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安徽省2019届高三皖南八校第一次联考数学(理)试卷(附答案)

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绝密★启用前

安徽省 2019 届高三皖南八校第一次联考数学(理)

试卷副标题
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题 1.设集合 A. B. C. ,则 A B= D. ,则实数 k= D. 是增函数的一个充分不必要条件是 C. 上是增函数,且 D. ,则满足 的实数 的取

2.设 是虚数单位,且 A. 2 3.函数 A. 4.偶函数 值范围是 A. (1,2) B. (-1,0) 在 B. B. 1 C. 0 且

C. (0,1)

D. (-1,1) ,F 为

5.如图在直角梯形 ABCD 中,AB=2AD=2DC,E 为 BC 边上一点, AE 的中点,则

A. C. 6.若函数 A. B.

B. D. 在区间(-a,a)上是单调函数,则实数 a 的取值范围是 C. D.
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7.设不等式组

,所表示的平面区城为 M,若直线

的图

象经过区域 M,则实数 k 的取值范围是 A. 8.设 A. 59 9.函数 且 m>0,n>0,则 3m+n 的最小值为 A. 13 10.函数 B. 16 C. D. 28 的部分图象如图所示,将函数 的图象则 的 B. 是等差数列, B. 64 C. 78 C. ,且 D. 86 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 上, D. ,则 =

图象向右平移个 单位长度,再向上平移 2 个单位长度,得到 一条对称轴为直线

)图象的

A. C. 11. 已知函数 恒成立,则 A. 5 12. 设函数 时, A.

B. D. 是定义在 的值是 C. 7 D. 8 , 对任意的 , 有 , 且 上的单调函数, 若对任意

B. 6

在 R 上存在导数 .若 B.

,则实数 a 的取值范围为 C. D.

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题

13.已知 是第二象限角,且 14. 用

,则 , 则由函数 的

表示 a、 b 两个数中的最小, 设

图象,x 轴与直线 x= 和直线 x=2 所围成的封闭图形的面积为__________。 15. 设函数 16.已知高数 的周期为 4,且 的最大值为 M, 最小值为 N, 则 M+N=___。 时, ,,若方程

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

恰有 5 个实数解(其中 m>0) ,则 m 的取值范围为_____________。 评卷人 得分 三、解答题

17.已知向量 (1)求函数 (2)当 18.数列 的最小正周期及单调递减区间 时,求函数 的值域

,函数

的前 n 项和记为 ,且 =1, 是等比数列

(1)求证:数列 (2)求数列

的通项公式

19.在斜 Δ ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求 A 的大小 (2)若 20. 命题 P: 在 上是单调函数 ,若 p 为真命题,求实数 a 的取值范围 为真命题, 为假命题,求实数 a 的取值范围 ,求 B 的取值范围 有意义; 命题 q: 函数

(1)写出命题 (2)若 21.已知函数

(1)求证:对任意

,有
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立, 在点 ,都存在

(2)若

(1) 若曲线

22.设函数

求 a 与 b 的值

(2)若对任意

求实数 a 的取值范围

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处的切线在 x 轴上的截距为一 2, 在 y 轴上的截距为 2,

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在实数集内有两个零点,求实数 a 的取值范围

(e 为自然对数的底数) ,使得 成

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参考答案 1.D 【解析】 【分析】 利用一元二次不等式的解法化简集合 ,由交集的定义可得结果. 【详解】 因为集合 所以, 【点睛】 研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性.研究两集合的关系时,关键是将两 集合的关系转化为元素间的关系,本题实质求满足属于集合 且属于集合 的元素的集合. 2.C 【解析】 【分析】 由虚数单位 的运算法则化简 【详解】 因为 所以 可得 ,故选 C. 【点睛】 本题主要考查虚数单位 的运算法则以及复数相等的性质,属于简单题 3.C 【解析】 【分析】 利用指数函数的单调性,结合充分条件与必要条件的定义求解即可. 【详解】 与 是函数 是函数 且 且 为增函数的既不充分又不必要条件; , ,利用复数相等的性质可得结果. 或 , ,故选 D.

为增函数的充要条件;
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可得 所以 【点睛】



不等得到 且

, 是增函数的一个充分不必要条件,故选 C.

是函数

判断充要条件应注意:首先弄清条件 和结论 分别是什么,然后直接依据定义、定理、性质 尝试 .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想化抽象为直

观外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题; 对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 4.A 【解析】 【分析】 由偶函数 在 上是增函数,可得函数 在 上是减函数,结合 ,

原不等式转化为 【详解】 因为偶函数 所以函数 由 等价于 , 可得 实数 的取值范围是 【点睛】 在 且满足 , 在

,根据绝对值不等式的解法与指数函数的性质可得结果.

