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第二章 随机变量及其分布_图文

第二章 随机变量及其分布
§1 随机变量的概念
例1 从一批产品中任意抽取k件,观察出现的“废品
数”X1,依试验结果不同, X1的所有可能取值 为:0,1,2,…,k. k+1个结果可用{X1=j}表示.

例2 记录某接待站一天中来访的人数X2,依试验结果
不同,X2的所有可能取值为:0,1,2,….“接待k个人”可 用{X2=k}表示.

2013-8-9

1

例3 测试灯泡寿命的试验中,随不同的试
验,“灯泡寿命”X3 可以取所有非负的实数 值,“灯泡寿命为t小时”可以用{X3=t} 来表示.
例4 掷一枚硬币观察正反面.试验结果为:e1={正面},
e2={反面}.试验的结果可以用变量X4 表示.
X4 ? X4

?1, 当e ? e (e ) ? ? ?0, 当e ? e

1

2

对于试验E 引进变量X(e ),它定义在S上,依试验结果 e不同取不同实值,X(e)取的不同实值也与不同试验结 果对应.由于试验结果e发生是随机的,故称X(e)为随机 变量.
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定义2.1 如果对于样本空间中每个样本点e,
都有唯一的一个实数X(e)与之对应,则称X(e) 为随机变量.简记X(e)为X.
前例中各种随机事件均可用 随机变量X来描述:

X(e) 0 e S

“废品数大于10”可用{X1>10} 表示,“来 访人数为5”用 {X2=5}表示.“灯泡寿命在 3000到5000小时之间用{3000 <X3<5000}表示,“硬币出 现正面”用 {X4=1}表示.

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3

一般,若L是一个实数集合,将X在L上取值写成 { X ? L}
它表示事件B ? {e | X (e) ? L},即B是由S中使得X (e) ? L的所有样 本点e所组成的事件,此时有 P{ X ? L} ? P B) P{e | X (e) ? L}. ( ?

2.分类:(1) 离散型随机变量; (2) 连续型随机变量; (3) 其他. 目的:通过随机变量来研究随机试验,全面揭示随机现 象的统计规律. 随机变量取值的概率规律叫做随机变量的概率分布,简 称分布.
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§2 离散型随机变量及其分布律
1. 定义 若随机变量全部可能取到的值是有限多 个或可列无限多个, 则称为离散型随机变量.

2. 离散型 random variable (r.v.)的分布律 :
设离散型 r.v.X所有可能取值为xk (k ? 1,2,3,...)

P{ X ? xk } ? pk ,

k ? 1,2,...

(1)

则称式(1)为离散型r.v.X的分布律或概率分布.

式(1)也可用表格形式表示:

X x1 x2 … pk p1 p2 …
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xn pn

… ...
5

分布律的性质:
(1) pk ? 0, k ? 1,2,... (2)

?p
k ?1

?

k

? 1.

例1. 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏
信号灯,每盏信号灯以概率p禁止汽车通过, 以X表 示汽车首次停下时已通过信号灯的盏数, 求X的分 布律.(设各信号灯的工作是相互独立的).
解:
X pk 0 p 1 (1-p)p 2 3 4 (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4

即 P{X=k}=(1-p)kp, k=0,1,2,3.

P{X=4}=(1-p)4
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例2. 袋中装有3只白球和2只红球,从袋中任取两球,
用X表示取到的白球数,则X是一取值为0,1,2的离 散型随机变量,其分布律为



2 C2 1 P{ X ? 0} ? 2 ? , C5 10

1 1 C3 ? C2 3 P{ X ? 1} ? ? 2 C5 5

C32 3 P{ X ? 2} ? 2 ? C5 10



X pk

0 1 / 10

1 3/ 5

2 3 / 10

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7

例3 设X的分布律为P{ X ? k} ?

