kl800.com省心范文网

2011年全国各省省高中数学竞赛试题汇编及参考答案_图文

1、2011 年浙江省高中数学竞赛试题 2、2011 年河北省高中数学竞赛试题 3、2011 年全国高中数学联赛广东省预赛 4、2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 5、2011 年浙江省高中数学竞赛试题 6、2011 年湖北省高中数学竞赛试题 7、2011 年全国高中数学联合竞赛一试试题
8、二O一一年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题
9、2011 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷
10、2011 年全国高中数学联赛山东省预赛试题
11、2011 年全国高中数学联赛江西省预赛试题 12、2011 年全国高中数学联赛山西省预赛
13、2011 年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题 14、 2011 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)
试 题 15、2011 年全国高中数学联赛安徽省预赛
16、2011 年新知杯上海市高中数学竞赛试题
17、2011 年湖南省高中数学竞赛试卷 A 卷

2011 年浙江省高中数学竞赛试题

一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括

号里,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分)

1. 已知? ?[5? , 3? ] ,则 1? sin 2? ? 1? sin 2? 可化简为(



42

A. 2sin? B. ?2sin? C. ?2cos? D. 2cos?

2.如果复数 ?a ? 2i??1? i? 的模为 4,则实数 a 的值为( )

A. 2 B. 2 2 C. ?2 D. ?2 2

3. 设 A ,B 为两个互不相同的集合,命题 P: x ? A? B , 命题 q: x ? A或 x ? B ,则 p 是 q
的( )

A. 充分且必要条件

B. 充分非必要条件

C. 必要非充分条件

D. 非充分且非必要条件

4.

过椭圆

x2 2

?

y2

? 1的右焦点 F2 作倾斜角为 45

弦 AB,则

AB

为(



26
A.
3

46
B.
3

42
C.
3

43
D.
3

3x2 ? 4x ? 0 ?

x1

? 0, x2

?

4? 3

AB

?

2(x1 ? x2 )2

?

42 3

。正确答案为 C。

5.

函数

?1? 5?x

f

(x)

?

? ?

5x

?1

x ? 0 ,则该函数为( x?0



A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数 C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数 6. 设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( )

2

2 2

2

2

2

3

1

1

正视图

A. 4+ 5? 2

B. 4+ 3? 2

侧视图

C. 4+ ? 2

D. 4+?

7.某程序框图如右图所示,现将输出( x, y) 值依

俯视图(圆和正方形)

次记为: (x1, y1), (x2 , y2 ), , (xn , yn ), ; 若程序运行中

输出的一个数组是 (x, ?10), 则数组中的 x ? ( )

A.64

B.32

C.16

D.8

? ? 8. 在平面区域 (x, y) | x |?1,| y |?1 上恒有 ax ? 2by ? 2 ,则动点 P(a,b) 所形成平面区域的面积

为( ) A. 4 B.8

C. 16

D. 32

9.

已知函数

f

(x)

?

sin(2

x

?

? 6

)

?

m



???0,

? 2

? ??

上有两个零点,则

m

的取值范围为(



A.

? ??

1 2

,

1???

B

? ??

1 2

,

1???

C.

? ??

1 2

,

1???

D.

? ??

1 2

,

1???

10. 已知 a ?[?1,1] ,则 x2 ? (a ? 4)x ? 4 ? 2a ? 0 的解为( )
A. x ? 3或 x ? 2 B. x ? 2 或 x ?1 C. x ? 3 或 x ?1 D. 1? x ? 3
二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分,共 49 分)
11. 函数 f (x) ? 2sin x ? 3 cos x 的最小正周期为______ ____。 2
? ? 12. 已知等差数列 an 前 15 项的和 S15 =30,则 a1 ? a8 ? a15 =____ ______.

13. 向量 a ? (1, sin? ) , b ? (cos? , 3) ,? ? R ,则 a ? b 的取值范围为 。

14. 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,底面 ?ABC 是正三角形,P,E 分别为 BB1 , CC1 上的动点(含端
点),D 为 BC 边上的中点,且 PD ? PE 。则直线 AP, PE 的夹角为_ _。
15.设 x, y 为实数,则 max (x2 ? y 2 ) ? _____ ________。 5 x2 ?4 y2 ?10 x
16. 马路上有编号为 1,2,3,…,2011 的 2011 只路灯,为节约用电要求关闭其中的 300 只灯, 但不能同时关闭相邻两只,也不能关闭两端的路灯,则满足条件的关灯方法共有___ ______种。 (用组合数符号表示)
17. 设 x, y, z 为整数,且 x ? y ? z ? 3, x3 ? y3 ? z 3 ? 3 ,则 x2 ? y 2 ? z 2 ? _ _。

18. 设 a ? 2 ,求 y ? (x ? 2) x 在[a, 2] 上的最大值和最小值。

19.





两个数列

?xn ?



?yn ?





x0 ? y0 ? 1



xn

?

xn?1 2 ? xn?1

(n ? 1) ,

yn

? yn2?1 1 ? 2 yn?1

(n ? 1) 。证明对于任意的自然数 n,都存在自然数 jn ,使得

yn ?x jn 。

20.

已知椭圆 x2 52

?

y2 42

? 1,过其左焦点 F1 作一条直线交椭圆于

A,B

两点,D (a, 0) 为 F1 右侧

一点,连 AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰好过 F1 ,求 a 的值。

2011 年浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准
一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括 号里,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分)
1. 已知? ?[5? , 3? ] ,则 1? sin 2? ? 1? sin 2? 可化简为( D ) 42
A. 2sin? B. ?2sin? C. ?2cos? D. 2cos? 解答:因为? ?[5? , 3? ] ,所以 1? sin 2? ? 1? sin 2? = cos? ?sin? ? cos? ? sin?
42 ? 2 c o?s 。正确答案为 D。
2.如果复数 ?a ? 2i??1? i? 的模为 4,则实数 a 的值为( C )

B. 2 B. 2 2 C. ?2 D. ?2 2

解答:由题意得 2 ? a2 ? 4 ? 4 ? a ? ?2 。正确答案为 C。

3. 设 A ,B 为两个互不相同的集合,命题 P: x ? A? B , 命题 q: x ? A或 x ? B ,则 p 是 q

的( B )

A. 充分且必要条件

B. 充分非必要条件

C. 必要非充分条件

D. 非充分且非必要条件

解答:P 是 q 的充分非必要条件。正确答案为 B。

4.

过椭圆

x2 2

?

y2

? 1的右焦点 F2 作倾斜角为 45

弦 AB,则

AB

为(

C)

A. 2 6 3

B. 4 6 3

C. 4 2 3

D. 4 3 3

解答:椭圆的右焦点为(1,0),则弦 AB 为 y ? x ?1, 代入椭圆方程得

3x2 ? 4x ? 0 ?

x1

? 0, x2

?

4? 3

AB

?

2(x1 ? x2 )2

?

42 3

。正确答案为 C。

5.

函数

?1? 5?x

f

(x)

?

? ?

5x

?1

x ? 0 ,则该函数为( x?0

A



B. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数 C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数 解答:由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为 A。 6. 设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( A )

2

2 2

2

2

2

1

1

3

正视图

侧视图

俯视图(圆和正

方形)

A. 4+ 5? 2

B. 4+ 3? 2

?
C. 4+
2

D. 4+?

解答:该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分

( ? ),所以该几何体的体积为 2? 2?1? 3? ? ? ? 4 ? 5? 。正确答案

2

2

2

为 A。

7.某程序框图如右图所示,现将输出( x, y) 值依

次记为: (x1, y1), (x2 , y2 ), , (xn , yn ), ; 若程序运行中

输出的一个数组是 (x, ?10), 则数组中的 x ? ( B )

A.64

B.32

C.16

答案 经计算 x ? 32 。正确答案为 B。

D.8

? ? 8. 在平面区域 (x, y) | x |?1,| y |?1 上恒有 ax ? 2by ? 2 ,则动点 P(a,b) 所形成平面区域的面积

为( A ) A. 4 B.8

C. 16

D. 32

? ? 解答:平面区域 (x, y) | x |?1,| y |?1 的四个边界点(—1,—1),(—1,1),(1,—1),(1,1)

满足 ax ? 2by ? 2 ,即有

a ? 2b ? 2, a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2

由此计算动点 P(a,b) 所形成平面区域的面积为 4。正确答案为 A。

9.

已知函数

f

(x)

?

sin(2

x

?

? 6

)

?

m



???0,

? 2

? ??

上有两个零点,则

m

的取值范围为(

C



A.

? ??

1 2

,

1???

B

? ??

1 2

,

1???

C.

? ??

1 2

,

1???

D.

? ??

1 2

,

1???

解答:问题等价于函数

f

(x)

?

sin(2x

?

? 6

)

与直线

y

?

m在

???0,

? 2

? ??

上有两个交点,所以

m

的取值

范围为

? ??

1 2

,

1??? 。正确答案为 C。

10. 已知 a ?[?1,1] ,则 x2 ? (a ? 4)x ? 4 ? 2a ? 0 的解为( C ) A. x ? 3或 x ? 2 B. x ? 2 或 x ?1 C. x ? 3 或 x ?1 D. 1? x ? 3
解答:不等式的左端看成 a 的一次函数, f (a) ? (x ? 2)a ? (x2 ? 4x ? 4)

由 f (?1) ? x2 ? 5x ? 6 ? 0, f (1) ? x2 ? 3x ? 2 ? 0 ? x ? 1 或 x ? 3 。
正确答案为 C。 二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分,共 49 分)
11. 函数 f (x) ? 2sin x ? 3 cos x 的最小正周期为______4? ____。 2
解答:最小正周期为 4? 。
? ? 12. 已知等差数列 an 前 15 项的和 S15 =30,则 a1 ? a8 ? a15 =____6_______.
解答:由 S15 ? 30 ? a1 ? 7d ? 2 ,而 a1 ? a8 ? a15 ? 3(a1 ? 7d ) ? 6 。
13. 向量 a ? (1, sin? ) , b ? (cos? , 3) ,? ? R ,则 a ? b 的取值范围为 [1,3] 。

解答: a ? b ? (1? cos? )2 ? (sin? ? 3)2 ? 5 ? 2(cos? ? 3 sin? )

= 5 ? 4 sin(? ?? ) ,其最大值为 3,最小值为 1,取值范围为[1,3]。 6
14. 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,底面 ?ABC 是正三角形,P,E 分别为 BB1 , CC1 上的动点(含端

点),D 为 BC 边上的中点,且 PD ? PE 。则直线 AP, PE 的夹角为_ 90 _。

解答:因为平面 ABC⊥平面 BCC 1 B1 ,AD⊥BC,所以 AD⊥平面 BCC 1 B1 ,所以

AD⊥PE,又 PE⊥PD,PE⊥平面 APD,所以 PE⊥PD。即夹角为 90 。 15.设 x, y 为实数,则 max (x2 ? y 2 ) ? _____4________。
5 x2 ?4 y2 ?10 x
解答: 5x2 ? 4 y2 ? 10x ? 4 y2 ? 10x ? 5x2 ? 0 ? 0 ? x ? 2

4(x2 ? y2 ) ? 10x ? x2 ? 25 ? (5 ? x)2 ? 25 ? 32 ? x2 ? y2 ? 4

16. 马路上有编号为 1,2,3,…,2011 的 2011 只路灯,为节约用电要求关闭其中的 300 只灯,

但不能同时关闭相邻两只,也不能关闭两端的路灯,则满足条件的关灯方法共有___

C 300 1710

_______

种。(用组合数符号表示)

解答:问题等价于在

1711

只路灯中插入

300

只暗灯,所以共有

C 300 1710

种关灯方法。

17. 设 x, y, z 为整数,且 x ? y ? z ? 3, x3 ? y3 ? z 3 ? 3 ,则 x2 ? y 2 ? z 2 ? _3 或 57_。

解答:将 z ? 3 ? x ? y 代入 x3 ? y3 ? z 3 ? 3 得到

xy ? 3(x ? y) ? 9 ? 8 ,因为 x, y 都是整数,所以 x? y

?x ? y ?1 ?x ? y ?

? ?

xy

?

2

, ??xy ? 5

4 ?x ? y ?

,

? ?

xy

?

1

2 ?x ? y ? 8

,

? ?

xy

?

16

,



































x ? y ? z ? 1; x ? y ? 4, z ? ?5。所以 x2 ? y 2 ? z 2 ? 3 或 57。
三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 17 分,共计 51 分)
18. 设 a ? 2 ,求 y ? (x ? 2) x 在[a, 2] 上的最大值和最小值。

解答:当 x ? 0, y ? ?(x ?1)2 ?1,

当 x ? 0, y ? (x ?1)2 ?1,

---- 5 分

由此可知 ymax ? 0 。

---------------------------------- 10 分

当1 ? a ? 2, ymin ? a2 ? 2a ;当1? 2 ? a ?1, ymin ? ?1;

当 a ?1? 2, ymin ? ?a2 ? 2a 。 ---------------------------------- 17 分

19.





两个数列

?xn ?



?yn ?





x0 ? y0 ? 1



xn

?

xn?1 2 ? xn?1

(n ? 1) ,

yn

? yn2?1 1 ? 2 yn?1

(n ? 1) 。证明对于任意的自然数 n,都存在自然数 jn ,使得

yn ?x jn 。

解答:由已知得到:

1 ? 1? 2 ? 1 ?1 ? 2(1? 1 ) ? { 1 ?1} 为等比数列,首项为 2,公比为 2,

xn

xn?1

xn

xn?1

xn

所以

1 xn

?1?

2n?1

?

xn

?

1 2n?1 ?1



----------------- 5 分

又由已知, yn

?1?

( yn?1 ?1)2 1? 2 y n?1

?

yn ?1 ? ( yn?1 ?1)2

yn

y n?1

?1?

1 yn

? (1?

1 )2 yn?1

由1?

1 y0

? 2 ?1?

1 yn

? 22n

?

yn

?

1, 22n ?1

所以取 jn ? 2n ?1即可。 ------------------- 17 分

20.

已知椭圆 x2 52

?

y2 42

? 1,过其左焦点 F1 作一条直线交椭圆于

A,B

两点,D (a, 0) 为 F1 右侧一

点,连 AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰好过 F1 ,求 a 的值。

解答: F1(?3, 0),左准线方程为x

?

?

