kl800.com省心范文网

数学百大经典例题——离散型随机变量的期望与方差(新课标)


开锁次数的数学期望和方差
例 有 n 把看上去样子相同的钥匙,其中只有一把能把大门上的锁打开.用它们去试开

门上的锁.设抽取钥匙是相互独立且等可能的.每把钥匙试开后不能放回.求试开次数 ? 的数 学期望和方差. 分析:求 P(? ? k ) 时,由题知前 k ? 1 次没打开,恰第 k 次打开.不过,一般我们应从简 单的地方入手,如 ? ? 1,2,3 ,发现规律后,推广到一般. 解: ? 的可能取值为 1,2,3,?,n.

1 P(? ? 1) ? , n 1 1 n ?1 1 1 P(? ? 2) ? (1 ? ) ? ? ? ? ; n n ?1 n n ?1 n 1 1 1 n ?1 n ? 2 1 1 P(? ? 3) ? (1 ? ) ? (1 ? )? ? ? ? ? ;? n n ?1 n ? 2 n n ?1 n ? 2 n
1 1 1 1 1 n ?1 n ? 2 n ? 3 n ? k ? 1 1 1 P(? ? k ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? )? ? ? ? ? ? ? n n ?1 n?2 n ? k ? 2 n ? k ?1 n n ?1 n ? 2 n ? k ? 2 n ? k ? 1 n

;所以 ? 的分布列为:

?
P

1

2

? ?

k

? ?

n

1 n

1 n

1 n

1 n

1 1 1 1 n ?1 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ? ? n ? ? ; n n n n 2
D? ? (1 ? n ?1 2 1 n ?1 2 1 n ?1 2 1 n ?1 2 1 n ?1 2 1 ) ? ? (2 ? ) ? ? (3 ? ) ? ? ? ? (k ? ) ? ? ? ? (n ? ) ? 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n

?

1? 2 n ?1 2 ? (1 ? 22 ? 32 ? ? ? n 2 ) ? (n ? 1)(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? ( ) ? n? ? n? 2 ?

?

1 ?1 n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 ? n 2 ? 1 n ( n ? 1 )( 2 n ? 1 ) ? ? ? ?? n ?6 2 4 ? 12

说明:复杂问题的简化处理,即从个数较小的看起,找出规律所在,进而推广到一般, 方差的公式正确使用后,涉及一个数列求和问题,合理拆项,转化成熟悉的公式,是解决的 关键.

次品个数的期望



某批数量较大的商品的次品率是 5%,从中任意地连续取出 10 件,? 为所含次品的

个数,求 E? . 分析: 数量较大, 意味着每次抽取时出现次品的概率都是 0.05, 0, 1, 2, ?, ? 可能取值是: 10.10 次抽取看成 10 次独立重复试验,所以抽到次品数 ? 服从二项分布,由公式 E? ? np 可 得解. 解:由题, ? ~ B?10,0.05? ,所以 E? ? 10? 0.05 ? 0.5 . 说明:随机变量 ? 的概率分布,是求其数学期望的关键.因此,入手时,决定 ? 取哪些值
k 及其相应的概率,是重要的突破点.此题 P(? ? k ) ? C10 (0.05)k ? (1 ? 0.05)10?k ,应觉察到这

是 ? ~ B?10,0.05? .

根据分布列求期望和方差


、D?? . 设 ?? 是一个离散型随机变量,其分布列如下表,求 q 值,并求 E??

??
P

-1

0

1

1 2

1 ? 2q

q2

、D?? 只须按定义 分析:根据分布列的两个性质,先确定 q 的值,当分布列确定时, E??
代公式即可. 解: 离散型随机变量的分布满足 (1) P ,2,3,?? , i ? 0, i ? 1 (2) P ? 1. 1?P 2 ?P 3 ? ??

?1 2 ? 2 ? 1 ? 2q ? q ? 1, ? 所以有 ?0 ? 1 ? 2q ? 1, 解得 ? q 2 ? 1. ? ?
故 ?? 的分布列为

q ? 1?

1 . 2

??

