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沈阳四中高一数学三角函数与平面向量期末复习试题


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沈阳四中高一数学三角函数与平面向量期末复习试题
姓名: 班级: 学号
一、 选择题: 本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、若 a ? (1, 2 ), b ? ( ? 3 ,1), 则 2 a ? b ? ( A、 ( 5 , 3 ) B、 ( 5 ,1) ) C、 ( ? 1, 3 ) )弧度。 D、 ( ? 5 , ? 3 )

2.在单位圆中,面积为 1 的扇形所对的圆心角为( A、 1 B、 2 C、3 D. 4

3、如图是函数 f ( x ) ? sin ( x ? ? ) 一个周期内的图像,则 ? 可能等于 ( A、 C、 ?
5? 6 ? 6



B、 D、
? 6

? 2

y

x 0

4.化简 sin 1 5 ?
0

3 co s 1 5 得到的结果是

0


2



A、 2

B、 ? 2

C、 ? 6 ?

D、 6 ?

2

5、 已知函数 f ( x ) ? sin ( x ? ? ) ? co s( x ? ? ) 为奇函数,则 ? 的一个取值为( A、0
2



B、

? 2

C、 ?

? 4

D、 ?
2

6.把函数 y ? x ? 4 x ? 7 的图像按向量 a 经过一次平移以后得到 y ? x 的图像,则 a 是 ( A、 ( 2 , ? 3 ) B、 ( ? 2 , 3 ) C、 ( ? 2 , ? 3 ) D、 ( 2 , 3 ) )

7.设 P1 ( 4 , ? 3 ), P2 ( ? 2 , 6 ), 且 P 在 P1 P2 的延长线上,使 P1 P ? 2 PP 2 ,则点 P 的坐标是 ( A、 ( ? 8 ,15 ) B、 (0, 3) C、 ( ? )

1 15 , ) 2 4


D、 (1,

3 2

)

? ? 8.函数 f ( x ) ? sin ( 4 ? x ) sin ( 4 ? x ) 是(

A、周期为 2 ? 的奇函数 C、周期为 ? 的奇函数 9. 若 AB ? BC ? AB A、直角三角形
2

B、周期为 2 ? 的偶函数 D、周期为 ? 的偶函数
? 0 , 则 ? ABC 为 (



B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、等腰直角三角形

10.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点,国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了

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影响, 温州市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价作了统计与预测: 发现每个季度的平均单价 y (每 平方面积的价格,单位为元)与第 x 季度之间近似满足: y ? 5 0 0 sin ( ? x ? ? ) ? 9 5 0 0 ( ? ? 0 ) ,已知第一、 二季度平均单价如右表所示: x y 1 10000 2 9500 3 ?

则此楼群在第三季度的平均单价大约是( )元 A、 10000 B、 9500 C、9000
? 1 ? 1 3 ?

D、8500

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上. 11、已知 a ? ( , 2 sin ? ), b ? ( c o s ? , ), 且 a ∥ b ,则锐角 ? 的值为
3 2 2

?

; ; ;
? 3 DC

a 12、 设 m , n 是 两 个 单 位 向 量 , 向 量 a ? 2 m - n, ? n , 则 | a | ?

?? ? ?

?

?? ? ? ?

?

?

13、函数 y ? c o s 2 x ? 4 c o s x , x ? [ ?

? ? , ] 的值域是 3 2

14、在三角形 ABC 中,设 AB ? a , AC ? b ,点 D 在线段 BC 上,且 BD 为 ;

,则 AD 用 a , b 表示

15 、 已 知 偶 函 数 f ( x ) ? 2 sin ( ? x ? ? )( ? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 的 最 小 正 周 期 是 ? , 则 f(x) 的 单 调 递 减 区 间 为 16、下列命题: ①若 a ? b ? b ? c,则 a ? c ②若 a 与 b 是共线向量, b 与 c 是共线向量,则 a 与 c 是共线向量: ;

③若 a ? b ? a ? b ,则 a ? b ? 0 ④若 a 与 b 是单位向量,则 a ? b ? 1 其中真命题的序号为 。

三、 解答题:本大题共 4 小题,满分 46 分.
17. (本小题满分 10 分) 已知 f ( x ) ? ?
1 2 ? sin (

?
6

? 2 x ) ? c o s( 2 x ?

?
3

) ? cos x
2

.(Ⅰ)求 f(x)的最小正周期;

(Ⅱ)求 f(x)在区间 [

? 5?
, 8 8

]

上的最大值,并求出 f(x)取最大值时 x 的值.

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18.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,已知 tan A ?
1 2 , tan B ? 1 3

且最长边为 1.

(1)求角 C;(2)求△ABC 的面积 S.

19、 (本小题满分 12 分)已知 A、B、C 三点的坐标分别是 A(3,0),B(0,3),C (sin ? , co s ? ) , 其中
? 2 ? ? ? 3 2 ?

,(1)若
? ? 1 ,求

???? ??? ? AC ? BC
2

,求角 ? 的值; 的值。

(2)若 A C ?B C

??? ??? ? ?

2 sin ? ? sin 2 ? 1 ? ta n ?

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20、 (本小题满分 12 分)设 ? ABC 的外心为 O,以线段 OA、OB 为邻边作平行四边形,第四个顶点为 D, 再以 OC、OD 为邻边作平行四边形,它的第四个顶点为 H 。
OB OC (1)若 OA ? a , ? b , ? c , a 、 b 、 c 表示 OH ; 用 ? ? ?
? ? ?