(k ? 0,1, 2,?, n), 试确定常数a.
解:由分布律的性质可得 1 k k 1 ? ? P{ X ? k} ? ? n Cn a k ?0 k ?0 3
1 k a ? ? Cn ( ) k ( ) n ? k ? ( a ? 1 ) n 3 3 k ?0 3 3
n

1 k ? Cn ? a k 3n

n

n

故 a ? 2.
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3.几种重要的离散型r.v.的分布律:

(一) 0--1分布
设随机变量X只可能取0和1两个数值,其分布为

P{X=1}=p, P{X=0}=1-p
或表为 X pk 0 1-p 1 p

其中0<p<1,则称X服从(0--1)分布或两点分布。

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9

设A是随机事件,P(A)=p (0<p<1),记
?1 X ?? ?0 A发生

, A发生

则X服从(0--1)分布.

一般地,若某随机试验E只有两个可能的 结果, 这种随机试验就可用0--1分布来描述. 如产品是否合格,射击是否命中,婴儿的 性别等都可以用(0--1)分布来描述。

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10

(二) 二项分布
定义:设试验E只有两个可能结果 A与 A, 且 P( A) ? p (0 ? p ? 1), 将试验E独立重复地进行n次,这样的试验称

为n重伯努利(Bernoulli)试验. 若以X表示n重伯努利试验中事件A发生的 次数,则X为取值0,1,…,n的离散随机变量,且分 布律为
k P{ X ? k} ? Cn p k q n ?k (k ? 0,1,?, n)

称随机变量X服从参数为n,p的二项分布,记为

X ~ b(n, p).(当n ? 1时, b(1, p)就是(0 ? 1)分布)
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下面来推导n重伯努利试验中事件A出现次数X的 分布律,以Ai表示第i次试验中A发生,以 Ai表示第 i 次试验中 A不发生,则
Bk ? A1 A2 ? Ak Ak ?1 ? An ?? ? A1 A2 ? An ? k An ? k ?1 ? An
k 上式右边共有C n 个, 且两两互斥.由试验独立性

P ( A1 ? Ak A k ?1 ? A n ) ? P ( A1 ) ? P ( Ak ) ? P ( A k ?1 ) ? P ( A n ) ? p k q n ? k
再由概率可加性得
k P ( Bk ) ? C n p k q n ? k
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(k ? 0,1,2,?, n)
12

例2. 某种电子元件的使用寿命超过1500小时为一级
品, 已知一大批该产品的一级品率为0.2, 从中随机抽 查20只, 求这20只元件中一级品只数X的分布律.

解:检查一只元件看是否为一级品可以看作是
一次试验,抽查20只元件可以看作20次试验, 又因这批元件总数很大,不放回抽样可以近 似看作放回抽样处理,所以这是20重伯努利 试验,则 X ~ b(20, 0.2).
则 P{X ? k} ? C k (0.2) k (0.8) 20?k , k ? 0, 1, 2, ... , 20. 20

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13

k 0 1 2 3 4 p 0.0115 0.0576 0.1369 0.2054 0.2182 k 5 6 7 …. 20 p 0.1745 0.1091 0.0546….1.048E-14 从上表可以看出,当k从0到20变化时 对应的概率值先变大,后变小。其实,这 个概率规律是所有二项分布共有的性质, 这就需要求出具有最大概率的项。考虑
k Cn p k q n ? k P{ X ? k} (n ? k ? 1) p ? k ?1 k ?1 n ?( k ?1) ? P{ X ? k ? 1} Cn p q kq

(n ? 1) p ? k ? 1? kq
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于是

当k<(n+1)p时,P{X=k}>P{X=k-1}
当k=(n+1)p时,P{X=k}=P{X=k-1}

当k>(n+1)p时,P{X=k}<P{X=k-1}

所以有: (1) 当(n+1)p为整时,P{X=k}在 k=(n+1)p和k=(n+1)p-1处同时达到最大。
(2) (n+1)p非整时,P{X=k}在k=[(n+1)p]处达到最大值。 如上例中,(n+1)p=(20+1)?0.2=4.2,所以P{X=k}有最大 值P{X=4}=0.2182.