25;AB方程为 3

y

?

k(x ? 3)(k为斜率) 。

?y ? k(x ? 3)



A(x1, y1), B(x2 , y2 )

,由

? ?x2 ?? 25

?

y2 16

?1

? ( 1 6? 2k52 x2) ? 1k520x ?

2k22 ?5

4?得0 0 0

x1

?

x2

?

150k 2 ? 16 ? 25k 2

, x1x2

?

?

225k 2 ? 400 16 ? 25k 2

?

y1 y2

?

k 2 (x1

? 3)(x2

? 3)

?

256k 2 ? 16 ? 25k 2

----10





M

(?

25 3

,

y3

),

N

(?

25 3

,

y4

)

。由

M、A、D

共线

y3

?

(3a ? 25) y1 3(a ? x1)

,同理y4

?

(3a ? 25) y2 3(a ? x2 )





F1M

?

(?16 , 3

y3), F1N

?

(?16 , 3

y4 ),由已知得F1M

?

F1N

?

F1M

? F1N

?

0





y3y

4

?

?

256 9

,

而y

3

y

4

?

(3a ? 25)2 9(a ? x1)(a

y1 ?

y2 x2

)

,即

?

256k 2 16 ? 25k

2

?

(3a ? 25)2 9(a ? x1)(a ? x2 )

= ? 256 , 整理 9

得 (1? k 2 )(16a2 ? 400) ? 0 ? a ? ?5,又a ? ?3,所以a ? 5 。--------------17 分
2011 年河北省高中数学竞赛试题

一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 9 分,满分 72 分)

? ? 1.

已知数列

an

满足: an?1

?

an?2 ? 2

an

, a1

? 1, a403

?

2011, 则 a5

的最大值为

.

2. 若 x, y 均为正整数,且 x5 ? y5 的值恰好是由一个 2,一个 0,两个 1 组成的四位数,则满足条

件的所有四位数是

.

3. 已知 a2 ? b2 ? c2 ? 1,则 ab ? bc ? ac 的值域为

.

4. 标号 1,2,…,13 号共 4 种颜色的卡片共计 52 张,加上两张空白卡片,平均放入三个不同的

盒子,若某个盒子中有两张空白卡片,4 张 1,且 2,3,…,13 号卡片各一张,称该盒是“超

级盒“。则出现超级盒的概率为

(列出算式即可).

5. 已知 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? (n ? 3)an?1 ? (n ? 2)an , 当 m ? n 时,am 的值都能被 9 整除,则 n 的

最小值为

.

6. 函数 f (x) ? x ? x ?1 ? x ? 2 ?? ? x ? 2010 的图像的对称中心为

.

x ?1 x ? 2 x ?3

x ? 2011

7. 6 名大学毕业生到 3 个用人单位应聘,若每个单位至少录用其中一人,则不同的录用情况的种

数是

.

8. 已知 O 为坐标原点,B(4,0),C(5,0), 过 C 作 x 轴的垂线,M 是这垂线上的动点,以 O 为圆心,

OB 为半径作圆, MT1, MT2 是圆的切线,则 ?MT1T2 垂心的轨迹方程是

.

二、解答题(本大题共 6 小题,每题的解答均要求有推理过程,9、10、11、12 小题各 12 分,13、

14 小题各 15 分,共 78 分)

9. 解不等式

x?

1 x2

?

x?

1 x2

?

1. x

10、如图,已知 A, B 是圆 x2 ? y2 ? 4 与 x 轴的两个交点, P 为直线 l : x ? 4 上的动点。 PA, PB

与圆 x2 ? y2 ? 4 的另一个交点分别为 M , N.

求证:直线 MN 过定点。

11、求证: n ? 23 时,总有 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 3成立。

23

33

n3

12、已知: f (x, y) ? x3 ? y3 ? x2 y ? xy2 ? 3(x2 ? y2 ? xy) ? 3(x ? y) ,且 x, y ? 1 , 求 f (x, y) 的 2
最小值。

13、(1)在 ?ABC 中,?BCA ? 90? ,则有 AC2 ? BC2 ? AB2 ,类比到三维空间中,你能得到什

么结论?请给出证明。
(2)在 ?ABC 中,?BCA ? 90? ,若点 C 到 AB 的距离为 h, ?ABC的内切圆半径为 r, 求 r h
的最小值。 (3)推广(2)的结论到三维空间,并证明之。

14.

已知数列?an?、?bn?满足: a1

? 2 p, an?1

?

1 2

(an

?

p2 an

),bn

?

an an

? ?

p (n ? N*, p p

? 0).

(1)求数列 ?bn ?的通项;

(2)证明: an ? p ? 32n?1 ? 1; an?1 ? p

(3)设

Sn

是数列

?an ?的前

n

项和,当

n

?

2

时, S n



(n

?

23) 18

p

的大小关系是否确定?请说

明理由。

2011 年全国高中数学联赛广东省预赛
(考试时间:2011 年 9 月 3 日上午 10∶00—11∶20) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上.
1. 设数列{an}满足 a1 ? 1, a2 ? 4, a3 ? 9, an ? an?1 ? an?2 ? an?3, n ? 4,5,... ,则

a2011 ?

.

2. 不等式 sin 2 x ? a cosx ? a2 ? 1? cosx 对一切 x ? R 成立,则实数 a 的取值范围



.

3. 已知定义在正整数集上的函数 f (n) 满足以下条件:

(1) f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? mn ,其中 m, n 为正整数;

(2) f (3) ? 6 .

则 f (2011) ?

.

4. 方程

x ? 1 ? 2 ? 2011 ? 2011

一共有

个解.

5. 设半径为 10 厘米的球中有一个棱长为整数(厘米)的正方体, 则该正方体的

棱长最大等于

.

6. 一个玻璃杯的内壁是由抛物线 y ? x2 ?? 2 ? x ? 2?绕 y 轴旋转而构成的.请问能

接触到杯底的球的半径最大是

.

7. 计算:

1

?

1

? ... ?

1

? _____ .

sin 45?sin 46? sin 46?sin 47? sin 89?sin 90?

8. 10 名学生站成一排,要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子,要

求每种颜色的帽子都要有,且相邻的两名学生帽子的颜色不同. 则满足要求的发帽子

的方法共有

种.

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1.(本小题满分 16 分)若 n 是大于 2 的正整数,求

的最小值.

1 ? 1 ? ... ? 1

n?1 n? 2

2n

2.(本小题满分 20 分)在一条线段上随机独立地取两点,然后从这两点处把线段

分成三段.请问得到的三条新线段能构成三角形的概率是多少?

3.(本小题满分 20 分)数列 a0 , a1,..., an ,... 满足 a0 ? 0, a1 ? 1,a2 ? 0,当 n ? 3 时有

an

?

2 n ?1 (a0

?

a1

?

... ?

an?2

)

.

证明:对所有整数 n ? 3 ,有 an

? n. 10

2011 年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案

(考试时间:2011 年 9 月 3 日上午 10∶00—11∶20) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上.

1. 设数列{an}满足 a1 ? 1, a2 ? 4, a3 ? 9, an ? an?1 ? an?2 ? an?3, n ? 4,5,... ,则

a2011 ?

.

答案:8041.

由题意, a2 ? a1 ? 3 , a3 ? a2 ? 5 ,且 an ? an?1 ? an?2 ? an?3 (n ? 4).

? ? ∴ a2n ? a2n?1 ? 3 , a2n?1 ? a2n ? 5 n ? N * .

∴ a2n?1 ? a2n?1 ? 8 ,

1005
? ∴ a2011 ? (a2k?1 ? a2k?1) ? a1 ? 1005? 8 ?1 ? 8041 . k ?1

2. 不等式 sin 2 x ? a cosx ? a2 ? 1? cosx 对一切 x ? R 成立,则实数 a 的取值范围



.

答案: a ? 1或 a ? ?2 .

由题意,a cos x ? a2 ? cos2 x ? cos x ,即 cos 2 x ? ?1 ? a?cos x ? a2 ? 0 对 ?x ? R 成立.

令 f ?t? ? t2 ? ?1? a?t ? a2(?1? t ? cos x ?1).



?? ? ??

f ?1? ? 0, f ??1? ? 0.

?

??1 ? ???1 ?

?1 ? ?1 ?

a? a?

? ?

a2 a2

? ?

0, 0.

解得 a ? ?2或a ? 1.

3. 已知定义在正整数集上的函数 f (n) 满足以下条件:

(1) f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? mn ,其中 m, n 为正整数;

(2) f (3) ? 6 .

则 f (2011) ?

.

答案:2023066.

在(1)中,令 n ?1得, f ?m ?1? ? f ?m? ? f ?1? ? m .



令 m ? n ?1得, f ?2? ? 2 f ?1? ?1.



令 m ? 2, n ?1,并利用(2)得, 6 ? f ?3? ? f ?2? ? f ?1? ? 2 .



由③②得, f ?1? ?1, f ?2? ? 3 .

代入①得, f ?m ?1? ? f ?m? ? m ?1.

2010

2010

∴ f (2011) ? ? [ f (k ?1) ? f (k)] ? f (1) ? ? (k ?1) ?1

k ?1

k ?1

?1 ? 2 ? ? ? ? ? 2011 ? 2011? 2012 ? 2023066.
2

4. 方程

x ? 1 ? 2 ? 2011 ? 2011

一共有

个解.

答案:4.

方程 x ?1 ? 1的所有解为 x ? 0或? 2 ;

方程 x ?1 ? 2 ? 2 的所有解为 x ? ?1或 ? 5 ;

方程 x ?1 ? 2 ? 3 ? 3 的所有解为 x ? ?3或 ? 9 ;

方程 x ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 4 的所有解为 x ? ?6或 ?14;

方程 x ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 5 的所有解为 x ? ?10或 ? 20 ;

一般地,方程

x ? 1 ? 2 ? n ? n(n ? 2) 的所有解为

x ? ? n(n ?1) 或 ? n(n ? 3) .

2

2

5. 设半径为 10 厘米的球中有一个棱长为整数(厘米)的正方体, 则该正方体的

棱长最大等于

.

答案:11 厘米.

设正方体的棱长为 a ,因为正方体的对角线长不大于球的直径,

所以, 3a ? 20(a ? N *) ,即 a ? 20 3(a ? N*) , 3
∴ a ? 11,即 amax ? 11.

6. 一个玻璃杯的内壁是由抛物线 y ? x2 ?? 2 ? x ? 2?绕 y 轴旋转而构成的.请问能

接触到杯底的球的半径最大是

.

答案: 1 . 2

过抛物线顶点与球心作截面,设球的半径为 r ,

? ? 由

?? x 2 ? ??

?

?y
y

? ?

r ?2
x2

? r2 ? x2

1? 2r ? x2

?0.

由题意,方程 x2 ?1? 2r ? 0 没有非零实数解. ∴ x2 ? 2r ?1 ? 0 ? r ? 1 .
2

7. 计算:

1

?

1

? ... ?

1

? _____ .

sin 45?sin 46? sin 46?sin 47? sin 89?sin 90?

答案: 1 . sin1?

sin

n?

1
sin ?n

?1?

?

?

1 sin1?

?

sin ??n ?1??
sin n?sin ?n

? n??
? 1? ?

?

1 sin1?

?

sin

?

n

?

1??cos n? ? cos ?n sin n?sin ?n ?1?

? 1? ?
?

sin

n?

?

1 sin1?

?

??cot

n?

?

cot

?

n

?

1?

???

.

?89
原式 ?

1 ?cot k? ? cot(k ?1)??

k?45 sin1?

? 1 ?cot 45? ? cot 90??
sin1? ?1.
sin1?

8. 10 名学生站成一排,要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子,要

求每种颜色的帽子都要有,且相邻的两名学生帽子的颜色不同. 则满足要求的发帽子

的方法共有

种.

答案:1530.

推广到一般情形,设 n 个学生按题设方式排列的方法数为 an ,
则 a3 ? 6 , a4 ? 18 , an?1 ? 2an ? 6?n ? 3? . 从而, an?1 ? 6 ? 2?an ? 6? ? an ? ?a3 ? 6?? 2n?3 ? 6 .
∴ a10 ? 12 ? 27 ? 6 ? 1530 .

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1.(本小题满分 16 分)若 n 是大于 2 的正整数,求

的最小值.

1 ? 1 ? ... ? 1

n?1 n? 2

2n

解:当 n ? 3时, 1 ? 1 ? 1 ? 37 . 4 5 6 60

假设 n ? k ?k ? 3? 时, 1 ? 1 ? ...? 1 ? 37 .
k ?1 k ? 2 2k 60 则当 n ? k ?1时,

1 ? 1 ? ... ? 1 ? 1 ? 1 k ? 2 k ? 3 2k 2k ?1 2k ? 2

? 1 ? 1 ? ...? 1 ? 1 ? 1 ? 1 k ?1 k ? 2 2k 2k ?1 2k ? 2 k ?1

? 1 ? 1 ? ...? 1 ? 1 ? 1 k ?1 k ? 2 2k 2k ?1 2k ? 2

? 1 ? 1 ? ... ? 1 k ?1 k ? 2 2k

? 37 . 60

因此,所求最小值为 37 . 60

2.(本小题满分 20 分)在一条线段上随机独立地取两点,然后从这两点处把线段 分成三段.请问得到的三条新线段能构成三角形的概率是多少?

解:令 a, b 和 c 为一个三角形的三边,则 a+b>c, b+c>a 和 c+a>b.不妨设开始时

的线段为区间[0, 1],并且随机选取的两点为 x 和 y ,其中 0<x<y<1.

? ?

x ? (y ? x) ? 1? y

?

?

?

x ? (1 ? y) ? y ? x

?

???? y ? x? ? ?1 ? y ? ? x

1 ?y? ,
2
1 ?y?x? ,
2
1 ?x? .
2

如下图所示,“成功”的区域是由不等式 y ? 1 , y ? x ? 1 和 x ? 1 围成的三角

2

2

2

形,面积为 1 ,而整个区域的面积为 1 (因为 y>x).

8

2



P(成功) ?

1 2

???

1 2

?

1 2

???

?

1

.

1 ?1?1? 4

2

答:得到的三条新线段能构成三角形的概率是 1 . 4

3.(本小题满分 20 分)数列 a0 , a1,..., an ,... 满足 a0 ? 0, a1 ? 1,a2 ? 0,当 n ? 3 时有

an

?

2 n ?1 (a0

?

a1

?

...?

an?

2

).

