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2009年全国高考理科数学试题及答案-全国2卷

2009 年全国高考理科数学试题及答案(全国卷Ⅱ)
一、选择题: 1.
10i ? 2-i

A. -2+4i 解:原式 ?

B. -2-4i

C. 2+4i

D. 2-4i

10i(2+i) ? ?2 ? 4i .故选 A. (2-i)(2+i)

2. 设集合 A ? ? x | x ? 3? , B ? ? ?x |
?

x ?1 ? ? 0? ,则 A ? B = x?4 ?

A. ? 解:B ? ? ?x |
?

B. ? 3, 4 ?

C. ? ?2,1?

D. ? 4. ? ??

x ?1 ? ? 0? ? ? x | ( x ? 1)( x ? 4) ? 0? ? ? x |1 ? x ? 4? .? A ? B ? (3, 4) .故选 x?4 ?

B. 3. 已知 ?ABC 中, cot A ? ? A.
12 13 12 , 则 cos A ? 5

B.

5 13

C. ?

解:已知 ?ABC 中, cot A ? ?
cos A ? ? 1 1 ? tan 2 A ??

12 ? ,? A ? ( , ? ) . 5 2

5 13

D. ?

12 13

1 5 1 ? (? ) 2 12

??

12 13

故选 D.

4.曲线 y ?

x 在点 ?1,1? 处的切线方程为 2x ?1

A. x ? y ? 2 ? 0
x ? 4y ?5 ? 0

B. x ? y ? 2 ? 0

C. x ? 4 y ? 5 ? 0

D.

解: y? |x?1 ?

2x ?1 ? 2x 1 |x?1 ? [? ] |x?1 ? ?1 , 2 (2 x ? 1) (2 x ? 1) 2
故选 B.

故切线方程为 y ?1 ? ?( x ?1) ,即 x ? y ? 2 ? 0

E 为 AA1 中点, 5. 已知正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,AA1 ? 2 AB, 则异面直

线 BE 与 CD1 所成的角的余弦值为 A.
10 10

B.

1 5

C.

3 10 10

D.

3 5

解:令 AB ? 1 则 AA1 ? 2 ,连 A1B ?C1D ∥ A1B ? 异面直线 BE 与 CD1 所成的 角即 A1B 与 BE 所成的角。在 ?A1BE 中由余弦定理易得 cos ?A1BE ? 6. 已知向量 a ? ? 2,1? , a ? b ? 10,| a ? b |? 5 2 ,则 | b |? A.
5
3 10 。故选 C 10

B.
? ? ?

10

C. 5
? ? ?

D. 25

解:?50 ?| a ? b |2 ?| a |2 ?2a? b? | b |2 ? 5 ? 20? | b |2 ? | b |? 5 。故选 C 7. 设 a ? log3 ? , b ? log2 3, c ? log3 2 ,则 A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. b ? a ? c D. b ? c ? a

??

解:?log3 2 ? log2 2 ? log2 3 ?b ? c
lo2 g ? 3 l2 o g? 2
3

lo ?g 3 ?3 ? l ao gb ? ? a b ?

.故选 A. c ?
6

? ?? 8. 若将函数 y ? tan ? 与 ? ? x ? ? ?? ? 0 ? 的图像向右平移 个单位长度后,
? 4?

?? 函数 y ? tan ? ? ? x ? ? 的图像重合,则 ? 的最小值为
? 6?

A.

1 6

B.

1 4
?

C.

1 3

D.

1 2

? ? 向右平移 6 个单位 ? ? ?? ? 解: y ? tan ? ? y ? tan[? ( x ? ) ? ] ? tan ? ? x ? ? ? ? x ? ? ?????? 4? 6 4 6? ? ?

?

?
4

?

?
6

? ? k? ?

又? ? ? 0 ??min

1 ? ? ? 6k ? ( k ? Z ) , 6 2 1 ? .故选 D 2

?

9. 已 知 直 线 y ? k ? x ? 2?? k ? 0? 与 抛 物 线
C : y 2 ? 8x 相交于 A、B 两点, F 为 C 的焦点,

若 | FA |? 2 | FB | ,则 k ? A. D.
2 2 3
1 3

B.

2 3

C.

2 3

解:设抛物线 C : y 2 ? 8x 的准线为 l : x ? ?2 直线 y ? k ? x ? 2?? k ? 0? 恒过定 点 P ? ?2,0? . 如 图 过 A、B 分 别 作 A M ? l 于 M , BN ? l 于 N , 由
| FA |? 2 | FB | , 则 | AM |? 2 | BN | , 点 B 为 AP 的 中 点 . 连 结 OB , 则
| OB |? 1 | AF | , ? | OB |?| BF | 2

点 B 的横坐标为 1 , 故点 B 的坐标为

(1, 2 2) ? k ?