(2)求证: AH ? BC ; (3)设 ? ABC 中, ? A ? 60 , ? B ? 45 , 外接圆半径为 R,用 R 表示 OH
0 0

.

(外心是三角形外接圆的圆心)

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高一数学三角函数与平面向量期末复习试题试卷答案
一、选择题: 本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.

1 A

2 B

3 D

4 B

5 C

6 A

7 C

8 D

9 A

10 C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上. 11、
? 4 3? 1 ? a ? b 4 4



12、

3

13、

[-3,-1]



14、



15、

[k?, k? ?

? 2

], k ? Z ;

16、

(3)

三、 解答题:本大题共 4 小题,满分 46 分.
15. (本小题满分 10 分) 解: (1)f ( x ) ? c o s( 2 x ?
? cos 2 x cos ? 3 ? cos 2 x 2 ? 3 ) ? c o s( 2 x ? ? 3 )? 1 ? cos 2 x 2 ? 1 2

=

3 2

cos 2 x

………………………………………………………3 分 ………………………………………………………………5 分
? 5

故 f(x)的周期是 ? 。
? 5

?] 8 8 4 4 ? ? ? 5? ? f ( x ) 在 [ , ] 上是减函数,? f ( x ) 在 [ , ] 上是增函数 8 2 2 8
?f( ? ?5 ? ) ? f ? ? ? …………………………………………………………………………8 分 8 ?8 ?

(2)? x ? [ , ? ] , 2 x ? [ ,

故当 x ?

? 8

时,f(x)的最大值是

3 4

2 …………………………………………………10 分

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16.(本小题满分 12 分) 解:(1)由 tan( A ? B ) ?
tan A ? tan B 1 ? tan A tan B ? 1, …………2 分

而在△ABC 中,0<A+B<π ,…………………………………3 分 所以 A ? B ?
?
4

,则 C ?

3 4

? ;…………………………………5 分

(2)在△ABC 中,∵∠C 是钝角, 由 tan B ?
1 3 b sin B 1 2 c sin C

∴∠B、∠A 是锐角, ……………………………7 分

,得 sin B ?

10 10

.

由正弦定理

?

,得 b ?

5 5

. ……………………………9 分

由 tan A ?

,得 sin A ?
1 2

5 5

.
1 10

∴△ABC 的面积 S ?

bc sin A ?

………………………………12 分

17、(本小题满分 12 分)
解:(1)由题意;
??? ? A C ? (sin ? ? 3, co s ? ) ??? ?

, B C ? (sin ? , co s ? ? 3) ………………………2 分

???? ??? ? ? AC ? BC

???? ? AC

2

??? ? ? BC
2

2

既 (sin ? ? 3) ? co s ? ? sin ? ? (co s ? ? 3) ……………………………4 分
2 2 2

化简得 sin ? ? co s ? 又
? 2 ?? ? 5 4 ? ? ? 3 2 ? ……………………………………………………………………6 分 ?

(2)由 A C ?B C ? ? 1 得: (sin ? ? 3) sin ? ? co s ? (co s ? ? 3) ? ? 1 化简得: sin ? ? c o s ? ?
2 3

??? ??? ? ?

……………………………………………………8 分
2

于是: 2 s in ? c o s ? ? (s in ? ? c o s ? ) ? 1 ? ?
2 s in ? ? s in 2 ?
2

5 9

……………………………10 分
5 9

?

1 ? ta n ?

?

2 s in ? (s in ? ? c o s ? ) c o s ? ? s in ? cos ?

? 2 s in ? c o s ? ? ?

…………12 分

18、(本小题满分 12 分)

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解:(1) O H ? O C ? O D ? O C ? ( O A ? O B ) ? a ? b ? c …………2 分
???? ???? ???? ? ? ? ? ? ? A H ? A O ? O H ? ? a ? (a ? b ? c ) ? c ? b ? ? ? (2)??? B C ? c ? b ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4分
o A B

????

????

????

????

??? ?

??? ?

?

?

?

C

???? ???? ? ? ? ? ? ? A H ? B C ? (c ? b ) ? (c ? b ) ? c

2

? ? b

2

? ? ???? ???? 又 ? o是 外 心 , c ? b , A H ? B C ? 0 ? ? ???? ???? ? A H ? B C, 即 A H ? B C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 分 ???? 2 ? ? ? ?2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? 2 O H ? a ? b ? c ) ? a ? b ? c ? 2 a ? b ? 2b ? c ? 2c ? a ( (3) …………8 分 ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 ? 3 R ? 2 R cos ? a , b ? ?2 R cos ? b, c ? ?2 R cos ? c, a ? ? ? ? ? ? ? A ? 6 0 , o 是 外 心 , ? b , c ? ? 1 2 0 (同 弧 所 对 的 圆 心 角 是 圆 周 角 的 两 倍 ) ?
? ? 1 ? co s ? b , c ? ? ? 2 ? ? 同 理 , s ? a, b ?? ? co 3 2 ? ? , s ? c , a ? ? 0, co





10



???? ? OH

2

? 2? (

3) R

2

???? ? OH ? R 2 ?

3 ? R

4?2 3 2

? R

(1 ? 2

3)

2

? R

3 ?1 2

?

6? 2

…………12 分
2 R


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