证明:对所有整数 n ? 3 ,有 an

? n. 10

证法 1:

证 明 : 由 已 知 得 (n ?1)an ? 2(a0 ? a1 ? ... ? an?2 ) , 在 上 式 中 以 n ?1 代 替 n 得 到

nan?1 ? 2 (a 0 ? a 1? . .?. an? 1 ,)

两式相减得 nan?1 ? (n ?1)an ? 2an?1 ,此式对所有整数 n ? 3 均成立.

设 bn

?

an n?2

,则

n(n ? 3)bn?1 ? (n ?1)(n ? 2)bn ? 2(n ?1)bn?1.

由于 n(n ? 3) ? (n ?1)(n ? 2) ? 2(n ?1) ,故 bn?1 应在 bn 与 bn?1 之间.

由于 a3 ? 1, a4

?2, 3

故 b3

1 ? 5 , b4

? 1. 9

因此当

n

?

3

时,均有

bn

?[

1 9

,

1 5

]

,故

an

? (n ?2) bn

?

n?2 ? n 9 10

,证毕.

证法 2:

证明:用归纳法证明加强命题:an



n+2 10

?n



3?.

1? 当 n = 3, 4 时,

a3 = 1



5 10

, a4 =

2 3



6 10



结论成立.

2? 假设当 n-1 时结论成立,当 n + 1 时,

an + 1 =

2 n

?a0 + a1 +



+ an-1?

=

2 n

?1 + a3 + a4 +



+ an-1?

>

2 n

?1 +

5 10

+

6 10

+



+

n+1 10

?

2

?n + 6??n-3?

= n ?1 +

20

?

2 n 2 + 3n + 2 = n 20

>

n+3 10



所以结论对 n + 1 时亦成立.

由归纳法原理及 1?, 2?

可知

an



n+2 10

?n



3?

成立.

因此 an



n+2 10

>

n 10

?n



3?

成立.

从而本题得证.
2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题

一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上)

1. 复数 (1 ? i)4 ? (1 ? i)4 ?



2. 已知直线 x ? my ?1 ? 0 是圆 C : x2 ? y2 ? 4x ? 4y ? 5 ? 0 的一条对称轴,则实数

m?

.

3. 某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概率



(结果用最简分数表示).

4. 已知 cos 4? ? 1 ,则 sin4 ? ? cos4 ? ?



5

5. 已知向量 a,b 满足 a ? b ? 2,? a,b ?? π ,则以向量 2a ? b 与 3a ? b 表示的有向线段 3

为邻边的平行四边形的面积为



6. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列{an3}的前

n 项和等于



7. 设函数 f (x) ? x2 ? 2 .若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是



8. 设 f(m)为数列{an}中小于 m 的项的个数,其中 an ? n2 , n ? N *,

则 f [ f (2011)] ?



9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角

形的斜边长是



10.已知 m 是正整数,且方程 2x ? m 10 ? x ? m ?10 ? 0 有整数解,则 m 所有可能的值





二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分)

11.已知圆 x2 ? y2 ? 1与抛物线 y ? x2 ? h 有公共点,求实数 h 的取值范围.

12.设 f (x) ? x2 ? bx ? c(b,c ? R) .若 x ≥ 2 时, f (x)≥0 ,且 f (x) 在区间 ?2,3? 上的最大值为

1,求 b2 ? c2 的最大值和最小值. 13.如图,P 是 ABC 内一点.

(1)若 P 是 ABC 的内心,证明: ?BPC ? 90 ? 1 ?BAC ; 2

(2)若 ?BPC ? 90 ? 1 ?BAC 且 ?APC ? 90 ? 1 ?ABC ,证明:P 是 ABC 的内心.

2

2

14.已知? 是实数,且存在正整数 n0,使得 n0 ? ? 为正有理数. 证明:存在无穷多个正整数 n,使得 n ? ? 为有理数.

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上)

1. 复数 (1 ? i)4 ? (1 ? i)4 ?

.答案:-8

2. 已知直线 x ? my ?1 ? 0 是圆 C : x2 ? y2 ? 4x ? 4y ? 5 ? 0 的一条对称轴,则实数

m?

.答案: ? 3

2

3. 某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概率



(结果用最简分数表示).答案: 19

145

4. 已知 cos 4? ? 1 ,则 sin4 ? ? cos4 ? ? 5

.答案: 4 5

5. 已知向量 a,b 满足 a ? b ? 2,? a,b ?? π ,则以向量 2a ? b 与 3a ? b 表示的有向线段 3

为邻边的平行四边形的面积为

.答案:10 3

6. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列{an3}的前

n 项和等于



答案: 1 (8n ? 48)7. 设函数 f (x) ? x2 ? 2 .若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围 7



.答案:(0,2)

8. 设 f(m)为数列{an}中小于 m 的项的个数,其中 an ? n2 , n ? N *,

则 f [ f (2011)] ?

.答案:6

9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角

形的斜边长是

.答案:4 3

10.已知 m 是正整数,且方程 2x ? m 10 ? x ? m ?10 ? 0 有整数解,则 m 所有可能的值



.答案:3,14,30

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分)

11.已知圆 x2 ? y2 ? 1与抛物线 y ? x2 ? h 有公共点,求实数 h 的取值范围.

解:设公共点(cosθ,sinθ),代入抛物线方程,

得 h ? sin? ? cos2 ? ? sin2 ? ? sin? ?1 ? (sin? ? 1)2 ? 5 24

因为

sin?

???1,1?

,所以

h

?

????

5 4

,1???

12.设 f (x) ? x2 ? bx ? c(b,c ? R) .若 x ≥ 2 时, f (x)≥0 ,且 f (x) 在区间 ?2,3? 上的最大值为

1,求 b2 ? c2 的最大值和最小值.
解:由题意函数图象为开口向上的抛物线,且 f (x) 在区间 ?2,3? 上的最大值只能在闭端点取得,

故有 f (2) ≤ f (3) ?1,从而 b≥?5 且 c ? ?3b ?8.

若 f (x) ? 0 有实根,则 ? ? b2 ? 4c≥0 ,

?

? f (?2) ≥ 0,

在区间

??2,

2?



? ?

f

(2)



0,



?4 ??4

? ?

2b 2b

? ?

c c

≥ ≥

0, 0,

消去

c,解出

??b ? ?b

≤ ≤

?4 5
?4,

,

? ??2



b



2,

???4 ≤ b ≤ 4,

???4 ≤ b ≤ 4,

?2

?

即 b ? ?4,这时 c ? 4 ,且 ? ? 0 .

若 f (x) ? 0 无实根,则 ? ? b2 ? 4c ? 0 ,将 c ? ?3b ?8代入解得 ?8 ? b ? ?4 .

综上 ?5≤b≤?4 .

所以 b2 ? c2 ? b2 ? (?3b ? 8)2 ? 10b2 ? 48b ? 64 ,单调递减

故 (b2 ? c2 )min ? 32, (b2 ? c2 )max ? 74 .

13.如图,P 是 ABC 内一点.

(1)若 P 是 ABC 的内心,证明: ?BPC ? 90 ? 1 ?BAC ; 2

(2)若 ?BPC ? 90 ? 1 ?BAC 且 ?APC ? 90 ? 1 ?ABC ,证明:P 是 ABC 的内心.

2

2

证明:(1)

?BPC ?180 ? 1 (?ABC ? ?ACB) ?180 ? 1 (180 ? ?BAC) ? 90 ? 1 ?BAC

2

2

2

A

P

B

C

14.已知? 是实数,且存在正整数 n0,使得 n0 ? ? 为正有理数.

证明:存在无穷多个正整数 n,使得 n ? ? 为有理数.

证明:设

n0

??

?

q p

,其中

p,q

为互质的正整数,则 n0

??

?

q2 p2



设 k 为任意的正整数,构造 n ? p2k 2 ? 2qk ? n0 ,



n?? ?

p2k 2 ? 2qk ? n0 ? ? ?

p2k 2 ? 2qk ? q2 ? pk ? q ? Q .

p2

p

2011 年浙江省高中数学竞赛试题

一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括

号里,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分)

1. 已知? ?[5? , 3? ] ,则 1? sin 2? ? 1? sin 2? 可化简为(



42

A. 2sin? B. ?2sin? C. ?2cos? D. 2cos?

2.如果复数 ?a ? 2i??1? i? 的模为 4,则实数 a 的值为( )

C. 2 B. 2 2 C. ?2 D. ?2 2

3. 设 A ,B 为两个互不相同的集合,命题 P: x ? A? B , 命题 q: x ? A或 x ? B ,则 p 是 q

的( )

A. 充分且必要条件

B. 充分非必要条件

C. 必要非充分条件

D. 非充分且非必要条件

4.

过椭圆

x2 2

?

y2

? 1的右焦点 F2 作倾斜角为 45

弦 AB,则

AB

为(



A. 2 6 3

B. 4 6 3

C. 4 2 3

D. 4 3 3

3x2 ? 4x ? 0 ?

x1

? 0, x2

?

4? 3

AB

?

2(x1 ? x2 )2

?

42 3

。正确答案为 C。

5.

函数

?1? 5?x

f

(x)

?

? ?

5x

?1

x ? 0 ,则该函数为( x?0



C. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数 C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数 6. 设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( )

2

2 2

2

2

2

3

1

1

正视图

A. 4+ 5? 2

B. 4+ 3? 2

侧视图

C. 4+ ? 2

D. 4+?

7.某程序框图如右图所示,现将输出( x, y) 值依

俯视图(圆和正方形)

次记为: (x1, y1), (x2 , y2 ), , (xn , yn ), ; 若程序运行中

输出的一个数组是 (x, ?10), 则数组中的 x ? ( )

A.64

B.32

C.16

D.8

? ? 8. 在平面区域 (x, y) | x |?1,| y |?1 上恒有 ax ? 2by ? 2 ,则动点 P(a,b) 所形成平面区域的面积

为( ) A. 4 B.8

C. 16

D. 32

9.

已知函数

f

(x)

?

sin(2

x

?

? 6

)

?

m



???0,

? 2

? ??

上有两个零点,则

m

的取值范围为(



A.

? ??

1 2

,

1???

B

? ??

1 2

,

1???

C.

? ??

1 2

,

1???

D.

? ??

1 2

,

1???

10. 已知 a ?[?1,1] ,则 x2 ? (a ? 4)x ? 4 ? 2a ? 0 的解为( )
A. x ? 3或 x ? 2 B. x ? 2 或 x ?1 C. x ? 3 或 x ?1 D. 1? x ? 3
二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分,共 49 分)
11. 函数 f (x) ? 2sin x ? 3 cos x 的最小正周期为______ ____。 2
? ? 12. 已知等差数列 an 前 15 项的和 S15 =30,则 a1 ? a8 ? a15 =____ ______.

13. 向量 a ? (1, sin? ) , b ? (cos? , 3) ,? ? R ,则 a ? b 的取值范围为 。

14. 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,底面 ?ABC 是正三角形,P,E 分别为 BB1 , CC1 上的动点(含端
点),D 为 BC 边上的中点,且 PD ? PE 。则直线 AP, PE 的夹角为_ _。
15.设 x, y 为实数,则 max (x2 ? y 2 ) ? _____ ________。 5 x2 ?4 y2 ?10 x
16. 马路上有编号为 1,2,3,…,2011 的 2011 只路灯,为节约用电要求关闭其中的 300 只灯, 但不能同时关闭相邻两只,也不能关闭两端的路灯,则满足条件的关灯方法共有___ ______种。 (用组合数符号表示)
17. 设 x, y, z 为整数,且 x ? y ? z ? 3, x3 ? y3 ? z 3 ? 3 ,则 x2 ? y 2 ? z 2 ? _ _。

18. 设 a ? 2 ,求 y ? (x ? 2) x 在[a, 2] 上的最大值和最小值。

19.





两个数列

?xn ?



?yn ?





x0 ? y0 ? 1



xn

?

xn?1 2 ? xn?1

(n ? 1) ,

yn

? yn2?1 1 ? 2 yn?1

(n ? 1) 。证明对于任意的自然数 n,都存在自然数 jn ,使得

yn ?x jn 。

20.

已知椭圆 x2 52

?

y2 42

? 1,过其左焦点 F1 作一条直线交椭圆于

A,B

两点,D (a, 0) 为 F1 右侧

一点,连 AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰好过 F1 ,求 a 的值。

2011 年浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准
一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括 号里,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分)
1. 已知? ?[5? , 3? ] ,则 1? sin 2? ? 1? sin 2? 可化简为( D ) 42

A. 2sin? B. ?2sin? C. ?2cos? D. 2cos? 解答:因为? ?[5? , 3? ] ,所以 1? sin 2? ? 1? sin 2? = cos? ?sin? ? cos? ? sin?
42 ? 2 c o?s 。正确答案为 D。
2.如果复数 ?a ? 2i??1? i? 的模为 4,则实数 a 的值为( C )

D. 2 B. 2 2 C. ?2 D. ?2 2

解答:由题意得 2 ? a2 ? 4 ? 4 ? a ? ?2 。正确答案为 C。

3. 设 A ,B 为两个互不相同的集合,命题 P: x ? A? B , 命题 q: x ? A或 x ? B ,则 p 是 q
的( B )

A. 充分且必要条件

B. 充分非必要条件

C. 必要非充分条件

D. 非充分且非必要条件

解答:P 是 q 的充分非必要条件。正确答案为 B。

4.

过椭圆

x2 2

?

y2

? 1的右焦点 F2 作倾斜角为 45

弦 AB,则

AB

为(

C)

26
A.
3

46
B.
3

42
C.
3

43
D.
3

解答:椭圆的右焦点为(1,0),则弦 AB 为 y ? x ?1, 代入椭圆方程得

3x2 ? 4x ? 0 ?

x1

? 0, x2

?

4? 3

AB

?

2(x1 ? x2 )2

?

42 3

。正确答案为 C。

5.

函数

?1? 5?x

f

(x)

?

? ?

