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抽象函数常见题型解法[1][1] 2


抽象函数常见题型解法总结 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式, 只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。 由于抽 象函数表现形式的抽象性, 使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强, 灵活性大,解抽象函数 重要的一点要抓住函数中的某些性质,通过局部性质或图象的局部特征,利用常规数学思想方法(如化 归法、数形结合法等),这样就能突破“抽象”带来的困难,做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特 征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解 决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型:

特殊模型 正比例函数 f(x)=kx (k≠0) 幂函数 f(x)=xn f(x+y)=f(x)+f(y)

抽象函数

f(xy)=f(x)f(y) [或 f ( x ) ?
y

f (x) f ( y)

]

指数函数 f(x)=ax (a>0 且 a≠1) 对数函数 f(x)=logax (a>0 且 a≠1) f(x)=cosx

f(x+y)=f(x)f(y) [ 或f ( x ? y) ?

f (x) f ( y)

f(xy)=f(x)+f(y) [ 或f ( x ) ? f ( x ) ? f ( y)]
y

正、余弦函数 f(x)=sinx 正切函数 f(x)=tanx 余切函数 f(x)=cotx

f(x+T)=f(x)
f ( x ? y) ? f ( x ) ? f ( y) 1 ? f ( x )f ( y )
1 ? f ( x )f ( y ) f ( x ) ? f ( y)

f ( x ? y) ?

目录:一.定义域问题 四、解析式问题 七、周期性与对称性问题

二、求值问题 五、单调性问题 八、综合问题

三、值域问题 六、奇偶性问题

一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例 1.若函数 y = f(x)的定义域是[-2,2],则函数 y = f(x+1)+f(x-1)的定义域为 。

例 2:已知函数 f ?log3 x? 的定义域为[3,11],求函数 f(x)的定义域
-1


-1

练习:定义在 ?3,8? 上的函数 f(x)的值域为 ?? 2,2?,若它的反函数为 f (x),则 y=f (2-3x)的定义域为 ,值域为 。

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二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样 赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验; 例 3.①对任意实数 x,y,均满足 f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2 且 f(1)≠0,则 f(2001)=_______.

②R 上的奇函数 y=f(x)有反函数 y=f-1(x),由 y=f(x+1)与 y=f-1(x+2)互为反函数,则 f(2009)=

.

例 4.已知 f(x)是定义在 R 上的函数,f(1)=1,且对任意 x∈R 都有 f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2002)=_________ 练习: 1. f(x)的定义域为 (0, ??) ,对任意正实数 x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y) 且 f(4)=2 ,则 f ( 2) ? (2. 如果f ( x ? y) ? f ( x )f ( y), 且f (1) ? 2, 则

f (2) f (4) f (6) f (2000) ? ? ??? 的值是 f (1) f (3) f (5) f (2001)
.



f 2 (1) ? f (2) f 2 (2) ? f (4) f 2 (3) ? f (6) f 2 (4) ? f (8) ? ? ? ? f (1) f (3) f (5) f (7)

3、对任意整数 x, y 函数 y ? f (x) 满足: f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? xy ? 1,若 f (1) ? 1 ,则 f (?8) ? A.-1 B.1 C. 19 D. 43 )

4、函数 f(x)为 R 上的偶函数,对 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) 成立,若 f (1) ? 2 ,则 f (2005) =(

A . 2005 B. 2 C.1 D.0 -1 5、定义在 R 上的函数 Y=f(x)有反函数 Y=f (x),又 Y=f(x)过点(2,1) ,Y=f(2x)的反函数为 Y=f-1(2x), 则 Y=f-1(16)为( ) A)

1 8

B)

1 16

C)8

D)16

6、已知a为实数,且0 ? a ? 1, f ( x)是定义在[0, 1] 上的函数,满足 (0) ? 0, f (1) ? 1, 对所有x ? y, f 均有f ( x? y ) ? (1 ? a) f ( x) ? af ( y ) 2 1 (1)求a的值(2)求f ( )的值 7

三、值域问题 例 4.设函数 f(x)定义于实数集上,对于任意实数 x、y,f(x+y)=f(x)f(y)总成立,且存在 x1 ? x2 ,使 得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求函数 f(x)的值域。 四、解析式问题(换元法,解方程组,待定系数法,递推法,区间转移法, 例 5. 已知 f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求 f(x) 例 6、设对满足 x≠0,x≠1 的所有实数 x,函数 f(x)满足, f ?x ? ? f ? x ? 1 ? ? 1 ? x ,求 f(x)的解析式。 ? ? ? x ?
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小结:通过解方程组的方法可求表达式。怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常, 给某些变量适当赋值,使之在关系中“消失”,进而保留一个变量,是实现这种转化的重要策略。 例 7.已知 f(x)是多项式函数,且 f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x). 例 8.是否存在这样的函数 f(x),使下列三个条件: ①f(n)>0,n∈N; ②f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2∈N*;

③f(2)=4 同时成立?若存在,求出函数 f(x)的解析式;若不存在,说明理由. 例9、已知 f (x) 是定义在R上的偶函数,且 f ( x ? ) ? f ( x ?

