连续
x? ?1

x? ?1

?

x?1

lim ?

f(x)=3=f(1),

x ? 1?

lim

f(x)不存在,所以 lim f(x)不存在,所以 f(x)在 x=1 不连续,
x ?1

但左连续,右不连续. 又 lim f(x)=f(0)=0,所以 f(x)在 x=0 处连续.
x? 0

(2)f(x) 中,区间(-∞,-1),[-1,1],(1,5]上的三个函数都是初等函数,因此 f(x) 除不连续点 x=±1 外,再也无不连续点,所以 f(x)的连续区间是(-∞,-1),[-1,1]和 (1,5 ] . 歼灭难点训练 一、1.解析: f ( x ) ?
( 1 ? x ? 1 )( 1 ? x ? 1 )[ 3 (1 ? x ) ( 1 ? x ? 1 )[ 3 (1 ? x )
2 2

?

3

1 ? x ? 1]

?

3

1 ? x ? 1 ][ 3 x ? 1 ? 1 ]

?

(3 1 ? x ) ?
2

3

1? x ?1

1? x ?1 1?1?1 1?1 ? 3 2

f (0) ?

118

答案:A 2.解析: lim f ( x ) ? lim 1 ? 1
x ?1
?

x ?1

?

x ?1

lim ? f ( x ) ? lim ? x ? 1, lim f ( x ) ? 1 ? f (1) ?
x ?1 x?1

1 2

即 f(x)在 x=1 点不连 续,显知 f(x)在(0,1)和(1,2)连续. 答案:C 二、3.解析:利用函数的连续性,即 lim f ( x ) ? f ( x 0 ) ,
x ? x0

? lim

x ? sin( 2 ? x )
2

?

1 ? sin( 2 ? 1)
2

?

1 ?

x ?1

4 arctan 1

4 arctan 1

答案:

1 ?

4 .解析 : lim f ( x ) ? lim ? ?
x? 0 x? 0

1?

1? x x

? lim ?
x? 0

1 1? 1? x

?

1 2

x? 0

lim f ( x ) ? lim ( a ? bx ) ? 0 ,? a ?
?

1 2

x? 0

?

答案:

1 2

1 ? ( x ? 0) ?1 ? 1 三、5.解:f(x)= ? 2 x ? 1 ? ( x ? 0) ?1

(1) lim f(x)=-1, lim f(x)=1,所以 lim f(x)不存在,故 f(x)在 x=0 处不连续.
x? 0
?1

x? 0

?

x? 0

(2)f(x)在(-∞,+∞)上除 x=0 外, 再无间断点,由(1)知 f(x)在 x=0 处右连续,所以 f(x)在[ -1,0]上是不连续函数,在[0,1]上是连续函数.
? 1? x ?1 ? 6.解:(1)f(-x)= ? x ? a ? bx ? ( x ? 0) ( x ? 0)

(2)要使 f(x)在(-∞,+∞)内处处连续,只要 f(x)在 x=0 连续, lim f(x)
x? 0
?

= lim

1?
?

1? x x

= lim

x
?

x? 0

x? 0

x (1 ?

1? x)

? lim ?
x? 0

1 1? 1? x

?

1 2

x? 0

lim ?

f(x)=

x? 0

lim ? (a+bx)=a,因为要 f(x)在 x=0 处连续,只要 lim ?
x? 0

f(x)=

x? 0

lim ?

f(x)

= lim f(x)=f(0),所以 a=
x? 0
?

1 2

7.证明:设 f(x)=a0x +a1x +a2x+a3,函数 f(x)在(-∞,+∞)连续,且 x→+∞时,f(x)→+ ∞;x→-∞时,f(x)→-∞,所以必存在 a∈(-∞,+∞),b∈(-∞,?+∞),使 f(a)·f(b)

3

2

119

<0,所以 f(x)的图象至少在(a,b)上穿过 x 轴一次,即 f(x)=0 至少有一实根. 8.解:不连续点是 x=1,连续区间是(-∞,1),(1,+∞)

120


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