5x

?1

x ? 0 ,则该函数为( x?0

A



D. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数 C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数 解答:由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为 A。 6. 设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( A )

2

2 2

2

2

2

1

1

3

正视图

侧视图

俯视图(圆和正方形)

A. 4+ 5? 2

B. 4+ 3? 2

C. 4+ ? 2

D. 4+?

解答:该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分( ? ),所以该几何体的体 2

积为 2? 2?1? 3? ? ? ? 4 ? 5? 。正确答案为 A。

2

2

7.某程序框图如右图所示,现将输出( x, y) 值依

次记为: (x1, y1), (x2 , y2 ), , (xn , yn ), ; 若程序运行中

输出的一个数组是 (x, ?10), 则数组中的 x ? ( B )

A.64

B.32

C.16

答案 经计算 x ? 32 。正确答案为 B。

D.8

? ? 8. 在 平 面 区 域 (x, y) | x |?1,| y |?1 上 恒 有 ax ? 2by ? 2 , 则 动 点

P(a,b) 所形成平面区域的面积为( A )
A. 4 B.8 C. 16 D. 32
? ? 解答:平面区域 (x, y) | x |?1,| y |?1 的四个边界点(—1,—1),(—1,

1),(1,—1),(1,1)满足 ax ? 2by ? 2 ,即有

a ? 2b ? 2, a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2

由此计算动点 P(a,b) 所形成平面区域的面积为 4。正确答案为 A。

9.

已知函数

f

(x)

?

sin(2

x

?

? 6

)

?

m



???0,

? 2

? ??

上有两个零点,则

m

的取值范围为(

C



A.

? ??

1 2

,

1???

B

? ??

1 2

,

1???

C.

? ??

1 2

,

1???

D.

? ??

1 2

,

1???

解答:问题等价于函数

f

(x)

?

sin(2x

?

? 6

)

与直线

y

?

m在

???0,

? 2

? ??

上有两个交点,所以

m

的取值

范围为

? ??

1 2

,

1??? 。正确答案为 C。

10. 已知 a ?[?1,1] ,则 x2 ? (a ? 4)x ? 4 ? 2a ? 0 的解为( C ) A. x ? 3或 x ? 2 B. x ? 2 或 x ?1 C. x ? 3 或 x ?1 D. 1? x ? 3
解答:不等式的左端看成 a 的一次函数, f (a) ? (x ? 2)a ? (x2 ? 4x ? 4)

由 f (?1) ? x2 ? 5x ? 6 ? 0, f (1) ? x2 ? 3x ? 2 ? 0 ? x ? 1 或 x ? 3 。
正确答案为 C。 二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分,共 49 分)
11. 函数 f (x) ? 2sin x ? 3 cos x 的最小正周期为______4? ____。 2
解答:最小正周期为 4? 。
? ? 12. 已知等差数列 an 前 15 项的和 S15 =30,则 a1 ? a8 ? a15 =____6_______.
解答:由 S15 ? 30 ? a1 ? 7d ? 2 ,而 a1 ? a8 ? a15 ? 3(a1 ? 7d ) ? 6 。
13. 向量 a ? (1, sin? ) , b ? (cos? , 3) ,? ? R ,则 a ? b 的取值范围为 [1,3] 。

解答: a ? b ? (1? cos? )2 ? (sin? ? 3)2 ? 5 ? 2(cos? ? 3 sin? )

= 5 ? 4 sin(? ?? ) ,其最大值为 3,最小值为 1,取值范围为[1,3]。 6
14. 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,底面 ?ABC 是正三角形,P,E 分别为 BB1 , CC1 上的动点(含端 点),D 为 BC 边上的中点,且 PD ? PE 。则直线 AP, PE 的夹角为_ 90 _。 解答:因为平面 ABC⊥平面 BCC 1 B1 ,AD⊥BC,所以 AD⊥平面 BCC 1 B1 ,所以 AD⊥PE,又 PE⊥PD,PE⊥平面 APD,所以 PE⊥PD。即夹角为 90 。 15.设 x, y 为实数,则 max (x2 ? y 2 ) ? _____4________。
5 x2 ?4 y2 ?10 x
解答: 5x2 ? 4 y2 ? 10x ? 4 y2 ? 10x ? 5x2 ? 0 ? 0 ? x ? 2

4(x2 ? y2 ) ? 10x ? x2 ? 25 ? (5 ? x)2 ? 25 ? 32 ? x2 ? y2 ? 4

16. 马路上有编号为 1,2,3,…,2011 的 2011 只路灯,为节约用电要求关闭其中的 300 只灯,

但不能同时关闭相邻两只,也不能关闭两端的路灯,则满足条件的关灯方法共有___

C 300 1710

_______

种。(用组合数符号表示)

解答:问题等价于在

1711

只路灯中插入

300

只暗灯,所以共有

C 300 1710

种关灯方法。

17. 设 x, y, z 为整数,且 x ? y ? z ? 3, x3 ? y3 ? z 3 ? 3 ,则 x2 ? y 2 ? z 2 ? _3 或 57_。

解答:将 z ? 3 ? x ? y 代入 x3 ? y3 ? z 3 ? 3 得到

xy ? 3(x ? y) ? 9 ? 8 ,因为 x, y 都是整数,所以 x? y

?x ? y ?1 ?x ? y ?

? ?

xy

?

2

, ??xy ? 5

4 ?x ? y ?

,

? ?

xy

?

1

2 ?x ? y ? 8

,

? ?

xy

?

16

,



































x ? y ? z ? 1; x ? y ? 4, z ? ?5。所以 x2 ? y 2 ? z 2 ? 3 或 57。
三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 17 分,共计 51 分)
18. 设 a ? 2 ,求 y ? (x ? 2) x 在[a, 2] 上的最大值和最小值。

解答:当 x ? 0, y ? ?(x ?1)2 ?1,

当 x ? 0, y ? (x ?1)2 ?1,

---- 5 分

由此可知 ymax ? 0 。

---------------------------------- 10 分

当1 ? a ? 2, ymin ? a2 ? 2a ;当1? 2 ? a ?1, ymin ? ?1;

当 a ?1? 2, ymin ? ?a2 ? 2a 。 ---------------------------------- 17 分

19.





两个数列

?xn ?



?yn ?





x0 ? y0 ? 1



xn

?

xn?1 2 ? xn?1

(n ? 1) ,

yn

? yn2?1 1 ? 2 yn?1

(n ? 1) 。证明对于任意的自然数 n,都存在自然数 jn ,使得

yn ?x jn 。

解答:由已知得到:

1 ? 1? 2 ? 1 ?1 ? 2(1? 1 ) ? { 1 ?1} 为等比数列,首项为 2,公比为 2,

xn

xn?1

xn

xn?1

xn

所以

1 xn

?1?

2n?1

?

xn

?

1 2n?1 ?1



----------------- 5 分

又由已知, yn

?1?

( yn?1 ?1)2 1? 2 y n?1

?

yn ?1 ? ( yn?1 ?1)2

yn

y n?1

?1?

1 yn

? (1?

1 )2 yn?1

由1?

1 y0

? 2 ?1?

1 yn

? 22n

?

yn

?

1, 22n ?1

所以取 jn ? 2n ?1即可。 ------------------- 17 分

20.

已知椭圆 x2 52

?

y2 42

? 1,过其左焦点 F1 作一条直线交椭圆于

A,B

两点,D (a, 0) 为 F1 右侧一

点,连 AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰好过 F1 ,求 a 的值。

解答: F1(?3, 0),左准线方程为x

?

?

25;AB方程为 3

y

?

k(x ? 3)(k为斜率) 。

?y ? k(x ? 3)



A(x1, y1), B(x2 , y2 )

,由

? ?x2 ?? 25

?

y2 16

?1

? ( 1 6? 2k52 x2) ? 1k520x ?

2k22 ?5

4?得0 0 0

x1

?

x2

?

? 150k 2 16 ? 25k 2

, x1x2

?

?

225k 2 ? 400 16 ? 25k 2

?

y1 y2

?

k 2 (x1

? 3)(x2

? 3)

?

? 256k 2 16 ? 25k 2

----10





M

(?

25 3

,

y3

),

N

(?

25 3

,

y4

)

。由

M、A、D

共线

y3

?

(3a ? 25) y1 3(a ? x1)

,同理y4

?

(3a ? 25) y2 3(a ? x2 )





F1M

?

(?16 , 3

y3), F1N

?

(?16 , 3

y4 ),由已知得F1M

?

F1N

?

F1M

? F1N

?

0





y3y

4

?

?

256 9

,

而y

3

y

4

?

(3a ? 25)2 9(a ? x1)(a

y1 ?

y2 x2

)

,即

?

256k 2 16 ? 25k

2

?

(3a ? 25)2 9(a ? x1)(a ? x2 )

= ? 256 , 整理 9

得 (1? k 2 )(16a2 ? 400) ? 0 ? a ? ?5,又a ? ?3,所以a ? 5 。--------------17 分

2011 年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)
考试时间:2011 年 10 月 16 日 8:00—9:20 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上.
1.设集合 A ? {a1, a2 , a3 , a4} ,若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为

B ? {?1,3,5,8},则集合 A ?



2.函数 f (x) ? x2 ?1 的值域为



x ?1

3.设 a, b 为正实数, 1 ? 1 ? 2
ab

2 , (a ? b)2 ? 4(ab)3 ,则 loga b ?



4.如果 cos5 ? ? sin 5 ? ? 7(sin 3 ? ? cos3 ? ) ,? ?[0,2? ) ,那么? 的取值范围是



5.现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项

目,每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数



.(用数字作答)

6.在四面体 ABCD中,已知 ?ADB? ?BDC ? ?CDA? 60? , AD ? BD ? 3 , CD ? 2 ,则

四面体 ABCD的外接球的半径为



7 . 直 线 x ? 2y ?1 ? 0 与 抛 物 线 y2 ? 4x 交 于 A, B 两 点 , C 为 抛 物 线 上 的 一 点 ,

?ACB ? 90? ,则点 C 的坐标为



n

? ? 8 . 已 知

an

?

C

? n 3
200

6

2 0 0? n

? ???

?

1 2

????

(n ? 1,2,?,95)

, 则 数 列 {an} 中 整 数 项 的 个 数





二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
9.(本小题满分 16 分)设函数 f (x) ?| lg( x ?1) | ,实数 a, b(a ? b) 满足 f (a) ? f (? b ?1) ,
b?2
f (10a ? 6b ? 21) ? 4 lg 2 ,求 a, b 的值.

10 .( 本 小 题 满 分 20 分 ) 已 知 数 列 {an} 满 足 : a1 ? 2t ? 3 (t ? R 且 t ? ?1) ,

a n ?1

?

(2t n?1

? 3)an ? 2(t ?1)t n an ? 2t n ?1

?1

(n ?N *) .

(1)求数列 {a n } 的通项公式;

(2)若 t ? 0 ,试比较 an?1 与 an 的大小.

11.(本小题满分 20 分)作斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C :x2 ? y 2 ? 1

3

36 4

交于 A, B 两点(如图所示),且 P(3 2, 2) 在直线 l 的左上方.

(1)证明:△ PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上; (2)若 ?APB ? 60? ,求△ PAB 的面积.

y P

x

O

B

A

2011 年全国高中数学联合竞赛加试试题(A 卷)
10 月 16 日 9:40—12:10

二、(本题满分 40 分)证明:对任意整数 n ? 4 ,存在一个 n 次多项式

具有如下性质:

f (x) ? x n ? an?1 x n?1 ? ?? a1 x ? a0

(1) a0 , a1,?, an?1 均为正整数;

(2)对任意正整数 m ,及任意 k (k ? 2) 个互不相同的正整数 r1, r2 ,?, rk ,均有

f (m) ? f (r1 ) f (r2 )? f (rk ) .

三、(本题满分 50 分)设 a1, a2 ,?, an (n ? 4) 是给定的正实数,a1 ? a2 ? ?? an .对任

意正实数 r ,满足 a j ? ai
ak ? a j

?r

(1 ? i ?

j ? k ? n) 的三元数组 (i,

j, k) 的个数记为

f n (r) .

证明:

f n (r) ?

n2 4



四、(本题满分 50 分)设 A 是一个 3?9 的方格表,在每一个小方格内各填一个正
整数.称 A 中的一个 m?n (1 ? m ? 3, 1? n ? 9) 方格表为“好矩形”,若它的所有数的和为
10 的倍数.称 A 中的一个1?1 的小方格为“坏格”,若它不包含于任何一个“好矩形”.求 A 中“坏格”个数的最大值.

二O一一年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题

一.填空题(本题满分 56 分,每小题 7 分)

1.已知集合 A ?{x | (x ? 2)(x ? 6) ? 3, x ?Z,0 ? x ? 7} ,则 A 的非空子集的个数为

.

2.

若 f ? g(x)? ? sin 2x , g(x) ? tan x
2

? (0 ? x ? ? ) ,则 f ???

2 2

? ???

?

.

3. 若底边长为 2 的正四棱锥恰内切一半径为 1 的球,则此正四棱锥的体积是

.

2

4. 在平面直角坐标系中,已知点 A(1, 2) 和 B(4,1) . 圆 x2 ? y2 ? 25 上的动点 P(x, y) 与 A, B 形成

三角形,则三角形 ABP 的面积的最大值为

.

5.将正整数1, 2,3, 4,5, 6, 7 任意分成两组,使每组至少有一个数,则第一组数的和与第二组数的和

相等的概率是



? 6.

数列满足 a0

?

1 4

,及对于自然数

n



a n ?1

?

a

2 n

?

an

,则

2011 n?0

1 an ?

1

的整数部分是



7. 四次多项式 f (x) 的四个实根构成公差为 2 的等差数列,则 f ?(x) 的所有根中最大根与最小根

之差是

.

8.设[x] 表示不超过实数的最大整数,则在平面上,由满足[x]2 ? [ y]2 ? 50 的点所形成的图形的

面积是



二.解答题 (本题满分 64 分, 第 9、10 题每题 14 分,第 11、12 题每题 18 分)

9. 已知正项数列{an}满足:(1) a1 ? 2012 ;(2) a2 , a3 是整数;(3)数列{nan ? n2} 是公比不

大于 10 的等比数列. 求数列{an}的通项公式.

10. 已知 F1 、 F2 为双曲线 C: x2 ? y2 ? 1的左、右焦点,点 P 在 C 上, 若 ?PF1F2 的面积是 3 ,

求 ?F1PF2 .

11. 设 a1 , a2 ,…, an 为正数,且 a1 ? a2 ? ? an ? 1 ,求证:

(a1

?

1 a1

)2

?

(a2

?

1 a2

)

2?

? ? ?

(an

?

1 an

)

2?

n2 ?1 2 .
n

12.设 n ? 11是一正整数, 由不大于 n 的连续 10 个正整数的和组成集合 A ,由不大于 n 的连

续 11 个正整数的和组成集合 B 。若 A? B 的元素个数是 181,求 n 的最大值和最小值。

二O一一年全国高中数学联赛甘肃省预赛评分参考

一.填空题(本题满分 56 分,每小题 7 分)

42

1. 63 . 2.