3 2

1 ) 恒成立,当 x ? ?2, 3? 时, 2

f ( x) ? x ,则当 x ? (?2, 0) 时,函数 f (x) 的解析式为(
A. x ? 2 B. x ? 4 C. 2 ? x ? 1



D. 3 ? x ? 1

小结: 利用函数的周期性和对称性把未知区间转移到已知区间, 利用已知区间的表达式求未知区间的 表达式,是求解析式中常用的方法。 1.(2006 重庆)已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x. (Ⅰ)若 f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); (Ⅱ)设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)=x0,求函数 f(x)的解析表达式。

2、函数 f(x)对一切实数 x,y 均有 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立,且 f(1)=0,

(1)求 f (0) 的值;

(2)对任意的 x1 ? (0, ) , x2 ? (0, ) ,都有 f(x1)+2<logax2 成立时,求 a 的取值范围.

1 2

1 2

方法提炼 怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;(2)小题中实质是不等式恒成立问题.
五、单调性问题 (抽象函数的单调性多用定义法解决) 例 10.设函数 f(x)对任意实数 x,y,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),若 x>0 时 f(x)<0,且 f(1)= -2,求 f(x) 在[-3,3]上的最大值和最小值. 练习:设 f(x)定义于实数集上,当 x>0 时,f(x)>1,且对于任意实数 x、y,有 f(x+y)=f(x)f(y), 求证:f(x)在 R 上为增函数。 例 11 、 已 知 偶 函 数 f(x) 的 定 义 域 是 x ≠ 0 的 一 切 实 数 , 对 定 义 域 内 的 任 意 x1,x2 都 有

f ( x ? x2 ) ? f ( x ) ? f ( x ,且当 x ? 1 时 f ( x) ? 0, f (2) ? 1 , 1 1 2 )
(1)f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)解不等式 f (2 x ? 1) ? 2
2

练习:已知函数 f(x)的定义域为 R,且对 m、n∈R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且 f(- 时,f(x)>0.求证:f(x)是单调递增函数;
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1 1 )=0,当 x>- 2 2

例 12、定义在 R+上的函数 f(x)满足: ①对任意实数 m,f(xm)=mf(x); ②f(2)=1. (1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数 x,y 都成立; (3)若 f(x)+f(x-3)≤2,求 x 的取值范围.
练习 : 1 已知f ( x)是定义在(0,??)上的单调增函数,对于 任意的m、n(m, n ? (0,??))满足 f (m) ? f (n) ? f ( m n), 且a、b(0 ? a ? b)满足 f ( a ) ? f (b) ? 2 f ( a?b ) 2 2

(2)证明 f(x)是 R+上的单调增函数;

(1)求f (1);.......( )若f (2) ? 1 2 ,解不等式f ( x) ? 2;......... 3)求证:? b ? 2 ? ..( 3

练习 2、 定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1,且对任意的 a、b∈R, 有 f(a+b)=f(a)·f(b). (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0;

(3)求证:f(x)是 R 上的增函数;(4)若 f(x)·f(2x-x2)>1,求 x 的取值范围.

关键点注:解本题的关键是灵活应用题目条件,尤其是(3)中“f(x2)=f[(x2-x1)+x1]”是
证明单调性的关键,这里体现了向条件化归的策略 练习 3.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意 a,b,当 a+b≠0,都有 f ( a ) ? f (b) >0
a?b

(1).若 a>b,试比较 f(a)与 f(b)的大小; (2).若 f(k? 3 x ) ? f (3 x ? 9 x ? 2)<0 对 x∈ [-1,1]恒成立,求实数 k 的取值范围。 (由
f ( a ) ? f ( ?b ) a?b

>0 可得 f(a)>f(b). k ? 2 2 ? 1 )

练习 4、已知函数 f(x)对任何正数 x,y 都有 f(xy)=f(x)f(y),且 f(x)≠0,当 x>1 时,f(x)<1. 试判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并说明理由.

练习5、奇函数f ( x)在(??,0)上单调递减,且 (2) ? 0,则( x ? 1) f ( x ? 1) ? 0的解集为 C f ( A、 2,?1) ? (1,2) (? B、 3,1) ? (2, ?) ??C、 3,?1) (? ? (? D、 2,0) ? (2, ?) (? ?

