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【名师一号】2016届高考数学一轮总复习 10.9离散型随机变量的均值与方差练习


第九节

离散型随机变量的均值与方差(理)
时间:45 分钟 分值:100 分 基 础 必 做

一、选择题 1.已知某一随机变量 X 的概率分布列如下,且 E(X)=6.3,则 a 的值为( X P 4 0.5 a 0.1 9 b )

A.5 C.7

B.6 D.8

解析 由分布列性质知: 0.5+0.1+b=1, ∴b=0.4.∴E(X)=4×0.5+a×0.1+9×0.4 =6.3,∴a=7. 答案 C 2.若 X~B(n,p),且 E(X)=6,D(X)=3,则 P(X=1)的值为( )

A.3·2-2 C.3·2-10

B.2-4 D.2-8

1 1 ?1? 1 解析 ∵E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3,∴p= ,n=12,则 P(X=1)=C12· ·? ? 2 2 ?2?
11

=3·2

-10

.

答案 C 3.设随机变量 X~N(3,1),若 P(X>4)=p,则 P(2<X<4)=( )

A. +p C.1-2p

1 2

B.1-p D. -p
1 2

解析 根据正态分布密度曲线的对称性,得 P(X<2)=p,故 P(2<X<4)=1-2p. 答案 C 4.抛掷两个骰子,至少有一个 4 点或 5 点出现时,就说这次试验成功,则在 10 次试验 中,成功次数 X 的期望为( )

A. C.

10 3 80 9

B. D.

55 9 50 9

解析 至少出现一个 4 点或 5 点的对立事件为没有出现 4 点和 5 点,一共有 16 种.故 16 5 5 50 至少出现一个 4 点或 5 点的概率为 P=1- = .故由二项分布的期望知 E(X)=10× = . 36 9 9 9

答案 D

5.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的小正方体.经过 搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X,则 X 的均值 E(X)=( )

A. C.

126 125 168 125
3

B. D.

6 5 7 5

解析

3 27 9×6 54 3×12 36 P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= = ,P(X=3)= 125 125 125 125 125 125

8 7 54 36 8 150 6 ,E(X)= ×0+ ×1+ ×2+ ×3= = .故选 B. 125 125 125 125 125 125 5 答案 B 6.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球 3 次,一旦发球成功, 则停止发球.否则一直发到 3 次为止,设学生一次发球成功的概率为 p(p≠0),发球次数为 X, 若 X 的数学期望 E(X)>1.75,则 p 的取值范围是( ) 7 12 ? 1

A.?0, ? 12

? ? ? ?

7?

?

? ? B.? ,1? ? ? ? D.? ,1? ?2 ?

C.?0, ? 2

1?

?

解析 X 的可能取值为 1,2,3, ∵P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p, P(X=3)=(1-p) , ∴E(X)=p+2p(1-p)+3(1-p) =p -3p+3, 由 E(X)>1.75,即 p -3p+3>1.75, 1 5 1 得 p< 或 p> (舍).∴0<p< . 2 2 2 答案 C 二、填空题 7.在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ )(σ >0).若 ξ 在(0,1)内取值
2 2 2 2 2

的概率为 0.4,则 ξ 在(0,2)内取值的概率为__________. 解析 ∵ξ 服从正态分布(1,σ ), ∴ξ 在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为 0.4. ∴ξ 在(0,2)内取值概率为 0.4+0.4=0.8. 答案 0.8 1 8.(2014·浙江卷)随机变量 ξ 的取值为 0,1,2.若 P(ξ =0)= ,E(ξ )=1,则 D(ξ ) 5 =________. 4 1 ?4 ? 解析 设 P(ξ =1)=p, 则 P(ξ =2)= -p, 从而由 E(ξ )=0× +1×p+2×? -p?= 5 5 ?5 ? 3 1 3 1 2 2 2 2 1,得 p= .故 D(ξ )=(0-1) × +(1-1) × +(2-1) × = . 5 5 5 5 5 答案 2 5
2