.

3.

16
. 4.

1 (7 ? 5

10) .5

4 .6. 3 .7. 2 5 . 8. 12 .

9

92

63

二.解答题 (本题满分 64 分, 第 9、10 题每题 14 分,第 11、12 题每题 18 分)

9. 已知正项数列{an}满足:(1) a1 ? 2012 ;(2) a2 , a3 是整数;(3)数列{nan ? n2} 是公比不

大于 10 的等比数列. 求数列{an}的通项公式.



由条件(3)知 nan

?

n2

?

c ? qn?1 ,其中 c, q

?

0 ,于是 an

?

c ? qn?1 n

?n,n

?1, 2,

.

由条件(1)可得 c

?

2011,由此 an

?

2011qn?1 n

?

n

,n

?1, 2,

. ………………4 分

因为

a2

?

2011q 2

?

2

是整数,故

2011q 2

是整数,于是 q

只能是分数,不妨设

q

?

k m

,其中

k

与 m 互素. 注意到 2011是素数,故 m 的取值只能是1和 2011, k 只能为偶数.

……………8 分

同理,由 a3

?

2011( k )2 m
3

?

3

是整数,得知

2011?

k2 m2

3

是整数,于是 m

的取值只能是1且 k

是3

的倍数,从而 q ? k 是 6 的倍数. q 不大于 10, 所以 q ? 6 ,故数列{an} 的通项公式为

an

?

2011? 6n?1 n

?

n



n

?1, 2,

.

………………14 分

10. 已知 F1 、 F2 为双曲线 C: x2 ? y2 ? 1的左、右焦点,点 P 在 C 上, 若 ?PF1F2 的面积是 3 , 求 ?F1PF2 .

解 不妨设点 P (x0 , y0 ) 在双曲线的右支,由题设易得 F1F2 ? 2 2 . ………………2 分

注意到 S?PF1F2

?1 2

F1F2

?

y0

? 1?2 2

2 y0 ?

3 ,解得| y0 |?

6 ,……………4 分 2

又由 x2 ? y2 ? 1



x02

?

y02

? 1,解得

x02

? 1+y02 =1+

6 4

=

5 2

.

………………6 分

由双曲线的第二定义得 |

PF1

|?

e[ x0

?

(?

a2 c

)]

?

a

?

ex0

?1?

2x0 及

|

PF2

|?

e[ x0

?

a2 c

)]

?

ex0

?

a

?

2x0 ?1 . 再由余弦定理有

cos ?F1PF2

?

|

PF1

|2 ? | PF2 |2 ? | F1F2 2 | PF1 || PF2 |

|2



于是

2

2

2

? ? ? ? ? ? ? ? 1+ 2x0 ? 2x0 ?1 ? 2 2
cos ?F1PF2 =
? ?? ? ? ? 2 1+ 2x0 2x0 ?1

? 2 2x02 ?1 ? 8 2 2x02 ?1

?

2

? ??

2

?

5 2

2

? ??

2?

?1??? ? 8

5 2

?

1???

?

2??5 ?1? ? 2??5 ?1?

8

?

2?6 8

?

8

?

1 2

.

………………9 分

由此得 ?F1PF2 =600 .

………………14 分

11. 设 a1 , a2 ,…, an 为正数,且 a1 ? a2 ? ? an ? 1 ,求证:

? ? (a1

?

1 a1

)2

?

(a2

?

1 a2

)

2?

1 ? (an ? an )

2?

n2 ?1 2

n

证明 因 a1 , a2 ,…, an 为正数,由 Cauchy 不等式得

(a1

? a2

???

1 an )(a1

?

1 a2

???

1 an

)

?

(

a1 ?

1? a1

a2 ?

1 ??? a2

an ?

1 )2 an

即 (a1

?

a2

?

?

?

an

)(

1 a1

?

1 a2

???

1 an

)

?

n2 .

………………6 分

又 a1

? a2

??? an

? 1,所以 1 a1

?

1 a2

???

1 an

? n2 .

………………9 分

对 a1

?

1 a1

, a2

?

1 a2

,…, an

?

1 an

和实数1,1,
n

,1,由 Cauchy 不等式得

([ a1

?

1 )2 a1

?(a2

?

1 a2

)2

?

?

(an

?

1 an

)2(] 12

?12 ?
n

12)?

([ a1

?

1 )?1 a1

?(a2

?

1 )?1? a2

?(an

?

1 an

)?1]2

即([ a1

?

1 )2 a1

?(a2

?

1 a2

)2

?

?

(an

?

1 an

)2 ]n

?

(a1

?

1 a1

?

a2

?

1 a2

?

?

an

?

1 an

)2

,

………………12 分

即([ a1

?

1 a1

)2

?(a2

?

1 a2

)2

?

?

(an

?

1 an

)2

]n

?

(n2

? 1)2

,………………15



所以

(a1

?

1 a1

)2

?

(a2

?

1 a2

)2

?

? ? ?

(an

?

1 an

)2

?

n2 ?1 2

n

………………18 分

12.设 n ? 11是一正整数, 由不大于 n 的连续 10 个正整数的和组成集合 A ,由不大于 n 的连 续 11 个正整数的和组成集合 B 。若 A? B 的元素个数是 181,求 n 的最大值和最小值。

解:显然 A ? {55 ?10k | 0 ? k ? n ?10, k ? Z} , B ? {66 ?11l | 0 ? l ? n ?11,l ? Z} ,

为求 A? B 的元素个数,令 55 ?10k ? 66 ?11l ,则10k ? (l ?1)11。

………………6 分 ………………9 分

再令 k ?11m ,则得 l ?10m ?1.因为 0 ? k ? n ?10 ,m 可取值 0,1, 2, ,[ n ?10] ,此时 l 的相 11

应取值为 ?1,9,19, ,10[ n ?10] ?1。 11
注意到

………………12 分

10[n ?10] ?1 ? 10 ? n ?10 ?1 ? n ?11

11

11

符合 l 的取值范围,舍去不合乎要求的值 ?1,则知集合 A? B 的元素个数为[ n ?10] 。令 11

181 ? [ n ?10] , 则 181 ? n ?10 ? 182

11

11

……………15 分

即 2001? n ? 2012 ,于是 n 的最大值和最小值分别为 2011 和 2001. ……………18 分

2011 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷 2011.5.22 第一试
一﹑填空题(每小题 8 分,共 80 分)

1.已知集合 M={2,0,11},若 A? M ,且 A 的元素中至少含有一个偶数,则满足条件的集 ?

合 A 的个数为 5 .

2. 设

a、b

都是正实数,

A? a?b,B? 2

2 1?1

.若

A+B=a-b, 则

a/b

的值是

ab

3?2 3

.

3.满足 1? sin? ? cos? ? 1? sin? ? cos? ? 2 的最大负角? 的弧度数为 - ?

.

1? sin? ? cos? 1? sin? ? cos?

2

4.设斜率为

2

2

的直线 l 与椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 交于不同的两点

P、Q,若点

P、Q

在轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率是 2 2 .

5.如图所示的数阵中,每行的三个数依次成等差数列,每列的三个数也依次成等差数

? a11a12a13 ?

列.

? ?

a21a22 a23

? ?

?? a31a32a33 ??

若 a22 ? 2 ,则所有这 9 个数的和等于 18 .

6.如图,矩形 OABC 的四个顶点的坐标依次为(0,0)、( 2? ,0)、

( 2? ,2)、(0,2),记 BC 边与函数 y ?1? cos x(0 ? x ? 2? ) 的图像 C

B

围成的区域(图中阴影部分)为 ? .若向矩形 OABC 内任意投一

?

点 M,则点 M 落在区域内 ? 的概率是 1/2 .

O

A

7.设函数

f

(x)

?

? ??

1 p

(

x

?

q ), p

? ?0( x

?

q ),

其中

p、q

互质(素),且

p

?

2 .则满足

x ?[0,1] ,且

f

(x)

?

1 5

O

??

p

的 x 值的个数是 5 .

8.已知 p、q 都是质数,且 7p+q 和 2q+11 也都是质数.则 pq ? q p 的值是 17 .

9.在侧棱长和底面边长都为 4 的正四棱锥 P-ABCD 的表面上与顶点 P 的距离为 3 的动

点所形成的所有曲线段的长度之和为 6? .

10.现代社会对破译密码的要求越来越高.在密码学中,直接可以看到的内容为明码, 对 明 码 进 行 某 种 处 理 后 得 到 的 内 容 为 密 码 . 有 一 种 密 码 将 英 文 的 26 个 字 母 a,b,c, …,z(不论大小写)依次对应 1,2,3,…,26 这 26 个自然数,见下表: abcdefghij k l m n o p q r s t u v w x y z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
给出明码对应的序号 x 和密码对应的序号 y 的变换公式:

y

?

? ?? ? ? ??

x
x 2

?1, x为奇数,且1 ? x ? 26 2 ?13, x为偶数,且1 ? x ? 26

.利用它可将明码转换成密码,如

5

?

5? 2

1

?

3

,即

e

变成了 c, 8 ? 8 ?13 ? 17 ,即 h 变成了 q. 2
按上述公式,若将某明码译成的密码是 shxc,那么,原来的明码是 love .

第二试

二﹑解答题:

1.(本题满分 20 分)

设函数 f ( x) ? cosx cos(x?? )?1 co?s x, ? R , 0?? ?? .已知当 x ? ? 时, f (x) 取得的

2

3

最大值.

1) 求? 的值;( 2? ) 3

2) 设 g(x) ? f ( 3 x) ,求函数 g(x) 在[0, ? ]上的最小值.( [? 1 , 1] )

2

3

42

2.设 P 为直线 y ? x ? 2 上的动点,过点 P 作抛物线 y ? 1 x2 的切线,切点分别为 A,B. 2
1)求证:直线 AB 过定点;(1,2)
2)求 ?PAB 面积 S 的最小值,以及取得最小值时 P 点的坐标.

3.如图,在圆内接四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 E,且 ?ABD ? 60 ,AE=AD.延 长 AB﹑DC 交于点 F,求证:点 B 为 ?CEF 的外心.
D

C E

A

F

B

4.如图 4,M 为 ?ABC 的中线 AD 的中点,过点 M 的直线分别交两边 AB﹑AC 于点 P﹑Q,

设 AP ? x AB, AQ ? y AC ,记 y ? f (x) .

1)求函数 y ? f (x) 的表达式;( y ? x (0 ? x ? 1) ) 4x ?1

2) 设

g(x) ? x3 ? 3a2x ? 2a, x ?[0,1]

.若对任意

x1

?[1 3

, 1 ], 总 存 在

x2 ?[0,1]

,使得

f (x1) ? g(x2 ) 成立,求实数 a 的取值范围.

A

P B

Q M
C

5.设正整数 n ? 4 ,求证: 0 ? (?1)[ 4] ? (?1)[ 5] ? ??? ? (?1)[ n] ? 1 其中,[ x ]表示不超过

4

5

n

实数 x 的最大整数.

2011 年全国高中数学联赛山东省预赛试题

一、选择题(每小题 6 分,共 60 分)
1.已知集合
M ? {x |?(x ?1)(x ? 3)(x ? 5) ? 0,?x ? R?},??? N ? {x |?(x ? 2)(x ? 4)(x ? 6) ? 0,?x ? R }.???

M N ?( ) .

(A) (2, 3)

(B) (3,?4)

(C) (4, 5)

(D) (5,?6)

2.已知 z ? ( 3 ? 3i)n , 若 z 为实数,则最小的正整数 n 的值为( ) .

(A) 3

(B) 4

(C) 5

3.已知 p:a,b, c, d 成等比数列,q: ad ? bc , 则 p 是 q 的(

(D) 6
).

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(C) 充分且必要条件

(D) 既不充分也不必要条件

4.函数 f (x) ? log0.3 (x2 ? x ? 2) 的单调递增区间是( ) .

(A) (??, ?2)

(B) (??,1)

(C) (-2,1)

(D) (1,?? ?)

5.已知 x, y 均为正实数,则 x ? y 的最大值为( ) . 2x ? y x ? 2y

(A) 2

(B) 2 3

(C) 4

(D) 4 3

6.直线

y=5 与

y

?

?1 在区间

???0,

4? ?

? ??

上截曲线

y

?

m sin

? 2

x

?

n

(m ? 0, n ? 0) 所得的弦

长相等且不为零,则下列描述正确的是( ) .
(A) m ? 3 , n= 5 (B) m ? 3, n ? 2 22
(C) m ? 3 , n= 5 (D) m ? 3, n ? 2 22
7.有 6 名同学咨询成绩.老师说:甲不是 6 人中成绩最好的,乙不是 6 人中成绩最差的, 而且 6 人的成绩各不相同.那么他们 6 人的成绩不同的可能排序共有 ( ) .

(A) 120 种

(B) 216 种

(C) 384 种

(D) 504 种

8.若点 P 在曲线 y ? ?x2 ?1上,点 Q 在曲线 x ? 1? y2 上,则 PQ 的最小值是( ) .

(A) 3 2

(B) 3 2 2

(C) 3 2 4

(D) 3 2 8

9.已知函数

f

(x)

?

(

a

1 x?

1

?

1)x2 2

? bx

?

6

( a, b 为常数,a ?1),且 f (lglog 10800)

8?



则 f (lg lg 2) 的值是( ) .

(A) 8

(B) 4

(C) ?4

(D) ?8

? ? 10.在等差数列

an

中,若 a11 a10

?

?1 ,且它的前 n 项和 Sn 有最大值,那么当 Sn 取最小正值

时, n ? ( ).
(A) 1

(B) 10

(C) 19

(D) 20

二、填空题(每小题 6 分,共 24 分)

11.已知 f (x) ? cos 2x ? p | cos x | ? p ,x ? R .记 f (x) 的最大值为 h( p) ,则 h( p) 的

表达式为

.

12.已知 sin(x ? sin x) ? cos(x ? cos x) , x??0,? ?, 则 x ?

.

13.设 A, B 为抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 上相异两点,则 OA ? OB 2 ? AB 2 的最小值为

___________________.
14 . 已 知 ?ABC 中 , G 是 重 心 , 三 内 角 A, B,C 的 对 边 分 别 为 a,b, c , 且

5 6a G A? 4 0b G?B 3 5 c G?0C,则 ?B =__________.
三、解答题(本大题共 5 题,共 66 分) 15.(12 分)不等式

sin 2? ? (2

2?