2 2 ?0 2 2 , 故选 D ? 1 ? (?2) 3

10. 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门。则甲、乙所选的课程中至 少有 1 门不相同的选法共有 A. 6 种 B. 12 种 C. 30 种 D. 36 种

解:用间接法即可. C42 ? C42 ? C42 ? 30 种. 故选 C 11. 已知双曲线 C: 2 ?
x2 a y2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F ,过 F 且斜率为 3 b2

的直线交 C 于 A、B 两点,若 AF ? 4 FB ,则 C 的离心率为

m
9 5

A.

6 5

B.

7 5

C.

5 8

D.

解:设双曲线 C: 2 ?
A、B

x2 a

y2 ? 1 的右准线为 l , 过 b2

分 别作 AM ? l 于 M , BN ? l 于 N ,

BD ? AM 于D ,由直线 AB 的斜率为 3 ,知



线

AB
? A D






| ,D




B | |

6 ?0 ? B

1 6? 0 A ?, 2

? | A


|A


?M|



线










? |


F | B |

? ? 1 ? 1 ??? ?? ??? ? ? ? 1 ? ? |B N|? |? A | ABD |? ?| (| AF | ?(| FB A |)|. F e 2 2 ??? ? 5 ??? ? 1 6 又? AF ? 4 FB ? ? 3 | FB |? | FB |? e ? 故选 A e 2 5

12. 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为 上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一 些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的 平面图形,则标“ ? ”的面的方位是 A. 南 C. 西 B. 北 D. 下

解:展、折问题。易判断选 B 第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在 答题卡上。 13. ? x y ? y x ? 的展开式中 x3 y3 的系数为
4

6



解: ? x y ? y x ? ? x2 y 2 ( x ? y )4 ,只需求 ( x ? y )4 展开式中的含 xy 项
4

的系数: C42 ? 6 14. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a5 ? 5a3 则 解:??an ? 为等差数列,?
S9 9a5 ? ?9 S5 5a3 S9 ? S5

9

.

15.设 OA 是球 O 的半径, M 是 OA 的中点,过 M 且与 OA 成 45°角的平 面截球 O 的表面得到圆 C 。若圆 C 的面积等于 积等于 8? . 解:设球半径为 R ,圆 C 的半径为 r ,由4? r 2 ? 因为 OC ?
7? 7 ,得r 2 ? . 4 4 7? ,则球 O 的表面 4

2 2 1 7 2 R 2 R) ? r 2 ? R 2 ? 得 R 2 ? 2 . 故球 ? ? R 。由 R 2 ? ( 4 8 4 2 2 4

O 的表面积等于 8?

.

16. 已 知 A C、 B D为 圆 O : x2 ? y2 ? 4 的 两 条 相 互 垂 直 的 弦 , 垂 足 为
M 1, 2 ,则四边形 ABCD 的面积的最大值为

?

?



解:设圆心 O 到 AC、BD 的距离分别为 d1、d2 ,则 d12 +d22 ? OM 2 ? 3 . 四边形 ABCD 的面积 S ? | AB | ? | CD |? 2 (4 ? d12 )(4-d 2 2 ) ? 8 ? (d12 ? d 2 2 ) ? 5 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤 17(本小题满分 10 分) 设 ?ABC 的 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 长 分 别 为 a 、 b 、 c ,
cos( A ? C ) ? cos B ? 3 , b2 ? ac ,求 B 。 2 3 (? C ? ) co Bs? , 易 想 到 先 将 B ? ? ? ( A ? C ) 代 入 分 析 : 由 c o sA 2 1 2

cos( A ? C ) ? cos B ?

3 3 得 cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? 然后利用两角和与差的 2 2。

余弦公式展开得 sin A sin C ? ;又由 b2 ? ac ,利用正弦定理进行边角互 化,得 sin2 B ? sin A sin C ,进而得 sin B ? 做到这里忽略了检验, 事实上, 当B ?
3 2

3 4

? 2? 3 .故 B ? 或 。大部分考生 3 3 2

2? 1 时, 由 cos B ? ? cos( A ? C ) ? ? , 3 2

进而得 cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? ? 2 ? 1 ,矛盾,应舍去。 也可利用若 b2 ? ac 则 b ? a或b ? c 从而舍去 B ? 生不易想到。 评析:本小题考生得分易,但得满分难。
2? 。不过这种方法学 3

18(本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC, D 、
E 分别为 AA1 、 B1C 的中点, DE ? 平面 BCC1