使得P{X=k}达到最大值的数k称为最可能成功的

次数。
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例3. 某人进行射击, 每次命中率为
0.02, 独立射击400次, 试求至少击中 两次的概率.
解 : 设400次射击中击中的次数为X ,
则X ~ b(400, 0.02).
k P{X ? k}? C400 (0.02) k (0.98) 400?k ,k ? 0, 1, ...,400. 则 P{ X ? 2} ? 1 - P{X ? 0} - P{X ? 1}

? 1 ? (0.98) 400 ? 400 ? (0.02) ? (0.98)399.
当n较大, p又较小时, 二项分布的计算比较困 难, 例如 0.98400,0.02400, …, 可以用后面的 Poisson分布近似计算.
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(三) 泊松分布(Poisson)
若离散随机变量X 的分布为 k! 其中? ? 0是常数, 则称X 服从参数为?的泊松 分布. 记为X ~ ? (? ).
可以验证

P{ X ? k } ?

? k e??

, k ? 0, 1, 2, ...

,

? P{X ? k} ? ?
k ?0 k ?0
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?

?

? k e??
k!

? e?? ?
k ?0

?

?k
k!

?1

17

例如,一定时间间隔内电话交换台收到的 呼唤次数;一本书的印刷错误数;某一地 区一个时间间隔内发生的交通事故数等 都服从泊松分布.
二项分布可用泊松分布来近似,有如下定理:

泊松(Poisson)定理:
设随机变量序列 X n }, X n ~ b(n, pn ), {
且npn ? ? ? 0为常数, k为任一固定的非负整数, 则
k k lim P{ X n ? k} ? lim Cn pn (1 ? pn )n ?k ? n ?? n ??

? k e? ?
k!

,
18

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证明:

由 npn ? ? , pn ? ? / n.于是
P{X ? k} ? C p ?1 ? pn ?
k n k n n?k

n(n ? 1)...( n ? k ? 1) ? ? ? ? ? ? k! ?n?
?

k

? ?? ?1 ? ? n? ?

n?k

? ? ?
k

1 ? ? 2 ? ? k ? 1 ??? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? k! ? ? n ? ? n ? ? n ??? n?

n

? ?? ?1 ? ? n? ?

?k

?
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?k e ? ?
k!

.( n ? ?)
19

泊松定理的意义:
1. 在定理的条件下, 二项分布的极限分布是 泊松分布. 2. 当n很大且 p又较小时,
k Cn p k ?1 ? p ? n?k

?

?k e ? ?
k!

, 其中? ? np,

这就是二项分布的概率 近似计算公式.

在例3中, X ~ b(400 ,0.02),

? ? np ? 400 ? 0.02 ? 8,
P{X ? 2} ? 1 ? P{X ? 0} ? P{X ? 1} ? 1 ? (0.98) 400 ? 400 ? (0.02) ? (0.98)399.

? 1 ? e?8 ? 8e ?8 ? 0.997 .
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例5. 设有同类型设备300台, 各台工作是相
互独立的, 发生故障的概率都是0.01, 设一 台设备的故障由一个人处理, 问至少需配 备多少工人, 才能保证当设备发生故障但 不能及时维修的概率小于0.01?

解:设需配备N个工人, 记同一时刻发生故
障的设备 台数为X, “设备发生故障不 能及时维修”的数学表达式为:
“X>N”, 即求最小的N, 使得 P{X>N}<0.01.

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21

这里n=300, p=0.01,?=np=3, 由泊松近似公式
P{X ? N } ?

k ? N ?1

?

300

k C300 (0.01) k (0.99)300? k

3k e?3 ? ? ? 0.01. k ? N ?1 k !
300

查Poisson分布表可知最小的N ? 1 ? 9, 即N ? 8.

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22

(四) 几何分布
进行重复独立试验, 设每次试验成功的概率 为p,失败的概率为1-p=q (0<p<1), 将试验进行到 出现一次成功为止, 以X表示所需的试验次数, 则X的分布律为:
P{X=k}=qk-1p, k=1, 2, … 称为X服从参数为p的几何分布.

例 设某种社会定期发行的奖券,每券1元,中奖率为
p=0.0001,某人每次购买1张奖券, 如果没有中奖下次 继续买, 直到中奖止, 求购买次数X的分布律. 解: P{X=k}=p(1-p)k-1, k=1, 2, 3, …
P{ X ? 1000} ? p
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k ?1001

q k ?1 ? q1000 ? 0.9047 ?
23

?