-1

0

1

P

1 2

2 ?1

3 ? 2 2

1 ?3 ? ? E?? ? (?1) ? ? 0 ? ( 2 ? 1) ? 1? ? ? 2 ? 2 ?2 ?
1 3 ? ? ? ? 2 ? 1 ? 2. 2 2

1 ?3 ? D?? ? [?1 ? (1 ? 2 )]2 ? ? (1 ? 2 ) 2 ? ( 2 ? 1) ? [1 ? (1 ? 2 )]2 ? ? ? 2 ? 2 ?2 ? 1 ?3 ? ? ( 2 ? 2) 2 ? ? ( 2 ? 1)3 ? 2? ? 2 ? 2 ?2 ?

? 3 ? 2 2 ? 2 2 ? 6 ? 3 2 ?1 ? 3 ? 2 2 ? 2 ?1.
小结:解题时不能忽视条件 P(? ? k i ) ? pi 时, 0 ? pi ? 1 , i ? 1,2,? ? ? 否则取了 q ? 1 的值后,辛辛苦苦计算得到的是两个毫无用处的计算.

产品中次品数分布列与期望值
例 一批产品共 100 件,其中有 10 件是次品,为了检验其质量,从中以随机的方式选 取 5 件,求在抽取的这 5 件产品中次品数分布列与期望值,并说明 5 件中有 3 件以上(包括 3 件)为次品的概率. (精确到 0.001) 分析:根据题意确定随机变量及其取值,对于次品在 3 件以上的概率是 3,4,5 三种情 况的和. 解:抽取的次品数是一个随机变量,设为 ?? ,显然 ?? 可以取从 0 到 5 的 6 个整数. 抽样中,如果恰巧有 k 个( k ? 0,1,2,3,4,5 )次品,则其概率为

P(? ? k ) ?

k 5? k C10 ? C90 5 C100

按照这个公式计算,并要求精确到 0.001,则有

P(?? ? 0) ? 0.583, P(?? ? 1) ? 0.340, P(?? ? 3) ? 0.07, P(?? ? 4) ? 0,
故 ?? 的分布列为

P(?? ? 2) ? 0.070, P(?? ? 5) ? 0.

??
P

0 0.583

1 0.340

2 0.070

3 0.007

4 0

5 0

E?? ? 0 ? 0.583? 1? 0.340? 2 ? 0.070? 3 ? 0.007? 4 ? 0 ? 5 ? 0 ? 0.501.

由分布列可知,

?

P(?? ? 3) ? 0.007? 0 ? 0, P(?? ? 3) ? 0.007.

这就是说,所抽取的 5 件品中 3 件以上为次品的可能性很小,只有 7%.

评定两保护区的管理水平
例 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致相 等.而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为: 甲保护区:

?
P
乙保护区:

0 0.3

1 0.3

2 0.2

3 0.2

?
P

0 0.1

1 0.5

2 0.4

试评定这两个保护区的管理水平. 分析:一是要比较一下甲、乙两个保护区内每季度发生的违规事件的次数的均值,即数 学期望;二是要看发生违规事件次数的波动情况,即方差值的大小. (当然,亦可计算其 标准差,同样说明道理. ) 解:甲保护区的违规次数 ? 1 的数学期望和方差为:

E?1 ? 0 ? 0.3 ? 1? 0.3 ? 2 ? 0.2 ? 3 ? 0.2 ? 1.3;

D?1 ? (0 ? 1.3) 2 ? 0.3 ? (1 ? 1.3) 2 ? 0.3 ? (2 ? 1.3) 2 ? 0.2 ? (3 ? 1.3) 2 ? 0.2 ? 1.21 ;
乙保护区的违规次数 ? 2 的数学期望和方差为:

E? 2 ? 0 ? 0.1 ? 1? 0.5 ? 2 ? 0.4 ? 1.3;

D? 2 ? (0 ?1.3)2 ? 0.1 ? (1 ?1.3)2 ? 0.5 ? (2 ?1.3)2 ? 0.4 ? 0.41;
因为 E?1 ? E? 2 , D?1 ? D? 2 ,所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的, 但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定,而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动. (标准差 ??1 ? 然, ?? 1 ? ?? ) 说明:数学期望仅体现了随机变量取值的平均大小,但有时仅知道均值大小还是不够的, 比如:两个随机变量的均值相等了(即数学期望值相等) ,这就还需要知道随机变量的取值如 何在均值周期变化,即计算其方差(或是标准差) .方差大说明随机变量取值分散性大;方差

D? 1 ? 1.1, ?? 2 ? D? 2 ? 0.64 这两个值在科学计算器上容易获得,显

小说明取值分散性小或者说取值比较集中、稳定.