(I)证明: AB ? AC (II) 设二面角 A ? BD ? C 为 60°, 求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小。 (I)分析一:连结 BE,? ABC ? A1B1C1 为直三棱柱, ??B1BC ? 90?,
? E 为 B1C 的中点,? BE ? EC 。又 DE ? 平面 BCC1 ,

? BD ? DC (射影相等的两条斜线段相等)而 DA ? 平面 ABC , ? AB ? AC (相等的斜线段的射影相等) 。

分析二: 取 BC 的中点 F , 证四边形 AFED 为平行四边形, 进而证 AF ∥ DE , AF ? BC ,得 AB ? AC 也可。 分析三:利用空间向量的方法。具体解法略。

(II) 分析一: 求 B1C 与平面 BCD 所成的线面角,只需求点 B1 到面 BDC 的距离即可。
C ? B D ,?AGC 为二面角 A ? BD ? C 的 作 AG ? BD 于 G , 连 GC , 则G

平面角, ?AGC ? 60? .不妨设 AC ? 2 3 , 则 AG ? 2, GC ? 4 . 在 RT ?ABD 中 , 由
AD ? AB ? BD ? AG ,易得 AD ? 6 .

设点 B1 到面 BDC 的距离为 h , B1C 与 平 面 B C D所 成 的 角 为 ? 。 利 用
1 1 S ?B1BC ? DE ? S ?BCD ? h ,可求得 h ? 2 3 , 3 3


sin ??






3 ?0 .

B1C ? 4 3

h 1 ? ?? ? B1C 2

即 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30?. 分析二:作出 B1C 与平面 BCD 所成的角再行求解。如图可证得
BC ? 面AFED , 所以面 AFED ? 面BDC 。 由分析一易知: 四边形 AFED O ?面 B D C 为正方形, 连 AE、DF , 并设交点为 O , 则E
? OC 为 EC ,

在面 BDC 内的射影。??ECO即为所求 。以下略。 分析三:利用空间向量的方法求出面 BDC 的法向量 n ,则 B1C 与平 面 BCD 所成的角即为 B1C 与法向量 n 的夹角的余角。具体解法详 见高考试题参考答案。 总之在目前,立体几何中的两种主要的处理方法:传统方法与向 量的方法仍处于各自半壁江山的状况。 命题人在这里一定会兼顾双方 的利益。
????
? ?

19(本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。 解
a1 ?

: (
a 4 2 ?

I





a1 ? 1,
?5 b1,?


a2 ?

Sn?1 ? 4an ? 2
2a1 ? 3 ?





a22 ?? 3 , a1 ? 2 a1

由 Sn?1 ? 4an ? 2 , . . .①

则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 . . . . .②

②-①得 an?1 ? 4an ? 4an?1,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 又?bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数 列. (II)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,?
an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

a 1 3 } 是首项为 ,公差为 的等比数列. ? 数列 { n n 2 4 2 a 1 3 3 1 ? ? (n ? 1 )? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 ? n n 2 2 4 4 4

评析: 第 (I) 问思路明确, 只需利用已知条件寻找 bn与bn?1的关系即可 . 第(II)问中由(I)易得 an?1 ? 2an ? 3? 2n?1 ,这个递推式明显是一 个构造新数列的模型: an?1 ? pan ? qn ( p, q为常数),主要的处理手段 是两边除以 q n?1 . 总体来说,09 年高考理科数学全国 I、Ⅱ这两套试题都将数列 题前置,主要考查构造新数列 (全国 I 还考查了利用错位相减法求前 n 项和的方法) ,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题 的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法

基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度 和求变的良苦用心。

20(本小题满分 12 分) 某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 5 名工人, 其中有 3 名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机 抽样)从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核。 (I)求从甲、乙两组各抽取的人数; (II)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率; (III)记 ? 表示抽取的 3 名工人中男工人数,求 ? 的分布列及数学 期望。 分析: (I)这一问较简单,关键是把握题意,理解分层抽样的原理 即可。另外要注意此分层抽样与性别无关。 (II)在第一问的基础上,这一问处理起来也并不困难。 从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率 P ? (III) ? 的可能取值为 0,1,2,3
P(? ? 0) ?
1 1 1 1 2 2 1 C3 C4 C6 C3 C4 C4 C2 6 28 , , ? ? P ( ? ? 1) ? ? ? ? ? 2 1 2 1 2 1 C10 C5 75 C10 C5 C10 C5 75 1 1 C4 ? C6 8 ? 2 C10 15

2 1 31 C6 C2 10 P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? P(? ? 3) ? 2 ? 1 ? , 75 C10 C5 75

分布列及期望略。 评析: 本题较常规, 比 08 年的概率统计题要容易。 在计算 P(? ? 2) 时, 采用分类的方法,用直接法也可,但较繁琐,考生应增强灵

活变通的能力。

21(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :
x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 过右焦点 F 的直 2 a b 3

线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距 离为
2 2

(I)求 a , b 的值; (II) C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有
??? ? ??? ? ??? ? OP ? OA ? OB 成立?