(五) 超几何分布
对某批N件产品进行无放回抽样调查, 若产品中有M件次品,现从整批产品中随机 抽取n(n<=N-M) 件产品,则在这n件产品中 出现的次品数X是一个所有可能取的值为 0 ,1,2,…,l(其中l=min{M,n})的离散型随机 变量,其分布律为 k n CM ? C N?kM ? P{ X ? k} ? (k ? 0,1,2,?, l ) n CN
这个分布称为超几何分布

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24

(六) 负二项分布
若随机变量X的分布律为
?1 P{ X ? k} ? Ckr?1 p r (1 ? p) k ?r

k ? r , r ? 1,?

其中,0<p<1,则称X服从负 二项分布. 若令X表示贝努里试验序列中事件A第r次出 现时所需要的试验次数,则X服从负二项分布. 如第 r次击中目标时所射击的次数,投掷硬币 试验中第r次掷出正面时投掷的次数等.
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§3 随机变量的分布函数
对于非离散型r. v. 已不能用分布律来描 述它, 需要考虑r. v. 的值落入一个区间的概 率, 如P{ x1<X≤x2 }, P{ X≤x }等,为此引入随机 变量的分布函数.
1. 定义:设r.v. X, x?R1, 则 F(x)=P{ X≤x }称为X的分 布函数.

(1) P{ x1<X≤x2} =P{X ≤x2}-P{X ≤x1} =F(x2)-F(x1) .
(2) 无论是离散型r.v.还是非离散型r.v. ,分 布函数都 可以描述其统计规律性.
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2. 性质:
(1) F(x)是单调不减函数.(单调性)
?x2>x1, F(x2)-F(x1)=P{x1<X≤x2} ?0. (2) 0≤F(x)≤1 且(规范性) F (??) ? lim F ( x) ? 0,
x ? ??

F (??) ? lim F ( x) ? 1
x ? ??

(3) F(x)至多有可列个间断点, 而在其间断点上也是 右连续的,F(x+0)=F(x).即在间断点x0处,有 lim? F ( x ) ? F ( x 0 ? 0) ? F ( x 0 ) (右连续性)
x ? x0

说明:性质(1),(2),(3)是鉴别一个函数F(x)是否为某随
机变量X的分布函数的充要条件.
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例1. 离散型r.v., 已知分布律求其分布函数.
X pk -1 1/4 2 1/2 3 1/4

求: X的分布函数, 并求P{ X≤1/2}, P{3/2<X≤5/2}.

x ? ?1 ? 0, ?1/ 4, ?1 ? x ? 2 ? F (x) ? P{X ? x}? ? 1 / 4 ? 1/ 2 ? 3 / 4, 2 ? x ? 3 ? ? 1/ 4 ? 1/ 2 ?1/ 4 ? 1, x ? 3 ?
x -1 0
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x

-1 x

2

x
28

-1 0

2 x3

x

-1 0

2 3

x

x

-1 0

1

2

3

x

P{X ≤1/2} =F(1/2)=1/4 或由分布律直接得
P{X ≤1/2}=P{X=-1}=1/4, P{3/2<X ≤5/2} =F(5/2)-F(3/2)=1/2.
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若离散型随机变量X的分布律为
P{ X ? xk } ? pk (k ? 1,2,?)
则X的分布函数为

F ( x) ? P{ X ? x} ? P{ ? { X ? xk }} ? 即 F ( x) ?
xk ? x

?p

xk ? x

xk ? x

? P{X ? x }
k

k

离散型r.v.X的分布函数F(x)的图形呈阶梯状(如上 例),x1=-1,x2=2,x3=3都是第一类间断点(跳跃式 的),F(x)的图形在这些点处都有一个跃度,在xk处的 跃度就是X取值xk的概率 pk.
2013-8-9 30

§4. 连续型随机变量的概率密度
1.定义 :

对于r.v. X的分布函数F ( x), 存在非负函 数f ( x), 使对于任意的实数 x, 有

F ( x) ? ? f (t )dt
??

x

则称X为连续型r.v.其中函数f(x)称为X的概率密 度函数, 简称概率密度. 连续型r.v.的分布函数是连续函数,这种r.v.的取值是 充满某个区间的. 2.概率密度f ( x)的性质 : ?? (1) f ( x) ? 0. (2) ? f ( x)dx ? 1.
-?