射击练习中耗用子弹数的分布列、期望及方差
例 某射手进行射击练习,每射击 5 发子弹算一组,一旦命中就停止射击,并进入下一 组的练习,否则一直打完 5 发子弹后才能进入下一组练习,若该射手在某组练习中射击命中 一次,并且已知他射击一次的命中率为 0.8,求在这一组练习中耗用子弹数 ?? 的分布列,并求 出 ?? 的期望 E?? 与方差 D??(保留两位小数) . 分析:根据随机变量不同的取值确定对应的概率,在利用期望和方差的定义求解. 解: 该组练习耗用的子弹数 ?? 为随机变量, ?? 可以取值为 1,2,3,4,5.

?? =1,表示一发即中,故概率为
P(?? ? 1) ? 0.8;

?? =2,表示第一发未中,第二发命中,故
P(?? ? 2) ? (1 ? 0.8) ? 0.8 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.16;

?? =3,表示第一、二发未中,第三发命中,故
P(?? ? 3) ? (1 ? 0.8)2 ? 0.8 ? 0.22 ? 0.8 ? 0.032;

?? =4,表示第一、二、三发未中,第四发命中,故
P(?? ? 4) ? (1 ? 0.8)3 ? 0.8 ? 0.23 ? 0.8 ? 0.0064

?? =5,表示第五发命中,故
P(?? ? 5) ? (1 ? 0.8)4 ?1 ? 0.24 ? 0.0016 .
因此, ?? 的分布列为

??
P

1 0.8

2 0.16

3 0.032

4 0.0064

5 0.0016

E?? ? 1? 0.8 ? 2 ? 0.16 ? 3 ? 0.032? 4 ? 0.0064? 5 ? 0.0016 ? 0.8 ? 0.32 ? 0.096? 0.0256? 0.008 ? 1.25,
D?? ? (1 ?1.25)2 ? 0.8 ? (2 ?1.25)2 ? 0.16 ? (3 ?1.25)2 ? 0.032? (4 ?1.25)2 ? 0.0064? (5 ?1.25)2 ? 0.0016

? 0.05 ? 0.09 ? 0.098 ? 0.0484 ? 0.0225 ? 0.31.

说明:解决这类问题首先要确定随机变量的所有可能取值,然后再根据概率的知识求解 对应的概率.

准备礼品的个数
例 某寻呼台共有客户 3000 人,若寻呼台准备了 100 份小礼品,邀请客户在指定时间来 领取.假设任一客户去领奖的概率为 4%.问:寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请?若能 使每一位领奖人都得到礼品,寻呼台至少应准备多少礼品? 分析:可能来多少人,是一个随机变量 ? .而 ? 显然是服从二项分布的,用数学期望来反 映平均来领奖人数,即能说明是否可行. 解 : 设 来 领 奖 的 人 数

? ? k , (k ? 0,1,2,?,3

0) 0, 0 所



k ,0.04? , 所 以 , P(? ? k ) ? C3000 (0.04)k ? (1 ? 0.04)30000 ?k , 可 见 ? ~ B?30000

E? ? 3000? 0.04 ? 120(人) ? 100 (人) .
答:不能,寻呼台至少应准备 120 份礼品. 说明: “能”与“不能”是实际问题转到数学中来,即用数字来说明问题.数字期望反映 了随机变量取值的平均水平.用它来刻画、比较和描述取值的平均情况,在一些实际问题中 有重要的价值.因此,要想到用期望来解决这一问题.