2a)

sin(?

?

? 4

)

?

2 cos(?

2 ?

?

)

?

?3

?

2a

4

对?

?

???0,

? 2

? ??

恒成立.求实数

a

的取值范围.

16. (12 分)已知在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, O, E, F, G 分

D1 F

A1

别为 BD, BB1, A1D1, D1C1 的中点,且 AB ?1. 求四面体 OEFG 的体积.

D

G

C1

B1

E C

O

A

B

17. (12 分) 在平面直角坐标系中, 已知圆 C1 与圆 C2 相交于点 P ,

Q,

点 P 的坐标为 ?3, 2? ,

两圆半径的乘积为

13 2

.若圆

C1



C2

均与直线

l

:

y ? kx 及 x 轴相

切,求直线 l 的方程.

18. (15 分)甲乙两人进行某种游戏比赛,规定每一次胜者得 1 分,负者得 0 分;当其中一 人的得分比另一人的多 2 分时即赢得这场游戏,比赛随之结束;同时规定比赛次数最多不超过 20
次,即经 20 次比赛,得分多者赢得这场游戏,得分相等为和局.已知每次比赛甲获胜的概率为 p ( 0 ? p ? 1),乙获胜的概率为 q ? 1? p .假定各次比赛的结果是相互独立的,比赛经? 次结束, 求? 的期望 E? 的变化范围.
19. (15 分) 集合 M ? {1, 2, , 2011}, 若 M 满足:其任意三个元素 a,?b,?c ,均满足 ab ? c , 则称 M 具有性质 P ,为方便起见,简记 M ? P .具有性质 P 的所含元素最多的集合称为最大集.试 问具有性质 P 的最大集共有多少个?并给出证明.
解答

1.B. 提示: M ? (??,1) (3,5) , N ? (2, 4) (6, ??) .所以 M N ? (3, 4) .

2.A. 提示:z ? ( 3 ? 3i)n ? (?2 3)n (? 1 ? 3 i)n ,n ? 3 是使 z 为实数的最小的正整数. 22
3.A. 提示:充分性显然成立,必要性不成立.例: a ? 1,?b ? 2,?c ? 5,?d ? 10 .

4.A. 提示:由对数函数的性质知,x2 ? x ? 2 ? 0 ,则 x ?1 或 x ? ?2 .当 x ? ?2 时, f (x) 为增函数;当 x ?1时, f (x) 为减函数.
5.B. 解法一 令 s ? 2x ? y, t ? x ? 2y ,则

x ? 1 (2s ? t), y ? 1 (2t ? s).

3

3

所以

x ? y ? 4 ?1(t ? s)? 2 . 2x ? y x ? 2y 3 3 s t 3

解法二 令 t ? y , 则 t ?(0, ? ?) , 此时 x x ? y ? 1 ? t ? f (t) , 2x ? y x ? 2 y t ? 2 2t ?1

即有

f '(t) ? ? 3(t2 ?1) . (t ? 2)2 (2t ?1)2

显然当 t ? 1时, f ' (t) ? 0 ;当 t ? 1时, f ' (t) ? 0 ,所以函数 f (t) 在 t ? 1, 即 x ? y 时取得

最大值 f (1) ? 2 . 3

6.D.

提示:函数 y1

?

m

sin

?x 2



x

?

??0, ?

4? ?

? ??

的图象只有被

y

?

a



?

y

?

?a,?0

?

a

?

m



样的两直线所截,截得的弦长才能相等,且不为零.所以截取函数

y ? msin ?x ? n, 2

x

?

??? 0,

4? ?

? ??

的 图 象 所 得 弦 长 相 等 且 不 为 零 的 两 直 线 应 为 y ? n ? a,?y ? n ? a,? 0 ? a ? m , 即 有

n ? a ?5 , ? ?n ?a ?.1?解得? n ? 2 , a ? 3.进而 m ? 3 . 7.D. 解法一 以 A 记甲成绩排名第一的所有可能的排序之集, 以 B 记乙成绩排名为最后
的所有可能的排序之集,则 A ? B ? 5!, A B ? 4!.
甲排名第一或乙排名最后的所有可能的排序数为

A B ? A ? B ? A B ? 216.

按照老师所述,这6位同学成绩可能的排序数为 6!? 216 ? 504 .
解法二 以乙的成绩不在最后为前提,考虑甲的成绩不在第一的所有可能排序.
(1)甲的成绩排在最后的所有可能的排序数为 A55 ? 120 ;

(2)甲的成绩不在最后,又不在第一的所有可能排序数为 C41 ?C41 ? A44 ? 384 . 所以甲不在首,乙不在尾的所有可能排序数为120 ? 384 ? 504 .

y

8.C. 提示: 两抛物线 y ? ?x2 ?1, x ? 1? y2 关于直线 y ? ?x 对

x

称.所求 PQ 的最小值为抛物线 y ? ?x2 ?1上的点到直线 y ? ?x 距离的

o

最小值的两倍.设 P(x, ?x2 ?1) 为 y ? ?x2 ?1上任意点, 则

d

?

|

x

?

x2

?1|

?

x2

?

x ?1
,

2

2

d min

?

32 8

,

PQ

min

?

32 4



9.B. 提示:由已知可得

f (lg log8 1000) ?

f (lg 3 ) ? 3lg 2

f (? lg lg 2) ? 8.



a

?

1 x?

1

?

1 2

?

1

a ?

x
a

x

?

1 2

?

?1

?

1

1 ?a

x

?

1 2

?

?

a

1 x?

1

?

1. 2

令 F(x) ? f (x) ? 6 ,则有 F(?x) ? ?F(x).从而有

f (?lg lg 2) ? F(-lg lg 2) ? 6 ? -F(lg lg 2) ? 6=8.
即知
F(lg lg 2) ? ?2, f (lg lg 2) ? F(lg lg 2) ? 6 ? 4.

10.C.

提示:设该等差数列的公差为 d .显然

d

? 0 .由 a11 a10

?

?1 ,知 a10

? 0, a11

? 0,



a11 ? a10 ? 0.因此

S20

?

a1

? a20 2

? 20

? 10(a10

?

a11 )

?

0,

S19

?

a1

? a19 2

?19

?

19a10

?

0.

由 a11 ? a10 ? 0, 知 2a1 ?19d ? 0 .从而有

所以 n ?19 .

S19

?

S1

?

19a1

?

19 ?18 2

d

?

a1

? 18a1 ? 9?19d ? 9(2a1 ?19d) ? 0.

11.h(

p)

?

? p ?1, ??2 p ?1,

p ? ?2, p ? ?2.提示:cos

2x

?

2

cos2

x

?1

,

令 cos x ? u ,则

0?u ?1



f (x) ? 2u2 ? pu ? p ?1 ? F (u) .

抛物线 y ? F(u) 顶点的横坐标为 ? p ,所以 4

h(

p)

?

? ?? ?

F

(1),

? ??

F

(0),

? p ? 1, 42
? p ? 1. 42



h(

p)

?

? p ?1, ??2 p ?1,

p ? ?2, p ? ?2.

12. ? .提示:原方程等价于: 4 cos(? ? x ? sin x) ? cos(x ? cos x).. 2

所以 或 由(1)得:

x ? cos x ? 2k? ? ? ? x ? sin x, k ? z,

(1)

2

x ? cos x ? 2k? ? (? ? x ? sin x),k ? z,

(2)

2

2x ? sin x ? cos x ? 2k? ? ? , 2

且函数 f (x) ? 2x ? sin x ? cos x 在 ?0,? ?上为增函数.所以

?1 ?

f (0) ? 2k?

?
?

?

f (? ) ? 2? ? 1.

2

由此得 k ? 0 .所以 2x ? sin x ? cos x ? ? . 2

令 g(x) ? 2x ? sin x ? cos x ? ? ,易知 g(x) 在 ?0,? ?上单调递增,且当 x ? ? 时,g(x) ? 0 ;

2

4

当 x ? ? 时, g(x) ? 0 ,因此当且仅当 x ? ? 时, g(x) ? 0 .

4

4

由(2)得: sin x ? cos x ? ? ? 2k? .因为 1 ? ? ? 2k? ? 2 ,故 k 无整数解,即此方程

2

2

无解.

综上所述, 原方程的解为 x ? ? . 4

13. ?4 p2 . 解法一 设 A(xA, yA ), B(xB , yB ) ,则

OA ? OB 2 ? (xA ? xB )2 ? ( yA ? yB )2,

AB 2 ? (xA ? xB )2 ? ( yA ? yB )2,

OA ? OB

2

?

2
AB

?

4(xA ? xB

?

yA ? yB ).

设直线 AB 和 x 轴交于点 P(a, 0) .若直线 AB 的斜率存在,设为 m ,则直线 AB 的方程为

y ? m(x ? a) ,将其代入抛物线方程得
? ? m2x2 ? 2 am2 ? p x ? m2a2 ? 0 .

由二元一次方程根与系数的关系得 xAxB ? a2 , 由此得

yA yB ? m2 (xA ? a)(xB ? a) ? ?2ap .

所以

2
OA ? OB

?

2
AB

?

4(xA ? xB

?

yA ? yB )

?

4[(a ?

p)2

?

p2 ] ? ?4 p2 .

当直线 AB 的斜率不存在时,有 xA ? xB ? a, yA ? ?yB ? 2ap .所以仍有

2
OA ? OB

?

2
AB

?

4(xA ? xB

?

yA ? yB )

?

4[(a ?

p)2

?

p2] ?

?4 p2 .

2

2

显然,当且仅当 a ? p 时,即直线 AB 的斜率不存在时等号成立, OA ? OB ? AB 有最

小值 ?4 p2 .

解法二



A(

y

2 A

2p

,

yA

),

B(

yB2 2p

,

yB

)

,则

OA

?

OB

2

?

(

yA2 ? yB2 2p

)2

?

( yA

?

yB

)2,

AB

2

?

(

yA2 ? yB2 2p

)2

?

( yA

?

yB )2.

所以

2

2

OA ? OB ? AB

?

4(

yA2 4

? yB2 p2

?

yA ?

yB )



? 4[( yA ? yB ? p)2 ? p2 ] 2p

? ?4 p2

当 yA yB ? ?2 p2 时,

2
OA ? OB

?

AB 2 取最小值 ?4 p2 .

14. 60 . 提示:因为 GA ? GB ? GC ? 0 ,所以

40bGA ? 40bGB ? 40bGC ? 0 .
所以

(56aGA ? 40b)?GA ? (35c ? 40b)?GC ? 0 .

因为 GA,?GC 不共线,所以有

7a ? 5b ? 0,??7c ? 8b ? 0 .

设 a ? 5k,? 则 b ? 7k,??c ? 8k ,由余弦定理可得

cos B ? 25k 2 ? 64k 2 ? 49k 2 ? 1 .

2? 5k ?8k

2

所以 ?B ? 60 .

15.设 x ? sin? ? cos? ,则有

sin 2? ? x2 ?1, sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ?

4

4

2 2

x



x

?

??1,

2 ?? .

原不等式化为:

x2 ?1? (2 2 ? 2a) 2 x ? 2 2 ? ?3 ? 2a .

2

2x

2

即 整理得

x2 ?1? (2 ? a)x ? 4 ? 3 ? 2a ? 0 , x

(2 ? x)a ? 2x ? x2 ? 4 ? 2x ? x(2 ? x) ? 2? 2 ? x.

x

x

因为

x ? ??1,

2

??



2

?

x

?

0

,即得

a

?

x

?

2 x



令 f (x) ? x ? 2 , x

则函数 f (x) 在 x ? ??1, 2 ?? 上单调递减,所以 f (x) 在 x ? ??1, 2 ?? 上的

最大值为 f (1) ? 3 .即知 a 的取值范围为 a ? 3.

16. 连结 B1D1 交 FG 于 H ,连结 A1C1 ,则 BD1 1 ?AC1 1 .因为 F, G

D1

G

C1

分别为 A1D1, D1C1的中点,所以 FG??A1C1 ,因此 FG ? B1D1 .又因为

F A1

H

B1

BB1 ? 面 A1B1C1D1 , FG 在平面 A1B1C1D1 内,所以 BB1 ? FG .

由此得 FG ? 面 BB1D1D .因为 FH ? GH ,所以

VO?EFG

? VF ?OEH

? VG?OEH

? 2VF ?OEH

?

2 3 SOEH

? FH

.

D O
A

E C
B

在梯形 OBB1H 中

52 S?OEH ? S梯形OBB1H ? S?EB1H ? S?OBE ? 8 ?

2?3 2 ?5 2 . 8 16 16

因此四面体 OEFG 的体积为

VO ? EFG

?

2? 1 ? 3

52 16

?

2? 5 . 4 48

17. 由题意知, O, C1, C2 共线. 设圆 C1 与圆 C2 的半径分别为 r1, r2 ,直线 C1C2 的斜率为

tan? ? 0 .令 m ? cot? ,则圆 C1 与圆 C2 的圆心分别为 C1(mr1, r1) ,C2 (mr2 , r2 ) , 两圆的方程分
别为
(x ? mr1)2 ? ( y ? r1)2 ? r12, (x ? mr2 )2 ? ( y ? r2 )2 ? r22.

点 P(3, 2) 是两圆的公共点,所以

y

(3 ? mr1)2 ? (2 ? r1)2 ? r12, (3 ? mr2 )2 ? (2 ? r2 )2 ? r22.
由此可知 r1, r2 是方程

C2
C1 x
O

m2r2 ? (6m ? 4)r ?13 ? 0

的两个根,即有

r1r2

?

13 m2

,

m

?

2 .从而知直线 l 的方程为

y

?

tan

2?

?

x

?

2 tan? 1? tan2 ?

x

?

2

2x .

18. 以 p(? ? k) 记比赛经 k 次结束的概率.若 k 为奇数,则甲乙得分之差亦为奇数, 因而

有 p(? ? k) ? 0 .
考虑头两次比赛的结果:
(1)甲连胜或乙连胜两次,称为有胜负的两次,此结果出现的概率为 p2 ? q2 ;

(2)甲乙各胜一次,称为无胜负的两次,此结果有两种情况,故出现的概率为 2 pq .

比赛经 k 次结束,k 必为偶数,则 1,2 两次,3,4 两次,……,k ? 3,?k ? 2 两次均未分胜负.

若 k ? 20 ,则第 k ?1,?k 两为有胜负的两次,从而有

p(?

?

k)

?