2013-8-9

31

(3) P{x1 ? X ? x2 } ? F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? ? f ( x)dx,
x1

x2

( x1 ? x2 )

(4) 若f ( x)在点x处连续, 则有F ?( x) ? f ( x). F ( x ? ?x) ? F ( x) f ( x) ? lim ? ?x ?0 ?x P{x ? X ? x ? ?x} ? lim ? , ?x ?0 ?x

f(x)

上式可知当?x很小时, 有 P{x ? X ? x ? ?x} ? f ( x)?x.
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0

x

x

32

3. 关于连续型r.v.的一个重要结论:

定理: 设X为连续型r.v. 它取任一指定
的实数值a的概率均为0. 即P{X=a}=0.
证明: 设X的分布函数为F ( x), ?x ? 0 得 0 ? P{ X ? a} ? P{a ? ?x ? X ? a}

? F (a) ? F (a ? ?x)
令?x ? 0,由F ( x)的连续性可得 P{ X ? a} ? 0.

2013-8-9

所以 P{x1 ? X ? x2 } ? P{x1 ? X ? x2 } ? P{x1 ? X ? x2 } ? P{x1 ? X ? x2 } ? F ( x2 ) ? F ( x1 )

33

例1.设随机变量X 具有概率密度 ?ke ?3 x , x ? 0, f ( x) ? ? x ? 0, ?0, 试确定常数k , 并求分布函数F ( x)和P{ X ? 0.1}.

解:由 1 ? ? f (x)dx ?? ke?3xdx ? k /3 得 k ? 3.
-? 0

?

??

当x ? 0时, F ( x) ? ? f ( x)dx ? ? 3e?3 x dx ? 1 ? e?3 x
?? 0

x

x

?1 ? e ?3 x , x ? 0, 于是分布函数 F ( x) ? ? ?0, x ? 0. ?? P{ X ? 0.1} ? ? 3e?3 x dx ? e?0.3 ? 0.7408
0.1

? 1-F (0.1) ? e-0.3
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例2 连续型随机变量X的分布函数为
x ? ? ? A ? Be 2 , x ? 0 F ( x) ? ? ?0, x ? 0 ?
2

解:(1)因为 F (??) ? 1, 故有 lim ( A ? Be x ??
因此A ? 1.

x2 ? 2

) ? 1,

又因 lim? F ( x) ? 0 ? lim? F ( x) ? A ? B,
x ?0 x ?0

所以有 B ? ? A ? ?1
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于是

x ? ? ?1 ? e 2 , x ? 0 F ( x) ? ? ?0, x ? 0 ?
2

(2)对F(x)求导得x的概率密度为

? ? ?( x) ? ? xe , x ? 0 f ( x) ? F ?0, x ? 0 ?
x2 ? 2

(3) X落入(1,2)内的概率为
P{1 ? X ? 2} ? ? xe
1 2 x2 ? 2

dx(? F (2) ? F (1))

?e
2013-8-9

?

1 2

? e ?2 ? 0.4721 .
36

4.几个常用的连续型r.v.分布
常见的连续型分布有均匀分布,指数分布,正 态分布,伽玛分布等. (一)均匀分布:

设随机变量X 在区间[a, b]上取值, 且概率密度为:
? 1 , ? f ( x) ? ? b ? a ?0, ? a ? x ? b, 其它.

f(x) 1/(b-a) 0 a b

则称随机变量X在(a,b)上服从均匀分布,记作 X~U(a,b).
2013-8-9 37

其分布函数为:
x ? a, ?0, ? F ( x) ? ?( x ? a ) (b ? a ), a ? x ? b, ?1, x ? b. ?
F(x)

1
0 a b x

若X ~ U (a, b), 且(c, c ? d ) ? (a, b), 则
P{c ? X ? c ? d} ?