数学百大经典例题离散型随机变量的期望与方差(新课标).doc

数学百大经典例题离散型随机变量的期望与方差(新课标) - 开锁次数的数学期望

推荐-数学百大经典例题离散型随机变量的期望与方差....doc

推荐-数学百大经典例题离散型随机变量的期望与方差(新课标) 精品 - 开锁次

数学百大经典例题离散型随机变量分布列(新课标).doc

数学百大经典例题离散型随机变量分布列(新课标) - 高考资源网(ks5u.c

高中数学新课标典型例题 离散型随机变量的期望与方差.doc

高中数学新课标典型例题 离散型随机变量的期望与方差 - 开锁次数的数学期望和方差

数学百大经典例题离散型随机变量分布列(新课标).doc

数学百大经典例题离散型随机变量分布列(新课标) - 耗用子弹数的分布列 例

推荐-数学百大经典例题离散型随机变量分布列(新课....doc

推荐-数学百大经典例题离散型随机变量分布列(新课标) 精品 - 耗用子弹数的

高二数学知识点:离散型随机变量的期望与方差.doc

高二数学知识点:离散型随机变量的期望与方差 - 德智答疑 http://dayi.dezhi.com/shuxue 高二数学知识点:离散型随机变量的期望与方差 1、一道大题 [高二数学] ...

(新课标)高三数学一轮复习 第10篇 离散型随机变量的数....doc

(新课标)高三数学一轮复习 第10篇 离散型随机变量的数学期望与方差学案 理_...p=0.45 课堂探究案 典型例题 考点 1 离散型随机变量的均值、方差 【典例 1...

高中数学教案离散型随机变量的期望与方差(一).doc

高中数学教案离散型随机变量的期望与方差(一) - 高中数学教案 第三册(选修

...一轮经典例题离散型随机变量的期望与方差(福建....doc

2012届高考数学(理)一轮经典例题离散型随机变量的期望与方差(福建版) - 开锁次数的数学期望和方差 例 有 n 把看上去样子相同的钥匙,其中只有一把能把大门...

...及其分布列.版块三.离散型随机变量的期望与方差1.学....doc

数学期望 知识内容 1. 离散型随机变量及其分布列⑴...a 2 D( X ) ; 4. 典型分布的期望与方差: ⑴...( P 【例7】 甲乙两人独立解出某一道数学题的...

离散型随机变量的分布列、期望与方差.doc

离散型随机变量的分布列、期望与方差_数学_高中教育...期望与方差一、选择题 1. ( 2014 浙江 )已知 甲...求 X 得分布列和数学期望. 8. (2014 新课标 1...

...数学一轮复习 11.5 离散型随机变量的期望与方差、正....doc

2013高考数学一轮复习 11.5 离散型随机变量的期望与方差、正态分布精品教学案(教师版)新人教版_数学_高中教育_教育专区。2013 年高考数学一轮复习精品教学案 11...

期望与方差-- 经典例题 -拓展习题-方法总结.doc

期望与方差-- 经典例题 -拓展习题-方法总结_高考_高中教育_教育专区。高考数学期望与方差专题训练与解题方法总结 离散型随机变量的分布列、期望与方差 1、高考考点...

...(新课标)版高考数学一轮复习10.4离散型随机变量的分....doc

【3 年高考】(新课标)2016 版高考数学一轮复习 10.4 离散型随机 变量的分布列、期望与方差 A 组 20122014 年高考基础题组 1.(2013 广东,4,5 分)...

经典例题:期望与方差_图文.ppt

经典例题:期望与方差_高三数学_数学_高中教育_教育专区。经典例题:期望与方差 经典例题: 经典例题:期望与方差 例题解析 离散型随机变量的分布列及其性质 【例 1】...

...数学一轮复习 11.5 离散型随机变量的期望与方差、正....doc

2013高考数学一轮复习 11.5 离散型随机变量的期望与方差、正态分布精品教学案(学生版)新人教版_数学_高中教育_教育专区。2013 年高考数学一轮复习精品教学案 11...

离散型随机变量的期望与方差_图文.ppt

离散型随机变量的期望与方差 - 回顾 一、基本知识 P ( AB) 1. 条件概

【3年高考】(新课标)版高考数学一轮复习 10.4离散型随机变量的....doc

【3 年高考】(新课标)2016 版高考数学一轮复习 10.4 离散型随机 变量的分布列、期望与方差 A 组 20122014 年高考基础题组 1.(2013 广东,4,5 分)...

离散型随机变量的方差与期望值_图文.ppt

离散型随机变量的方差与期望值_数学_高中教育_教育专区。离散型随机变量的期望与方差,自己课堂作业 学号:1037017458 姓名:高静 随机变量的概率分布及其分布函数 ...