9.(2015·浙江嘉兴测试)某高校进行自主招生面试时的程序如下:共设 3 道题,每道 题答对给 10 分,答错倒扣 5 分(每道题都必须回答,但相互不影响).设某学生对每道题答 3 对的概率为 ,则该学生在面试时得分的期望为________. 4 解析 由题得,该学生有可能答对 0,1,2,3 道,所以得分可能为-15,0,15,30.根据独 3? 3? 立试验同时发生的概率计算公式可得, 得分可能为-15,0,15,30 对应的概率分别为 C3?1- ? ? 4?
3

?3?0,C2?1-3?2?3?1,C1?1-3?1?3?2,C0?1-3?0?3?3,即为 1 , 9 ,27,27. ?4? 3? ?? ? 3? ?? ? 3? ?? ? 64 64 64 64 ? ? ? 4? ?4? ? 4? ?4? ? 4? ?4?
1 9 27 27 75 75 所以期望=(-15)× +0× +15× +30× = ,故填 . 64 64 64 64 4 4 答案 75 4

三、解答题 10.袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个(n= 1,2,3,4),现从袋中任取一球,ξ 表示所取球的标号. (1)求 ξ 的分布列、期望和方差; (2)若 η =aξ +b,E(η )=1,D(η )=11,试求 a,b 的值. 解 (1)ξ 的取值为 0,1,2,3,4,其分布列为 ξ P 0 1 2 1 1 20 2 1 10 3 3 20 4 1 5

1 1 1 3 1 ∴E(ξ )=0× +1× +2× +3× +4× =1.5, 2 20 10 20 5 1 1 1 3 2 2 2 2 D(ξ ) = (0 - 1.5) × + (1 - 1.5) × + (2 - 1.5) × + (3 - 1.5) × + (4 - 2 20 10 20 1 2 1.5) × =2.75. 5 (2)由 D(η )=a D(ξ )得 2.75a =11,得 a=±2. 又 E(η )=aE(ξ )+b, ∴当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4;
? ?a=2, ∴? ?b=-2 ? ? ?a=-2, 或? ?b=4. ?
2 2

11.(2014·安徽卷)甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛 2 完 5 局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 ,乙获胜 3 1 的概率为 ,各局比赛结果相互独立. 3 (1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布列和均值(数学期望). 解 用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”,Ak 表示“第 k 局甲获胜”,Bk 表示 2 1 “第 k 局乙获胜”,则 P(Ak)= ,P(Bk)= ,k=1,2,3,4,5. 3 3 (1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4) =P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)

?2?2 1 ?2?2 2 1 ?2?2 56 =? ? + ×? ? + × ×? ? = . ?3? 3 ?3? 3 3 ?3? 81
(2)X 的可能取值为 2,3,4,5. 5 P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)= , 9 P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3) 2 =P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)= , 9 P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4) =P(A1)P(B2)P(A3)P(A4) 10 +P(B1)P(A2)P(B3)·P(B4)= . 81

8 P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)= . 81 故 X 的分布列为 X P 2 5 9 3 2 9 4 10 81 5 8 81

5 2 10 8 224 E(X)=2× +3× +4× +5× = . 9 9 81 81 81 培 优 演 练

1.(2014·吉林长春三调)低碳生活,从“衣食住行”开始.在国内一些网站中出现了 “碳足迹”的应用, 人们可以由此计算出自己每天的碳排放量, 如家居用电的二氧化碳排放 量(kg)=耗电度数×0.785,家用天然气的二氧化碳排放量(kg)=天然气使用立方数×0.19 等.某校开展“节能减排,保护环境,从我做起!”的活动,该校高一(六)班同学利用假期 在东城、 西城两个小区进行了逐户的关于“生活习惯是否符合低碳排放标准”的调查. 生活 习惯符合低碳观念的称为“低碳家庭”,否则称为“非低碳家庭”.经统计,这两类家庭占 各自小区总户数的比例 P 数据如下: 东城小区 比例 P 低碳家庭 1 2 非低碳家庭 1 2