若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。 解:(I)设 F (c,0) ,直线 l : x ? y ? c ? 0 ,由坐标原点 O 到 l 的距离为 则
c 3 |0?0?c| 2 ,解得 c ? 1 .又 e ? ? ,? a ? 3, b ? 2 . ? a 3 2 2 2 2

x2 y 2 (II)由(I)知椭圆的方程为 C : ? ? 1 .设 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 3 2

由题意知 l 的斜率为一定不为 0,故不妨设 l : x ? my ? 1 代入椭圆的方程中整理得 (2m2 ? 3) y2 ? 4my ? 4 ? 0 ,显然 ? ? 0 。
4m 4 , y1 y2 ? ? ,. . . . . . . .① 2 2m ? 3 2m 2 ? 3 ??? ? ??? ? ??? ? .假设存在点 P,使 OP ? OA ? OB 成立,则其充要条件为:

由韦达定理有: y1 ? y2 ? ?

点 P的坐标为( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , 点
( x1 ? x2 )2 ( y1 ? y2 )2 ? ?1。 3 2

P

在 椭 圆 上 , 即

整理得 2x12 ? 3 y12 ? 2x22 ? 3 y22 ? 4x1x2 ? 6 y1 y2 ? 6 。 又 A、B 在椭圆上,即 2x12 ? 3 y12 ? 6, 2x22 ? 3 y22 ? 6 . 故 2x1x2 ? 3 y1 y2 ? 3 ? 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .② 将 x1x2 ? (my1 ?1)(my2 ?1) ? m2 y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ?1 及 ① 代 入 ② 解 得
m2 ? 1 2

4m 2 3 2 2 3 2 , x1 ? x2 = ? 2 ? 2 ? ,即 P( , ? ) . ? y1 ? y2 ? 或? 2m ? 3 2 2 2 2 2

当m ?

2 3 2 2 时, P( , ? ), l : x ? y ?1; 2 2 2 2 2 3 2 2 时, P( , ), l : x ? ? y ? 1. 2 2 2 2

当m ? ?

评析: 处理解析几何题, 学生主要是在 “算” 上的功夫不够。 所谓 “算” , 主要讲的是算理和算法。算法是解决问题采用的计算的方法,而 算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是 现象,一个是本质。 有时候算理和算法并不是截然区分的。 例如: 三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一 半,还是分割成几部分来算?在具体处理的时候,要根据具体 问题及题意边做边调整,寻找合适的突破口和切入点。

22.(本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? x2 ? aIn ?1? x ? 有两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ? x2 (I)求 a 的取值范围,并讨论 f ? x ? 的单调性; (II)证明: f ? x2 ? ?
1 ? 2 In2 4

解: (I) f ? ? x ? ? 2 x ?

a 2x2 ? 2x ? a ? ( x ? ?1) 1? x 1? x
1 2

令 g ( x) ? 2x2 ? 2x ? a ,其对称轴为 x ? ? 。由题意知 x1、x2 是方程
g ( x ) ? 0 的 两 个 均 大 于 ?1 的 不 相 等 的 实 根 , 其 充 要 条 件 为

?? ? 4 ? 8a ? 0 1 ,得 0 ? a ? ? 2 ? g (?1) ? a ? 0

⑴当 x ? (?1, x1 ) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 (?1, x1 ) 内为增函数; ⑵当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( x1 , x2 ) 内为减函数; ⑶当 x ? ( x2, ? ?) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( x2, ? ?) 内为增函数; (II)由(I) g (0) ? a ? 0,?? ? x2 ? 0 , a ? ?(2x22 +2x2 )
? f ? x2 ? ? x22 ? aln ?1? x2 ? ? x22 ? (2x22 +2x2 )ln ?1? x2 ?
1 2

设 h ? x ? ? x 2 ? (2 x 2 ? 2 x)ln ?1 ? x ? ( x ? ? ) , 则 h? ? x? ? 2x ? 2(2x ?1)ln ?1? x ? ? 2x ? ?2(2x ?1)ln ?1? x ? ⑴当 x ? (? , 0) 时, h? ? x ? ? 0,?h( x) 在 [? , 0) 单调递增; ⑵当 x ? (0, ??) 时, h? ? x? ? 0 , h( x) 在 (0, ??) 单调递减。
1 1 1 ? 2 ln 2 ?当x ? (? , 0)时, h ? x ? ? h(? ) ? 2 2 4 1 ? 2 In2 故 f ? x2 ? ? h( x2 ) ? . 4

1 2

1 2

1 2