)

练习 6、. 已知函数 f ( x ) 的定义域为 ?0,1? ,且同时满足: (1)对任意 x ??0,1? ,总有 f ( x) ? 2 ; (2) f (1) ? 3 (3)若 x1 ? 0, x2 ? 0 且 x1 ? x2 ? 1 ,则有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 . (I)求 f (0) 的值; (II)求 f ( x ) 的最大值; (III)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? ? 1 (an ? 3), n ? N . 2
*

求证: f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ? ? f (an ) ? 3 ? 2n ? 1n?1 . 2 2?3 六、奇偶性问题 例 13. (1)已知函数 f(x)(x≠0 的实数)对任意不等于零的实数 x、y 都有 f(x﹒y)=f(x)+f(y),试判 断函数 f(x)的奇偶性。 (2)已知 y=f(2x+1)是偶函数,则函数 y=f(2x)的图象的对称轴是( )
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A.x=1

B.x=2

C.x=-

1 2

D.x=

1 2

注: 若由奇偶性的定义看复合函数, 一般用一个简单函数来表示复合函数, 化繁为简。(x) F =f(2x+1) 为偶函数,则 f(-2x+1)=f(2x+1)→f(x)关于 x=1 对称。 例 14:已知函数 f(x)的定义域关于原点对称且满足 ?1? f ( x ? y ) ? 使 f(a)=1.求证:f(x)是奇函数。

f ( x) f ( y ) ? 1 , (2) 存在正常数 a, f ( y ) ? f ( x)

例 15:设 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,且在 (??,0) 上是增函数,又 f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 2a ? 1) 。 求实数 a 的取值范围。 (设计理由: 此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题, 所以本题弹性较大, 可以作一些条件变换如:

f (a ? 1) ? f (1)或f (a ? 1) ? f (1 ? 2a) 等;也可将定义域作一些调整)
例 16:定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log 2 3 且对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证 f(x)为奇函数; (2)若 f(k·3 )+f(3 -9 -2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围. 立。 说明:问题(2)的上述解法是根据函数的性质.f(x)是奇函数且在 x∈R 上是增函数,把问题转化成二 次函数 f(t)=t -(1+k)t+2 对于任意 t>0 恒成立.对二次函数 f(t)进行研究求解.本题还有更简捷的 上述解法是将 k 分离出来,然后用平均值定理求解,简捷、新颖. 练习:1、已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的函数 a,b 都满足 f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求 f(0),f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
2
x x x

(3)若 f(2)=2,un=f(2n) (n∈N*),求证:un+1>un (n∈N*). 2.定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时f(x)<0恒成立. (1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论; (2)证明f(x)为减函数;若函数f(x)在[-3,3)上总有f(x)≤6成立,试确定f(1)应满足的条件;

1 1 (3)解关于x的不等式 f (ax 2 ) ? f (x) ? f (a 2 x) ? f (a), (n是一个给定的自然数 a ? 0) , n n
3、已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 a,b∈[-1,1],a+b≠0 时,有 (1)判断函数 f(x)在[-1,1]上是增函数,还是减函数,并证明你的结论; (2)解不等式:f(x+

f ( a ) ? f (b ) >0. a?b

1 1 )<f( ); 2 x ?1
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(3)若 f(x)≤m2-2pm+1 对所有 x∈[-1,1],p∈[-1,1](p 是常数)恒成立,求实数 m 的取值范围.

七、周期性与对称性问题(由恒等式简单判断:同号看周期,异号看对称) ... 编号 周 期 性 对 称 性

1

f ?x ? a ? ? f ?x ? a ? →T=2 a

f ?x ? a? ? f ?? x ? a? →对称轴 x ? a ? y ? f ? x ? a? 是偶函数;

f ?x ? a? ? ? f ?? x ? a? →对称中心(a,0)? y ? f ? x ? a? 是奇函数
f ?a ? x ? ? f ?b ? x ? →对称轴 x ?
a?b ; 2

2

f ?a ? x? ? f ?b ? x? →T= b ? a

f ?a ? x? ? ? f ?b ? x? →对称中心 (

a?b ,0) ; 2

3

f(x)= -f(x+a)→T=2 a

f(x)= -f(-x+a)→对称中心 ? ,0 ?

?a ? ?2 ?

4

f ?a ? x? ? ? f ?b ? x? →T=2 b ? a
f(x)=±

f ?a ? x? ? ? f ?b ? x? →对称中心 ?

?a?b ? ,0 ? ? 2 ?

5 f(x)=16 结论:(1) (2)

1 →T=2 a f ?x ?

f(x)= b-f(-x+a)→对称中心 ?