上是增函数, 上是减函数, ,

, ,故选 A.

本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用,属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是, 一直是命题的热点, 解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性, 根据奇偶性判断出 函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反,奇函数在对称区间单调性相 同),然后再根据单调性列不等式求解. 5.B 【解析】 【分析】 直接根据平面向量加法与减法的运算法则化简求解即可. 【详解】
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根据平面向量的运算法则 ; 因为 所以 【点睛】 本题主要考查向量的几何运算及外接圆的性质、向量的夹角,属于难题.向量的运算有两种 方法,一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答,运算法则是: (1)平行 四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差) ; (2)三角形法则(两箭头间向 量是差, 箭头与箭尾间向量是和) ; 二是坐标运算: 建立坐标系转化为解析几何问题解答 (求 最值与范围问题,往往利用坐标运算比较简单) . 6.D 【解析】 【分析】 求出函数 【详解】 函数函数 , 由 函数 由 可得 【点睛】 函数 整体, 由 求得增区间;②若 的单调区间的求法:(1) 代换法:①若 求得函数的减区间, ,则利用诱导公式先将 的符号化为正,再利用①的方法,或根 ,把 看作是一个 ,实数 的取值范围是 ,故选 D. 可得 的单调增区间为 可化为 在 上递增,由 可得结果. ,故选 B.

据复合函数的单调性规律进行求解;(2) 图象法:画出三角函数图象,利用图象求函数的单
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调区间. 7.A 【解析】 【分析】 画出不等式组 线的斜率的范围求解即可. 【详解】 表示的可行域,将问题转化为可行域内的点 与 连

画出不等式组 恒过 即为可行域内的点 由图可知, 即实数 的取值范围是 【点睛】 ,

表示的可行域,如图 , 与 连线的斜率,



,故选 A.

本题主要考查线性规划中,利用可行域求目标函数的最值,属于简单题.求目标函数最值的 一般步骤是“一画、二移、三求”: (1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线) ; (2) 找到目标函数对应的最优解对应点 (在可行域内平移或旋转变形后的目标函数, 最先通过或 最后通过的顶点就是最优解) ; (3)将最优解坐标代入目标函数求出最值. 8.D 【解析】 【分析】
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由 【详解】 设

可得

,利用“累加法”,结合等差数列的求和公式可得结果.

的公差为 ,则 ,又 时, , ,故选 D. ,

【点睛】 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型,数列中的五个基本量 一般

可以“知二求三”,通过列方程组所求问题可以迎刃而解,另外,解等差数列问题要注意应 用等差数列的性质 9.B 【解析】 【分析】 由函数 的图象恒过 ,利用基本不等式可得结果. 【详解】 函数 由点 A 在直线 ,即 故 因为 故 【点睛】 本题主要考查对数函数的性质以及利用基本不等式求最值,属于难题.利用基本不等式求最 值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是 否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小) ;三相等是,最
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)与前 项和的关系.

,可得

,则

的图象恒过 上可得, , , ,所以 (当且仅当 ,故选 B.



,即

时取等号) ,

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后一定要验证等号能否成立 (主要注意两点, 一是相等时参数否在定义域内, 二是多次用 或 时等号能否同时成立). 10.D 【解析】 【分析】 由最值求 ,由周期求 ,利用特殊点求 ,从而可得结果. 【详解】 由图象可知 , 所以 , , 可得 【点睛】 本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质,属于中档题 .利用最值求 出 ,利用图象先求出周期,用周期公式求出 ,利用特殊点求出 ,正确求 , 是解题的关 键.求解析时求参数 是确定函数解析式的关键,由特殊点求 时,一定要分清特殊点是“五 点法”的第几个点,用五点法求 值时, 往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口, “第 一点”(即图象上升时与 轴的交点) 时 11.C 【解析】 因为函数 且 在定义域 ,所以 上是单调函数, 为一个常数,则 ,且 ,解得 ,故选 B. , , , ,故选 D.

令这个常数为 ,则有 将 所以 代入上式可得 ,所以

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12.A 【解析】 【分析】 构造函数 减,原不等式等价于 【详解】 设 则 , 为偶函数, 在 上是增函数, 时单调递减. 所以 可得 , 即 实数 的取值范围为 【点睛】 利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论,构造辅助 函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法 建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最值等问题,常可使问 题变得明了, 准确构造出符合题意的函数是解题的关键; 解这类不等式的关键点也是难点就 是构造合适的函数,构造函数时往往从两方面着手:①根据导函数的“形状”变换不等式 “形状”;②若是选择题,可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 13. 【答题空 13-1】 【解析】 【分析】 直接利用同角三角函数之间的关系以及两角和的正弦函数公式求解即可. 【详解】 ,故选 A. , , , 时, ,由 可得 在 上是增函数,在 ,从而可得结果. 上单调递

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因为 是第二象限角,且 所以 故 【点睛】 ,



,故答案为

.