(2

pq)

k 2

?1

(

p

2

?

q2)



若 k ? 20 ,比赛必须结束, 所以 p(? ? 20) ? (2 pq)9 .
综上所述
9
? E? ? ( p2 ? q2 ) 2i(2 pq)i?1 ? 20(2 pq)9. i ?1

由 p ? q ? 1,知 p2 ? q2 ? 1? 2 pq .令 u ? 2 pq ,则 p2 ? q2 ? 1? u ,所以

9
? E? ? (1? u) 2iui?1 ? 20u9 . i ?1

9
? 令 s ? 2iui?1, 则 i ?1

9

10

10

? ? ? us ? 2iui ? 2(i ?1)ui?1 ? 2(i ?1)ui?1,

i ?1

i?2

i ?1

? (1? u)s ? 9 2ui?1 ?18u9 ? 2(1? u9 ) ?18u9 ,

i ?1

1?u

E? ? (1? u)s ? 20u9

? 2 [1? u9 ? 9u9 (1? u) ?10u9 (1? u)] 1?u

? 2(1? u10 ). 1?u

因 0 ? u ? 1 ,所以有 2 ? E? ? 4 ? (1)8 .

2

2

19. 令 A ? {2,?3,? , 44}, B ? {45,?46,? ,?2011} {1} . 对任一 M ? P ,令

显然,集合 B ? P.

M A ? M A,???M B ? M B.?

设最大集元素的个数为 n0 ,则 n0 ?| B |? 1968.

若 M ? P ,设 M B 中除1之外的最小元为 45 ? p , 0 ? p ? 42 . 集合 A 中与 45+p 的乘积大于 2011的元素个数记为 q ,则

? 2011 ?

2011

q ? 44 ? ?? 45 ? p ?? ? 45 ? 45 ? p .

结论 1 当 p ? 4 时,有 q ? p .

2011

事实上,若有 p ? q ? 45 ?

,即

45 ? p

45 p ? p2 ? 45(45 ? p) ? 2011,

则可解得 p ? 3 .

不难验证,当 0 ? p ? 3 时,均有 p ? q .令

这里

MA

?

M

1 A

M

2 A

,且

M

1 A

M

2 A

??



? ? M

1 A

?

k k ? 44 ? q, k ? M A



? ? M

2 A

?

k k ? 44 ? q, k ? M A



? ? 设

M

1 A

?

a1, a2 ,

, at ? ,且 a1 ? a2 ?

? at .

结论 2 若 M ? P 是最大集,则 p ? 3 .

事 实 上 , 否 则 的 话 , p ? 4 , 由 结 论 1 , 知 q ? p , 因 为 ai ( 4 5? p )? 2 0 1,1 所 以

ai (45 ? p) ? M B? (i ? 1,?2,? ,t) .因此

? ? ?45 ? p? ? a1,? 45 ? p? a2 ,? ??45 ? p? at M B ? ? .

容易求得:

M

1 A

? t,

M

2 A

? q , MB

? (1968 ?

p) ? t .

所以

M

?

M

1 A

?

M

2 A

? MB

? t ? q ? (1968 ? p) ? t ? 1968 ? n0 ,

这与 M 为最大集矛盾.

结论 3



M

?

P

是最大集,则

M

1 A

? t ? 1 .假定 t ? 2 .

(1) 当 p ? q ? 0 时, 由结论 2 的证明可知

? ? 45a1,?45a2 , , 45at M B ? ? .
因为
45at ? 46at?1 ? 45(at ? at?1) ? at?1 ? 45 ? at?1 ? 0 ,

45at?1 ? 46at?1 ? 45at ? 2011. 由此知 46 和 46at?1中至少有一个不属于 M B ,所以

M ? t ?1968 ? (t ? 1) ? 1967 ? n0 ;

(2)当1 ?

p

?

q

? 3时,



M

2 A

? ? ,同理可得

M ? t ? (1968 ? p) ? t ? 1967 ? n0;

若有

b

?

M

2 A

,则

44

?

q

?

b

?

44



则必有

a1b ? 45 ? p ,所以

a1b ? M B ,同理可得

M ? t ? q ? (1968 ? p) ? (t ? 1) ? 1967 ? n0 .

综合(1),(2),以及结论 2 知, t ? 1.

结论 4 若 M ? P 是最大集,则 M A ? 1 .

事实上, 若 M A

? 1,任取其中两个数 a,?b ,由结论

3

知,

其中必有一数,

设为

b

?

M

2 A



从而 ab ? MB , a(45 ? p) ? MB ,则

M ? 1 ? q ? (1968 ? p) ? 2 ? 1967 ? n0 .

所以 M A ? 1.由此可知,若 M ? P 是最大集,只有下述三种可能: (1) M A ? ?,?M B ? B
? ? ? ? (2) M A ? 44 ,?M B ? B \ 45 ? ? ? ? (3) M A ? 44 ,?M B ? B \ 44 ? 45
注:1. A ? cardA;

2. A \ B ? ?x x ?A且x ? B?.

2011 年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答

一、填空题(共 8 题,每题 10 分,计 80 分)

1、2011是这样的一个四位数,它的各位数字之和为 4 ;像这样各位数字之和为 4 的四位数

总共有

个.

答案: 20 .

解:这种四位数 x1x2x3x4 的个数,就是不定方程 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 4 满足条件 x1 ? 1 ,

x2 , x3, x4 ? 0 的整解的个数;即 y1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 3 的非负整解个数,其中 y1 ? x1 ?1 ,易知这

种解有

C 4?1 3? 4 ?1

?

C63

?

20

个,即总共有 20

个这样的四位数.

? ? 2、设数列 an 满足: a1 ? 1, a2 ? 2 ,且对于其中任意三个连续项 an?1, an , an?1 ,都有:

an

?

(n ?1)an?1 ? (n 2n

? 1)an?1

.则通项 an

?

.答案: 3 ? 2 . n

解:由条件得, 2nan ? (n ?1)an?1 ? (n ?1)an?1 ,所以,

(n ?1)(an?1

? an )

?

(n ?1)(an

? an?1) ,故

an?1 ? an an ? an?1

?

n n

? ?

1 1

,而

a2

? a1

?1;

an?1

?

an

?

an?1 ? an an ? an?1

?

an ? an?1 an?1 ? an?2

?

?

a3 a2

? a2 ? a1

? (a2

?

a1 )

?

n n

?1? ?1

n

? n

2

?

n?3 n ?1

?

? 1 ?1 3

?

2 n(n ?1)

;于是

an

?

an?1

?

2 n(n ?1)

?

2( 1 n ?1

?

1) n



由此得, an ? (an ? an?1) ? (an?1 ? an?2 ) ?

?

(a2

?

a1)

?

a1

?

2(1?

1 n

)

?

1

?

3

?

2 n

.

3 、以抛物线 y ? x2 上的一点 M ?1,1? 为直角顶点,作抛物线的两个内接直角三角形 ?MAB 与

?MCD ,则线段 AB 与 CD 的交点 E 的坐标为

.答案: (?1, 2) .

解:设

A( x1 ,

x12 ), B(x2 ,

x22 ) ,则 kMA

?

x12 x1

?1 ?1

?

x1

?1,

kMB

?

x22 x2

?1 ?1

?

x2

?1,

kAB

?

x12 ? x22 x1 ? x2

?

x1

? x2 ,直线

AB 方程为

y?

x12

? (x1

?

x2 )(x ?

x1 )

,即

y ? (x1 ? x2 )x ? x1x2 ,因为 MA ? MB ,则 (x1 ?1)(x2 ?1) ? ?1 ,即 ?x1x2 ? 2 ? (x1 ? x2 ) ,

代人方程得 y ? 2 ? (x1 ? x2 )(x ?1) ,于是点 (?1, 2) 在直线 AB 上;

同理,若设 C(x3, x32 ), D(x4 , x42 ) ,则 CD 方程为 y ? 2 ? (x3 ? x4 )(x ?1) ,即点 (?1, 2) 也在直线

CD 上,因此交点 E 的坐标为 E(?1, 2) .

4、设 x, y, z ? R?, x ? y ? z ? 1 ,则函数 f (x, y, z) ? xy2z3 的最大值是



答案: 1 . 432

解:由1 ? x ? y ? z ? x ? y ? y ? z ? z ? z ? 66 x ? y ? y ? z ? z ? z ,所以,

2 2333

2 2333

1 4? 27

xy2 z3

?

? ??

1 6

6
? ??

,即 xy2 z3

?

1 24 ? 33

?

1 432

,当 x

?

y 2

?

z 3

?

1 6

,即

x ? 1 , y ? 1 , z ? 1 时取得等号. 6 32 5、 sin 6? sin 42? sin 66? sin 78? ?

.答案: 1 . 16

解:

sin

6?

cos

48?

cos

24?

cos12?

?

cos

6?

sin

6?

cos 48? cos 24? cos 6?

cos12?

?

sin12? cos12? cos 24? cos 48? 2 cos 6?

?

sin 24? cos 24? cos 48? 4 cos 6?

?

sin 48? cos 48? 8cos 6?

?

sin 96? 16 cos 6?

?1 16



6、满足 x2 ? 7 y2 ? 2011的一组正整数 (x, y) ?

.答案: (38,9) .

解:由于 2011是 4N ? 3 形状的数,所以 y 必为奇数,而 x 为偶数, 设 x ? 2m ,

y ? 2n ?1,代人得 4m2 ? 28n(n ?1) ? 2004 ,即 m2 ? 7n(n ?1) ? 501 ……①.

而 n(n ?1) 为偶数,则 m2 为奇数,设 m ? 2k ?1,则 m2 ? 4k(k ?1) ?1 ,

由①得, k(k ?1) ? 7 ? n(n ?1) ? 125 ……②,则 n(n ?1) 为奇数,且 n, n ?1中恰有一个是 4 的

4

4

倍数,当 n ? 4r ,为使 7 ? n(n ?1) ? 7r(4r ?1) 为奇数,且 7r(4r ?1) ? 125 ,只有 4

r ?1,②成为 k(k ?1) ? 35 ? 125 ,即 k(k ?1) ? 90 ,于是 n ? 4, k ? 9, x ? 38, y ? 9 ;

若 n ?1 ? 4r ,为使 7 ? n(n ?1) ? 7r(4r ?1) 为奇数,且 7r(4r ?1) ?125 ,只有 r ?1, 4
②成为 k(k ?1) ? 21 ? 125 ,即 k(k ?1) ? 104 ,它无整解;

于是 (x, y) ? (38,9) 是唯一解: 382 ? 7 ?92 ? 2011 .

(另外,也可由 x 为偶数出发,使 2011? x2 ? 2009 ? (x2 ? 2) ? 7 ? 287 ? (x2 ? 2) 为 7 的倍数,

那么 x2 ? 2 是 7 的倍数,故 x 是 7k ? 3形状的偶数,依次取 k ? 1,3,5 ,检验相应的六个数即可.)

7、正三棱锥 D ? ABC 的底面边长为 4 ,侧棱长为 8 ,过点 A 作与侧棱 DB, DC 都相交的截面

?AEF ,那么, ?AEF 周长的最小值是

.答案:11.

解 1:作三棱锥侧面展开图,当 A, E, F , A1 共

D

线且 EF ∥ BC 时, ?AEF 周长最小,于是

F

等腰 ?DEF ?AEB, AE ? AB ? 4 , BE ? AB ? 1 ,即 BE ? 2, DE ? 6 , AB DA 2 EF ? DE ? 6 ? 3 ,所以 EF ? 3, BC DB 8 4

E

C

A

B

D

A1

F

E

C

A

B

由 A1F ? AE ? 4 ,则 AA1 ? AE ? EF ? FA1 ? 11.

解 2:作三棱锥侧面展开图,易知当 A, E, F , A1 共线时, ?AEF 周长最小,设 ?ADB ? ? ,则

cos? ? 82 ? 82 ? 42 ? 7 . ?cos 3? ? 4 cos3 ? ? 3cos? ? 7 ,

2?8?8 8

128

?

AA12

?

82

?

82

?

2?8?8? 7 128

? 121,

?

AA1

? 11.

2011
? 8 、用 S(n) 表示正整数 n 的各位数字之和,则 S(n) ? n?1

.答案: 28072 .

解:添加自然数 0 ,这样并不改变问题性质;先考虑由 0 到 999 这一千个数,将它们全部用三

位数表示,得到集 M ? ?000,001, ,999?,易知对于每个 a ??0,1, ,9? ,首位为 a 的“三位

数 ” 恰 有 100 个 : a0 0 ,a 0 1 , a ,, 9这9样 , 所 有 三 位 数 的 首 位 数 字 和 为

100? (0 ?1? ? 9) ? 45?100 ;再将 M 中的每个数 abc 的前两位数字互换,成为 bac ,得到的

一千个数的集合仍是 M ,又将 M 中的每个数 abc 的首末两位数字互换,成为 cba ,得到的一千

999

999

? ? 个数的集合也是 M ,由此知, S(n) ? S(n) ? 300 ? 45 .

n?1

n?0

今考虑四位数:在1000,1001, ,1999 中,首位(千位)上,共有一千个1,而在

0000, 0001, , 0999 中,首位(千位)上,共有一千个 0 ,因此,

1999

1999

999

? S(n) ? ? S(n) ? 1000 ? 2? S(n) ? 1000 ? 600 ? 45 ? 28000 ;

n?1

n?0

n?0

2011

2011

2011

其次,易算出, ? S(n) ? 72 。所以, ? S(n) ? ? S(n) ? 28072 .

n?2000

n?1

n?0

二、解答题(共 3 题,合计 70 分) 9 、(20 分)、已知 A? B ? C ? ? , sin A ? sin B ? sin C ? 1 ,
cos A ? cos B ? cos C 求 cos 2A ? cos 2B ? cos 2C 的值.
cos A ? cos B ? cos C 解:由 sin A ? sin B ? sin C ? 1 ,即 sin A?sin B ?sin C ?cos A?cos Bc?os C ,平方得
cos A ? cos B ? cos C

sin2 A ? sin2 B ? sin2 C ? 2(sin Asin B ? sin B sin C ? sin C sin A)

? cos2 A ? cos2 B ? cos2 C ? 2(cos Acos B ? cos B cos C ? cos C cos A) (10 分)

所以 (cos2 A ? sin2 A) ? (cos2 B ? sin2 B) ? (cos2 C ? sin2 C)

? ?2[cos(A ? B) ? cos(B ? C) ? cos(C ? A)] (15 分) 因为 A? B ? C ? ? , 即 cos 2A ? cos 2B ? cos 2C ? 2(cos A ? cos B ? cosC) ,所以 cos 2A ? cos 2B ? cos 2C ? 2 .(20 分)
cos A ? cos B ? cos C 10 、( 25 分)如图, ?ABC 的内心为 I , M , N 分别是
AB, AC的中点, AB ? AC ,内切圆 I 分别与边 BC,CA 相

A

M

NF

切于 D, E ;证明: MN, BI, DE 三线共点.
B
证:如图,设 MN, BI 交于点 F ,连 AF, AI, IE, EF ,由

IE DC

于中位线 MN ∥ BC ,以及 BF 平分 ?B ,则 MF ? MB ? MA,

所以 ?AFB ? 900 ,因 IE ?AE ,得 A、F 、E 、I 共圆.(10 分)

所以 ?AEF ? ?AIF ;又注意 I 是 ?ABC 的内心,则

?AEF ? ?AIF ? ?IAB ? ?IBA ? A ? B ? 900 ? C ,(15 分)

22

2

连 DE ,在 ?CDE 中,由于切线 CD ? CE ,所以

? ? ?CED ? ?CDE ? 1 1800 ? C ? 900 ? C ? ?AEF ,

2

2

因此 D, E, F 三点共线,即有 MN, BI, DE 三线共点.(25 分)

11、( 25 分)在电脑屏幕上给出一个正 2011边形,它的顶点分别被涂成黑、白两色;某程 序执行这样的操作:每次可选中多边形连续的 a 个顶点(其中 a 是小于 2011 的一个固定的正整 数),一按鼠标键,将会使这 a 个顶点“黑白颠倒”,即黑点变白,而白点变黑;

(10 ) 、证明:如果 a 为奇数,则可以经过有限次这样的操作,使得所有顶点都变成白色,也

可以经过有限次这样的操作,使得所有顶点都变成黑色;

(20 ) 、当 a 为偶数时,是否也能经过有限次这样的操作,使得所有的顶点都变成一色?