?a b? , ? ? 2 2?

1 ? f ( x) ? 0? →T=3 a f ?x ? a ?

函数图象关于两条直线 x=a,x=b 对称,则函数 y=f(x)是周期函数,且 T=2|a-b| 函数图象关于点 M(a,0)和点 N(b,0)对称,则函数 y=f(x)是周期函数,且 T=2|a-b|

(3) 函数图象关于直线 x=a,及点 M(b,0)对称,则函数 y=f(x)是周期函数,且 T=4|a-b| (4) 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别: y=f(a+x)与 y=f(b-x)关于 x ?

b?a b?a ,0) 对称 对称;y=f(a+x)与 y=-f(b-x)关于点 ( 2 2

(可以简单的认为:一个函数的恒等式,对应法则下的两式相加和的一半为对称轴:两个同法则不 同表达式的函数,对应法则下的两式相减等于 0,解得的 x 为对称轴) 例 1:①已知定义在 R 上的奇函数 f (x)满足 f (x+2) = – f (x),则 f (6)的值为( A. –1 B. 0 C. 1 D. 2 )

练习:(2010 重庆)已知函数 f ? x ? 满足: f ?1? ?

1 , 4 f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? y ?? x, y ? R ? ,则 4

f ? 2010? =_____________.
?1 ?1 例 2. 已知函数 y=f(x)满足 f ( x) ? f (? x) ? 2002,求 f ?x ? ? f ?2002? x ? 的值。

例 19. 奇函数 f (x)定义在 R 上,且对常数 T > 0,恒有 f (x + T ) = f (x),则在区间[0,2T] 上,方程 f (x) = 0 根的个数最小值为( )
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A. 3 个

B.4 个

C.5 个

D.6 个

例 3.① f(x)满足 f(x) =-f(6-x),f(x)= f(2-x),若 f(a) =-f(2000),a∈[5,9]且 f(x)在[5,9]上单调。 求 a 的值。 ②设 y=f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数, 函数 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象关于直线 x=1 对 称, 3 且当 x [2,3]时,g(x)=2a(x-2)-4(x-2) (a 为常数且 a R) (1)求 f(x); (2)是否存在 a [2,6]或 a (6,+∞),使函数 f(x)的图象的最高点位于直线 y=12 上? 若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. 练习 1、函数 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,则 y ? f (x) 的图象关于 2、函数 y ? f (x) 满足 f ( x ? 3) ? ? 对称。

1 ) ,且 f (3) ? 1 ,则 f (2010 ? f ( x)
1 2 1 2



3、函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f ( ? x) ? f ( ? x) ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? 4、已知函数 y ? f (2 x ? 1) 是定义在 R 上的奇函数,函数 y ? g ( x) 是 y ? f ( x) 的反函数,若 x1 ? x2 ? 0 则

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? (
A)2 B)0

) C)1 D)-2

5.设 f(x)是 R 的奇函数,f(x+2)= — f(x),当 0≤x≤1,时,f(x)=x,则 f(7.5)= 6.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)+f(x)=3,则 f-1(x)+f-1(3-x)= . )

7、 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f(2)=0,则方程 f(x)=0 在区间( 1,6 内解的个数的最小值是( A.4 B.5 ) C.6 D.7

8、设函数 f(x)的定义域为[1,3],且函数 f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称,已知当 x f(x)= 2x,求当 x [1,2]时,f(x)的解析式.

[2,3]时

9、 (09 山东)已知定义在 R 上的奇函数 f (x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数, 若方程 f(x)=m(m>0)在区间 ?? 8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________. 八、综合问题 例 1. 定义在 R 上的函数 f(x)满足: 对任意实数 m, 总有, n, 0<f(x)<1。(1)判断 f(x)的单调性; (2)设 若 A ? B ? ? ,试确定 a 的取值范围。
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且当 x>0 时, , ,

评析:(1)要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题:一是 f(0)的取值问题,二是 f(x)>0 的结论。这 是解题的关键性步骤,完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想,联想类比思维都有 助于问题的思考和解决。 例 2.设定义在 R 上的函数 f(x),满足当 x>0 时,f(x)>1,且对任意 x,y∈R,有 f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2 例 3. 定义在(?1,1)上的函数f ( x )满足 : (1)对任意x, y ? (?1,1), 都有f ( x ) ? f ( y) ? f (

x?y ) 1 ? xy

1 1 1 1 ) ? f ( ). (2)当 x∈(-1,0)时,有 f(x)>0.求证:(Ⅰ)f(x)是奇函数; (Ⅱ) f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( 2 11 19 3 n ? 5n ? 5

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