本题主要考查同角三角函数之间的关系以及两角和的正弦函数公式, 意在考查综合应用所学 知识解决问题的能力,属于简单题. 14. 【解析】 【分析】 将围成封闭图形转化为 【详解】 由题意,围成封闭图形如图中阴影部分, ,利用定积分求解即可.

由题意, ,故答案为 【点睛】 本题主要考查定积分的几何意义,属于中档题.一般情况下,定积分 介于 轴、曲线 以及直线 的几何意义是 .

之间的曲边梯形面积的代数和 ,其中在 轴上

方的面积等于该区间上的积分值,在 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用 定积分求曲边形面积时, 一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数; 两条曲线之间的 面积可以用两曲线差的定积分来求解. 15.5
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【解析】 【分析】 由 进而可得结果. 【详解】 , , , 即 【点睛】 本题主要考查函数的解析式以及函数奇偶性的判断与应用, 意在考查灵活应用所学知识解决 问题的能力,属于难题. 16. 【解析】 【分析】 有 5 个解,等价于为 【详解】 与 的图象有 5 个交点,利用数形结合可得结果. ,故答案为 . 是奇函数, 可得 , 从而可得 ,

有 5 个解, 等价于为 在同一坐标系内画出函数 求出直线 过点 和直线 与 与 的图象有 5 个交点,

的图象,如图. 与半圆 相切时的 的值分别为 ,

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由图可得

时, 与 的图象有 5 个交点,故答案为 .

【点睛】 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点, 考生需要对初高中阶段学习的十几种 初等函数的单调性、 奇偶性、 周期性以及对称性非常熟悉; 另外, 函数零点的几种等价形式: 函数 函数 17. (1) 【解析】 【分析】 (1)根据平面向量数量积公式,利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与 差的正弦公式将函数 化为 .,利用正弦函数的周期公式可得函数的周期, 的递减区间; ( 2 )由 可得 与 , 的零点 函数 在 轴的交点 方程 的根

的交点. (2)

利用正弦函数的单调性解不等式,可得到函数 ,从而可得结果. 【详解】

, . (1) 由 的单调减区间为 (2) . ,即 【点睛】 以平面向量为载体, 三角恒等变换为手段, 对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考 查的一类热点问题,一般难度不大,但综合性较强.解答这类问题,两角和与差的正余弦公
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的最小正周期 得

.

. ,

的值域为

.

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式、诱导公式以及二倍角公式,一定要熟练掌握并灵活应用,特别是二倍角公式的各种变化 形式要熟记于心. 18.(1)见解析(2) 【解析】 【分析】 ( 1 )把 ,进而可推出 即可得出; (2) 由 【详解】 (1) ,又 是以 1 为首项 2 为公比的等比数列 (2) 是以 1 为首项 2 为公比的等比数列, ,即 当 时, 也符合,所以 【点睛】 本题主要考查数列的通项公式与前 项和公式之间的关系,属于中档题. 已知数列前 项和与 第 项关系,求数列通项公式,常用公式 ,将所给条件化为关于前 项 , , , , . ,化为



化简整理得

是以 1 为首项 2 为公比的等比数列,利用等比数列的通项公式 , 当 时, .

, 结合 (1) 可得

和的递推关系或是关于第 项的递推关系,若满足等比数列或等差数列定义,用等比数列或 等差数列通项公式求出数列的通项公式,否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利 用 与通项 的关系求 的过程中,一定要注意 19. (1) 【解析】 【分析】 (2) 的情况.

(1)由
即可求角 ; ( 2 )若

,利用余弦走理,结合二倍角的正弦公式,可得 , 则甶余弦走理可得
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, 即可得

, 求得

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. 【详解】 (1) , ,由 (2) 由(1)知 为斜三角形, , ,即 .

【点睛】 本题主要考查余弦定理及三角函数的恒等变换,属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形 式: (1) ; (2) ,同时还要熟练掌握运用两种形式的条 等特殊角的三角

件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住 函数值,以便在解题中直接应用. 20. (1) 【解析】 【分析】 (1)利用全称命题的否定可得 时,分类讨论可得, 得 或 ,由 真 假以及 ; (2) 为真命题时, 为假命题,可得 (2)

无意义, 为真命题 ,化简命题 可 一真一假,分两种情

为真命题,

况讨论,对于

假 真分别列不等式组,分别解不等式组,然后求并集即可求

得实数 的取值范围. 【详解】 (1) P 为真命题时, 当 时, . 有意义. 无意义,

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当 p 为真命题时, (2) 为真命题时, .