?

c?d

c

1 dx ? d , b?a b?a

此概率与子区间长度成正比, 而与子区间的起 点无关,这也是均匀分布的由来.
2013-8-9 38

(二) 指数分布:
1. 定义: 如果连续型随机变量X的概率密度为:

?e ? x / ? / ? , x ? 0, f ( x) ? ? , ? ? 0. x ? 0, ?0,
则称X服从参数为?的指数分布。记为X ~ e(? )。
有些书上称? ? 1/ ?时上述的概率分布是参数为?的 指数分布。
?1 ? e ? x / ? , x ? 0 X的分布函数为 F ( x) ? ? ?0, x ? 0

指数分布常用来做各种寿命分布的近似分布,如电子 元件,动物寿命等,通话时间,随机服务时间也近似服 从指数分布.
2013-8-9 39

指数分布的概率密度
1/θ
f(x)

?e ? x / ? / ? , x ? 0 f ( x) ? ? ?0, x ? 0
指数分布的分布函数

0

x
F(x)

?1 ? e , x ? 0 F ( x) ? ? ?0, x ? 0
2013-8-9

? x /?

1

0

x

40

指数分布的无记忆性:

定理 若X~e(θ),则对任意的正数s,t有
P{X>s+t|X>s}=P{X>t}
P{ X ? s ? t} 1 ? F ( s ? t ) 证:P{ X ? s ? t | X ? s} ? ? P{ X ? s} 1 ? F (s) e ?( s ?t ) / ? ? ? s / ? ? e ?t / ? ? P{ X ? t} e

无记忆性表明寿命X大于s时,再活t年的概率与 年龄s无关,即寿命“无老化”,“永远年轻”.
2013-8-9 41

(三) 正态分布:
(1)设随机变量X的概率密度为
? 1 2? 2 f ( x) ? e ,?? ? x ? ??, 2π? 其中? , ? (? ? 0)为常数, 则称X服从参数为? , ?的 ( x?? )2

正态分布或高斯(Gauss)分布, 记作X ~ N ( ? , ? 2 ).
其图像为:
0
f(x)

u-h

u

u+h

x

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42

正态分布函数为 F ( x) ? ?
x ?? ? 1 e 2 π? (t ? ? )2 2? 2

dt .

性质: 10 曲线关于x ? ?对称, 这表明对?h ? 0有 P{? - h ? X ? ?} ? P{? ? X ? ? ? h}.
2 当x ? ?时取最大值 f ( ? ) ?
0

1 .表明X取 2π?

值在x ? ?附近较集中 .

30 f ( x)以x轴为渐近线.
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40 f ( x)的图形依赖于两个参数? , ? .若固定? , 改变? , 则f ( x)的图形沿x轴平移而形状不变.可见f ( x )的位置 由? 确定, 称?为位置参数固定?改变? ,则最大值 . 1 f (? ) ? 改变, ? 越小,f (x)越陡峭,相反则越平坦, 2π? 故称σ为f ( x)的尺度参数

实际问题中大量随机变量服从正态分布,如 人的身高,体重,农作物的收获量,炮弹的落点等.

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44

如何计算概率? 通过标准正态分布计算其他一切正态 分布的概率:
(2) 标准正态分布:
当? ? 0, ? ? 1时, ? ( x) ? 1 e 2π
x2 ? 2

,
t2 ? 2

x 1 Φ (x ) ? ??? e dt , 2π 则称X 服从标准正态分布, 记为X ~ N (0,1).

Φ( x)即标准正态分布函数, 其表已列出供查用 .
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(3) 对于一般正态分布,分布函数怎么求? 方法是建立与标准正态分布的转换关系。 命题: 若X ~ N ( ? , ? ), 则Z ? ~ N (0,1). ? X -? 证明: Z ? 的分布函数为 ? X ?? P{Z ? x} ? P{ ? x} ? P{ X ? ? ? ?x} ?
2

X ??

? ?? x ? ? ? F ( ? ? ? x) ? Φ( ) ? ? Φ(x),
X ??

可知Z ?
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?

~ N (0,1).
46

对于任意区间 x1 , x2 ], 有 (
x1 ? ? X ?? x2 ? ?

P{x1 ? X ? x2 } ? P{
? Φ(

?

?

?
?

?
)

?

}

x2 ? ?

?

) ? Φ(

x1 ? ?

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47

引理 对于标准正态分布有
Φ(? x) ? 1 ? Φ( x).
证明 考虑x>0的情形.由于标准正态密度?(x)是偶函
数,作积分变换 u=-t,有
1 Φ (? x) ? 2π 1 ? 2π
?? ?x

??

?e

t2 ? 2

1 dt ? 2π

??