西城小区 比例 P

低碳家庭 4 5

非低碳家庭 1 5

(1)如果在东城、西城两个小区内各随机选择 2 个家庭,求这 4 个家庭中恰好有两个家 庭是“低碳家庭”的概率; (2)该班同学在东城小区经过大力宣传节能减排的重要意义,每周“非低碳家庭”中有 20%的家庭能加入到“低碳家庭”的行列中. 宣传两周后随机地从东城小区中任选 5 个家庭, 记 ξ 表示 5 个家庭中“低碳家庭”的个数,求 E(ξ )和 D(ξ ). 解 (1)设事件“4 个家庭中恰好有两个家庭是‘低碳家庭’”为 A,

则有以下三种情况:“低碳家庭”均来自东城小区,“低碳家庭”分别来自东城、西城 两个小区,“低碳家庭”均来自西城小区. 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 4 4 33 所以 P(A)= × × × +4× × × × + × × × = . 2 2 5 5 2 2 5 5 2 2 5 5 100 (2)因为东城小区每周“非低碳家庭”中有 20%的家庭加入“低碳家庭”行列,经过两 周后,两类家庭占东城小区总家庭数的比例如下:

东城小区 P

低碳家庭 17 25

非低碳家庭 8 25

由题意,两周后东城小区 5 个家庭中的“低碳家庭”的个数 ξ 服从二项分布,即 ξ ~

? 17? B?5, ?, ? 25?
17 17 17 8 136 所以 E(ξ )=5× = ,D(ξ )=5× × = . 25 5 25 25 125 2. (2014·湖北卷)计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站. 过去 50 年的水 文资料显示,水库年入流量 X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方 米)都在 40 以上.其中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年, 超过 120 的年份有 5 年. 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率, 并假设各年的年 入流量相互独立. (1)求未来 4 年中,至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率; (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制,并有如下关系: 年入流量 X 发电机最多可运行台数 40<X<80 1 80≤X≤120 2 X>120 3

若某台发电机运行,则该台年利润为 5 000 万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台. 解 10 (1)依题意,p1=P(40<X<80)= =0.2, 50

35 p2=P(80≤X≤120)= =0.7, 50 5 p3=P(X>120)= =0.1. 50 由二项分布, 在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 p=C4(1-p3) +C4
0 4 1

? 9 ?4 ? 9 ?3 ? 1 ? 3 (1-p3) p3=? ? +4×? ? ×? ?=0.947 7. ?10? ?10? ?10?
(2)记水电站年总利润为 Y(单位:万元). ①安装 1 台发电机的情形. 由于水库年入流量总大于 40,故 1 台发电机运行的概率为 1,对应的年利润 Y=5 000, E(Y)=5 000×1=5 000. ②安装 2 台发电机的情形. 依题意, 当 40<X<80 时, 1 台发电机运行, 此时 Y=5 000-800=4 200, 因此 P(Y=4 200)

=P(40<X<80)=p1=0.2; 当 X≥80 时, 2 台发电机运行, 此时 Y=5 000×2=10 000, 因此 P(Y=10 000)=P(X≥80) =p2+p3=0.8;由此得 Y 的分布列如下: Y P 4 200 0.2 10 000 0.8

所以,E(Y)=4 200×0.2+10 000×0.8=8 840. ③安装 3 台发电机的情形. 依题意,当 40<X<80 时,1 台发电机运行,此时 Y=5 000-1 600=3 400,因此 P(Y= 3 400)=P(40<X<80)=p1=0.2;当 80≤X≤120 时,2 台发电机运行,此时 Y=5 000×2- 800=9 200,因此 P(Y=9 200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7;当 X>120 时,3 台发电机运行, 此时 Y=5 000×3=15 000,因此 P(Y=15 000)=P(X>120)=p3=0.1,由此得 Y 的分布列 如下 Y P 3 400 0.2 9 200 0.7 15 000 0.1

所以,E(Y)=3 400×0.2+9 200×0.7+15 000×0.1=8 620. 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机 2 台.


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