时,有意义.

, ,

q 为真命题时, 由函数在 或 为真命题, 与 q 一真一假, 当 当 为真命题时,q 为假命题时, 为假命题时,q 为真命题时, 的取值范围是 【点睛】 . . . 上是单调函数, 在 时成立, 为假命题, 或 .

本题通过判断或命题、 且命题以及非命题的真假, 综合考查函数的单调性以及不等式恒成立 问题,属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时,应注意: (1)原命题 与其非命题真假相反; (2)或命题“一真则真”; (3)且命题“一假则假”. 21. (1)见解析(2) 【解析】 【分析】 ( 1 )利 用导 数研 究函 数的 单 调性 ,由 单调 性可得 可得 不可能有 2 个零点,若 递增,由题意,则 【详解】 (1) 令 x ,解得 . 0 . .若 利用导数可得 , 则 在 时, 恒成立, ; (2)由 在 R 内递增, 内

内递减,在 ,利用导数结合零点存在定理可得结果.

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+

0 极大值 1

在 时, (2) 若 若 令 在 由题意,则 下证: 由 得 ,则

内是增函数,在

内是减函数.

. 恒成立, 得 ;令 内递减,在 得 . 内递增, . 时, 有 2 个零点, 在 , ,取 ,则 . , 内有 1 个零点. 在 R 内递增, 不可能有 2 个零点

及单调性知 时,

由(1)知 则 由 的单调性知 有 2 个零点时, 【点睛】 在

,取

, ,

内有 1 个零点, .

本题是以导数的运用为背景的函数综合题, 主要考查了函数思想, 化归思想, 抽象概括能力, 综合分析问题和解决问题的能力, 属于较难题, 近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度,

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不仅题型在变化,而且问题的难度、深度与广度也在不断加大,本部分的要求一定有三个层 次: 第一层次主要考查求导公式, 求导法则与导数的几何意义; 第二层次是导数的简单应用, 包括求函数的单调区间、极值、最值等;第三层次是综合考查,包括解决应用问题,将导数 内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合,设计综合题. 22. (1) 【解析】 【分析】 (1)先求导得到 线方程为 (2) 令 解即可,亦即只需存在 对 【详解】 (1) 曲线 在点 , 切线在 y 轴上的截距为 2, 又切线在 x 轴的截距为 (2)解法一:令 数. 根据题意,对任意 在 令 令 在 ①当 上单调递增, ,即 时, ,即 , 在 上单调递增, ,都存在 好有解, , , ,使得 成立,则 ,则 为关于 b 的一次函数且为增函 , 处的切线方程为 , ,即 , ,使得 ,看是否存在 ,使得 ,由 ,曲线 在点 处的切 , (2)

,求出直线在坐标轴上的截距可得得到 与 的值 ; , 问题转化为在 上 有

即可,连续利用导函数,然后分别 ,进而得到结论.

,不符合题意. ②当 ,即 时, .

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若 在 存在 若 在 在 存在 综上所述,当 解法二: 设

,则 上单调递减. ,使得 ,则

,所以在



恒成立,即

恒成立.

,符合题意. . . 恒成立, ,符合题意. 时,对任意 ,都存在 , , ,使得 成立. 在 上单调递减,

上一定存在实数 m,使得 上 恒成立,即 ,使得

在 ①当 ,即

上单调递增,且 时,



.此时 在 若存在 上恒成立,即 ,使得 ,则 ②当 (i)当 ,即 时, 存在 (ii)当 在 当 成立,则 时不成立, 时, 在 ,使得 在

, 上单调递增. ,即 不成立. .此时, 上恒成立,则 成立. ,使得 成立, 在 上单调递减. 恒成立.

时,则存在 上单调递增, 时, ,故在 ,则 内存在 在

好单调递减. ,使得 . 成立.

综上,满足条件的 a 的取值范围为 【点睛】

本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数证明不等式能成立问题,属于难题. 应用导数 的几何意义求切点处切线的斜率,主要体现在以下几个方面:(1) 已知切点 率 ,即求该点处的导数 巳知切线过某点 ;(2) 己知斜率 求切点 ( 不是切点 ) 求切点 , 设出切点
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求斜 ;(3)

即解方程 利用

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求解.

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