?e

x

u2 ? 2

(?1)du

?e
x

u2 ? 2

1 du ? 1 ? 2π

??

?e
-x

x

u2 ? 2

du

? 1 ? Φ ( x).
0
x x
48

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例1 设X ~ N (1, 4), 则
? 1.6 ? 1 ? ? 0 ?1 ? P{0 ? X ? 1.6} ? Φ? ? ? Φ? ? ? 2 ? ? 2 ?

? Φ(0.3) ? Φ(?0.5)

? 0.6179 ? [1 ? Φ(0.5)]
? 0.6179 ? 1 ? 0.6915

? 0.3094 .
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例2 公共汽车车门的高度是按男子与车门
碰头机会在0.01以下设计的,设男子身高 X?N(170,62)(厘米),问车门高度应为多 少?
解:设车门高度为h,按题意有
h ? 170 P{ X ? h} ? 1 ? F (h) ? 1 ? Φ( ) ? 0.01 6 h ? 170 即 Φ( ) ? 0.99, 查表可得 6 h ? 170 ? 2.33 ? h ? 184 (厘米) 6
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P{X>h}<0.01

例3 若X~N(?,?2),求X落入区间:[?-?, ?+?], [?-2?, ?+2?], [?-3?, ?+3?]的概率为多少?
解:P{?-?≤X≤?+?} =F(?+?)-F(?-?)

? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? Φ? ? ? Φ? ? ? ? ? ? ? ?
? 2?(1) ? 1 ? 0.6826

P{? ? 2? ? X ? ? ? 2? } ? Φ(2) ? Φ(?2) ? 0.9544

P{? ? 3? ? X ? ? ? 3? } ? Φ(3) ? Φ(?3) ? 0.997
由上三式可知, 服从正态分布N(?,?2),的r.v.X之值基 本上落入[?-2?, ?+2?]之内, 几乎全部落入[?-3?, ?+3?]内.
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(4) 标准正态分布的上?分位点:
设X ~ N (0,1), 若z? 满足条件 P{ X ? z? } ? ? , 0 ? ? ? 1,

?(x) ?
0 z?

则称点z? 为标准正态分布的上?分位点.

由查标准正态分布函数表可知

z0.05 =1.645,

z0.025=1.96

即Φ(1.645) ? 0.95,Φ(1.96) ? 0.975.
z0.95 ? ? z0.05 ? ?1.645, z0.975 ? ? z0.025 ? ?1.96
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由对称性可得 z1?? ? ? z?

(四) 伽玛分布:
1. 定义:如果连续型随机变量X的概率密度为:
? ? p p ?1 ? ? x x e , x ? 0, ? f ( x) ? ? ?( p ) ?0, x ? 0. ? 其中, ? ? 0, p ? 0为参数, 伽玛函数为 ?( p) ? ?
?? 0

x p ?1e ? x dx,

则称X 服从伽玛分布, 简记X ~ ?( p, ? ).
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2. 特例: ?(1,?) 是参数为 1/?的指数分布. 3. 伽玛函数的性质: (i) ?(p+1)= p?(p); (ii) 对于正整数n, ?(n+1)=n!;
1 (iii )?( ) ? π . 2

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54

§5. 随机变量的函数的分布
我们研究如何由已知的r.v.X的分布,去求得 它的函数Y=g(X)的分布(其中g(.)是已知的连续 函数), 分两种情形讨论:
一、 X为离散型r.v. 例1.设X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律: X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
X pk Y
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-1 0.2 4

0 0.3 1

1 0.1 0

2 0.4 1
55

即 P{Y=0} =P{X=1} =0.1 P{Y=1} =P{X=0}+P{X=2} =0.3+0.4=0.7 P{Y=4}=P{X=-1}=0.2 即 Y pk 0 0.1 1 0.7 4 0.2

1. 离散r.v.分布函数的概率分布的求法: 设X的概率分布如下表: X x1 x2 … xk … P{X=xi} p1 p2 … pk ...
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(1)记yi=g(xi)(i=1,2,…),yi的值也是互不相
同的, 则Y的概率分布如下表: Y y1 y2 … P{Y=yi} p1 p2 … yk … pk ...

(2) 若g(x1),g(x2),…中不是互不相等的, 则应将 那些相等的值分别合并, 并根据概率加法公 式把相应的pi相加, 就得到了Y的概率分布律.

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二、X为连续型r.v.
例2. 设r.v.X 具有概率密度 ? x 8, 0 ? x ? 4 , f X (x ) ? ? 其它, ?0, 求Y ? 2 X ? 8的概率密度.

解 : 先求Y ? 2 X ? 8的分布函数FY ( y ) :
FY ( y ) ? P{Y ? y} ? P{2 X ? 8 ? y}
y -8 ? P{ X ? }? f X ( x ) dx 2 -? 2 ( y ? 8) (? ,8 ? y ? 16) 64
( y ?8 ) 2

?

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? fY ( y) ? FY? ( y)

? y -8 , 8 ? y ? 16, y -8 y -8 ? ? fX ( )( )? ? ? 32 2 2 ?0, 其它. ?

“分布函数法”: (1) 先求出Y的分布函数: FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{X?G},其中 G={x:g(x) ≤y},转化为关于X的事件, 再利用X 的分布函数表示. (2)对y求导得到Y的概率密度: fY ( y) ? FY? ( y).
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例3. 设X 的概率密度为f X (x), -? ? x ? ??, 求Y ? X 2的概率密度.

解 : 当y ? 0时, FY ( y ) ? P{Y ? y} ? 0.

当y ? 0时, FY ( y) ? P{Y ? y} ? P{ X 2 ? y}
? P{- y ? X ? y}

??

y

? y

f X ( x)dx

1 ? , y ? 0, ?[ f X ( y ) ? f X ( ? y )] 则fY ( y) ? FY? ( y) ? ? 2 y ? 0, y ? 0. ?

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例如, 设X ~ N (0, 1), 其概率密度为

1 ? ( x) ? e 2π

x2 2

,-? ? x ? ??,

则Y ? X 2的概率密度为
1 y ? 1 y 2 e 2 , y ? 0, ? fY ( y ) ? ? 2 π ? 0, y ? 0, ? 2 此时称Y 服从自由度为 的? 分布. 1

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设随机变量X 具有概率密度f X ( x ), ? ? x ? ?, ? 又设函数g ( x)处处可导且恒有g ?( x) ? 0(或恒有 g ?( x ) ? 0), 则Y ? g ( X )是连续型随机变量,其 概率密度为

? f X (h( y )) | h?( y ) |, ? ? y ? ? fY ( y ) ? ? 其他 ? 0, 其中? ? min{ g (??), g (?)}, ? ? max{ g (??), g (?)}, h( y )是g ( x)的反函数。

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例4 设随机变量X?N(?,?2),求Y=aX+b(a>0)的
概率密度。
2 ? 1 2 解:由X ~ N ( ? , ? )知f X ( x) ? e 2? 2π? 现在y ? g ( x) ? ax ? b,由这一式子解得 y ?b 1 ?( y ) ? x ? h( y ) ? , 且有h a a 由定理可得Y ? aX ? b的概率密度为 1 y ?b f Y ( y) ? fX ( ), ? ? ? y ? ? | a | y ?b a ( x ? ? )2



1 1 fY ( y ) ? e | a | 2π?

?

(

a 2? 2

? ? )2

?

1 | a | ? 2π

?

[ y ? ( b ? a ? )]2 2( a? ) 2

e

即有 Y ? aX ? b ~ N (a? ? b,(a? )2 )
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例5 设电压V ? A sin ?,其中A是一个已知的正常数, 相角Θ是一个随机变量,且有Θ ~ U ? π / 2,π / 2), ( 试求电压V的概率密度。
解:现在v ? g (? ) ? A sin ? 在( ? π / 2,π / 2) 上恒有g ?(? ) ? A cos ? ? 0, 且有反函数

? ? h(v ) ? arcsin(v / A), h?(v) ?

1 A2 ? v 2

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又Θ的概率密度为 ?1 / π, ? π / 2 ? ? ? π / 2 f (? ) ? ? 其他 ? 0,

由定理得V ? A sin Θ的概率密度为 1 ? ,? A?v? A ? ? (v ) ? ? π A 2 ? v 2 ? 0, 其他 ?

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