证明你的结论.

证明 (10 ) :由于 2011为质数,而1? a ? 2011,则 (a, 2011) ?1 ,据裴蜀定理,存在正整数

m, n ,使 am ? 2011n ?1 ……①,如果 a 为奇数,则①中的 m, n 一奇一偶,

如果 m 为偶数, n 为奇数,将①改写成: a ? (m ? 2011) ? 2011? (n ? a) ? 1,令

m? ? m ? 2011, n? ? n ? a ,上式成为 am? ? 2011n? ?1,其中 m? 为奇数, n? 为偶数.总之存在

奇数 m 和偶数 n ,使①式成立;据①, am ? 2011n ?1 ……②, 现进行这样的操作:选取一个点 A ,自 A 开始,按顺时针方向操作 a 个顶点,再顺时针方向
操作接下来的 a 个顶点,……,当这样的操作进行 m 次后,据②知,点 A 的颜色被改变了奇数次 ( n ?1次),从而改变了颜色,而其余所有顶点都改变了偶数次( n 次)状态,其颜色不变;因
此,可以经过有限多次这样的操作,使所有黑点都变成白点,从而多边形所有顶点都成为白色; 也可以经过有限多次这样的操作,使所有白点都变成黑点,从而多边形所有顶点都成为黑色.(10 分)
(20 ) 、当 a 为偶数时,将有如下结论:
如果开初给定的正多边形有奇数个黑点、偶数个白点,则经过有限次操作,可以将多边形所 有顶点变成全黑,而不能变成全白;反之,如果开初给定的正多边形有奇数个白点、偶数个黑点, 则经过有限次操作,可以将多边形所有顶点变成全白,而不能变成全黑;(15 分)
为此,采用赋值法:将白点改记为“ +1 ”,而黑点记为“ ?1”,改变一次颜色,相当于将其
赋值乘以 ?1,而改变 a 个点的颜色,即相当于乘了 a 个(偶数个) ?1,由于 (?1)a ? 1 ;因此当
多边形所有顶点赋值之积为 ?1,即总共有奇数个黑点,偶数个白点时,每次操作后,其赋值之 积仍为 ?1,因此无论操作多少次,都不能将全部顶点变白.
但此时可以变成全黑,这是由于,对于偶数 a ,则①②中的 n 为奇数,设 A, B 是多边形的两
个相邻顶点,自点 A 开始,按顺时针方向操作 a 个顶点,再顺时针方向操作接下来的 a 个顶 点,……,当这样的操作进行 m 次后,据②知,点 A 的颜色被改变了偶数次( n ?1次),从而颜 色不变,而其余所有 2010 个顶点都改变了奇数次( n 次)状态,即都改变了颜色;再自点 B 开 始,按同样的方法操作 m 次后,点 B 的颜色不变,其余所有 2010 个顶点都改变了颜色;于是, 经过上述 2m 次操作后,多边形恰有 A, B 两个相邻顶点都改变了颜色,其余所有 2009 个点的颜
色不变.
现将这样的 2m 次操作合并,称为“一轮操作”;每一轮操作,可以使黑白相邻的两点颜色互
换,因此经过有限轮操作,总可使同色的点成为多边形的连续顶点; 于是当总共有偶数个白点时,每一轮操作又可将相邻两个白点变成黑点,使得有限轮操作后,多 边形所有顶点都成为黑色. 同理得,如果开初给定的正多边形有奇数个白点、偶数个黑点,经过有限次操作,可以使多边形
顶点变成全白,而不能变成全黑;(只需将黑点赋值为“ +1 ”,白点赋值为“ ?1”,证法便完全
相同).(25 分)
2011 年全国高中数学联赛山西省预赛

试题解答

一、填空题(共 8 题,每题 10 分,计 80 分)

1、在集合 A ? ?1, 2,3, , 2011?中,末位数字为1的元素个数为



答案: 202 .
解:将集合 A ? ?0001,0002, , 2011? 中的每个数都截去其末位数字,都会得到集合

B ? ?000,001, ,199, 200, 201? 中的数,而 A 中形如 abc1的数,皆可看成由 B 中的元素 abc 后

面添加数字1而得到;故 A 中形如 abc1的元素个数,等于 B 的元素个数,即 202 个.

2、椭圆

x2 52

?

y2 32

? 1的焦点为 F1, F2 ,如果椭圆上的一点 P 使 PF1

?

PF2 ,则 ?PF1F2 的面

积为



答案: 9 .

解 : 易 知 F1F2 ? 8 , PF1 ? PF2 ? 10 , 所 以 (PF1 ? PF2 )2 ? 102 , 在 直 角 ?PF1F2 中 ,

PF12

? PF22 ? 8

2,由以上两式得, S?PF1F2

?

1 2

PF1

?

PF2

? 9.

? ? 3、数列

an

满足: a1

?1,

a2k a2k ?1

?

2,

a2k ?1 a2k

? 3, k

? 1 ;则其前100项的和为:

S100 ?



答案: 3 (650 ?1) . 5

解: a2k ?1 a2k ?1

?

a2k ?1 ? a2k a2k a2k ?1

? 6,

a2k ?2 a2k

?

a2k ?2 a2k ?1

? a2k ?1 a2k

? 6 , a1

? 1, a2

? 2 ,所以,

a2k?1 ? 6k?1, a2k ? 2 ? 6k?1 , S100 ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ? ? (a99 ? a100 )

?50
?3

6k ?1

?

3 (650

?1) .

k ?1

5

4、若 4n ?1, 6n ?1 都是完全平方数,则正整数 n 的最小值是



答案: 20 .

解: 4n ?1, 6n ?1 都是奇平方数;设 6n ?1 ? (2m ?1)2 ? 4m(m ?1) ?1,则

3n ? 2m(m ?1) ,而 m(m ?1) 为偶数,所以 4 n ,设 n ? 4k ,则 4n ?1?16k ?1,

6n ?1 ? 24k ?1,当 k ? 1, 2, 3, 4时, 4n ?1, 6n ? 1不同为平方数,而当 k ? 5 ,即 n ? 20 时,

4n ?1 ? 81, 6n ? 1? 121皆为平方数,因此正整数 n 的最小值是 20 .

5、函数 y ? 2x ? 5 ? 11? 3x 的最大值是



答案: 65 . 24

解:令 11? 3x ? t ,则 6 y ? 12x ? 30 ? 6 11? 3x ? ?4(11? 3x) ? 6 11? 3x ?14

?

?4t 2

?

6t

?14

?

?

? ??

2t

?

3 2

?2 ??

?

65 4

?

65 4

,则

y

?

65 24

,当 t

?

3 4

,即

x

?

167 48

取得等号.

6、如图,单位正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E, F,G 分别是棱 AA1, C1D1, D1A1 的中点,则点 B1

到 EFG 所在平面的距离为



答案: 3 . 2

解一、补形法,如图,过 E, F,G 的平面截正方体,所得截面是

D1 G A1
ED
A

F

C1

B1 C

B

一 个 正 六 边 形 , 易 知 该 平 面 垂 直 平 分 正 方 体 的 对 角 线 B1D , 而

B1D ? 3 ,

所以 B1 到面 EFG 的距离 h ?

3. 2

解二:等体积法,

易知 SB1FG

? 1? SB1A1G

? SB1C1F

? SD1FG

?1?

1 4

?

1 4

?

1 8

?

3, 8

而点 E

到平面

B1FG

的距离 h0

?

1 2

,所以VEB1FG

?

1 3 h0SB1FG

?

1 16





EF 2

?

EA12

?

A1F 2

?

EA12

? ( A1D12

?

D1F 2 )

?

1 4

?1?

1 4

?

3 2

,即

EF

?

1 2

6,

GF ? GE ? 2 , cos ?EGF ? GE2 ? GF 2 ? EF 2 ? ? 1 , ?EGF ? 1200 ,

2

2GE ?GF

2

则 S?EGF

?

1 GE ?GF sin1200 2

?

1 8

3 ,若 B1 到面 EFG 的距离为 h ,则

1

1

16 ? VEB1FG ? 3 h ? S?EGF ?

3 h ,所以 h ? 24

3. 2

7、 sin2 1300 ? sin 700 cos800 ?



答案: 3 . 4

解: sin2 1300 ? sin 700 cos800 ? cos2 400 ? sin 700 sin100

? 1? cos800 ? sin 700 sin100 ? 1 ? 1 (cos 700 cos100 ? sin 700 sin100 ) ? sin 700 sin100

2

22

? 1 ? 1 (cos 700 cos100 ? sin 700 sin100) ? 1 ? 1 cos 600 ? 3 .

22

22

4

8 、如果四位数 abcd 的四个数码满足 a ? b ? c ? d ,就称其为“好数”;例如 2011 就是一

个“好数”.那么,“好数”的个数是



答案: 615.

解:由于1 ? a ? 9, 0 ? b, c, d ? 9 ,记 k ? a ? b ? c ? d ,则1? k ?18 .

当1? k ? 9 ,则上式中的 a 可取?1, , k? 中的任意值,c 可取?0,1, , k? 中的任意值,而当 a, c

取定后, b, d 便随之确定,因此满足 k ? a ? b ? c ? d 的四位数 abcd 有 k(k ?1) 个;

9
? 从而满足 k ? 9 的四位数 abcd 共有 k(k ?1) ? 330 个; k ?1

当10 ? k ?18 ,由 k ? a ? b ? c ? d 知, a,b, c, d 皆不能为 0 ,令 a1 ? 10 ? a,b1 ? 10 ? b ,

c1 ? 10 ? c, d1 ? 10 ? d ,则1 ? a1, b1, c1, d1 ?9 ,记 k1 ? a1 ?b1 ? c1 ?d1 ,则 2 ? k1 ?10 ,且四位

? ? 数 abcd 与四位数 a1b1c1d1 一一对应.上式中的 a1 及 c1 皆可取 1, , k1 ?1 中的任意值,而当 a1, c1

取定后, b1, d1 便随之确定,因此满足 k1 ? a1 ? b1 ? c1 ? d1 的四位数 a1b1c1d1 有 (k1 ?1)2 个,从而

10

9

? ? 满足 2 ? k1 ? 10 的 a1b1c1d1 共有 (k1 ?1)2 ? k 2 个,即满足

k1 ?2

k ?1

9
? 10 ? k ?18 的四位数 abcd 共有 k 2 ? 285个. k ?1
故“好数”的个数是 330 ? 285 ? 615.

二、解答题(共 3 题,合计 70 分) 9 、(20 分)三角形 ABC 三个内角的度数满足: A ? B ? 1 ;
BC3 求T ? cos A? cos B ? cosC 的值.
解:设 A ? ?, B ? 3?,C ? 9? ,由? ? 3? ? 9? ? ? ,得? ? ? . 13
T ? cos? ? cos3? ? cos9? ? cos? ? cos3? ? cos 4?
? 2cos? cos 2? ? 2cos2 2? ?1 ? 2cos2 2? ? 2cos2 2? ?1 ?1.

T 2 ? (cos? ? cos 3? ? cos 9? )2 ? cos2 ? ? cos2 3? ? cos2 9? ? 2 cos? cos 3?

?2cos? cos9? ? 2cos3? cos9? ? 1? cos 2? ? 1? cos 6? ? 1? cos8?

2

2

2

?(cos 2? ? cos 4? ) ? (cos8? ? cos10? ) ? (cos 6? ? cos12? ) ;

而T ? cos? ? cos3? ? cos9? ? ?cos12? ? cos10? ? cos 4? , 所以 2T 2 ?T ? 3 ? 3(cos 2? ? cos 4? ? cos 6? ? cos8? ? cos10? ? cos12?) , 又令 P ? cos 2? ? cos 4? ? cos6? ? cos8? ? cos10? ? cos12? , 则 P ? 2sin? ? (sin 3? ? sin? ) ? (sin 5? ? sin 3? ) ? (sin 7? ? sin 5? ) ? (sin 9? ? sin 7? )
?(sin11? ? sin 9? ) ? ?(sin13? ? sin11? ) ? ?sin? ,所以 P ? ? 1 . 2
从而 2T 2 ?T ? 3 ? 3 ? 3 ,即 4T 2 ? 2T ? 3 ? 0 , 22
由于T ?1,解此方程得T ? 1? 13 . 4
10 、( 25 分)如图, D, E, F 分别是 ?ABC 的边 BC,CA, AB 上的点,且 DE AB ? F0 ,
EF BC ? D0 , FD CA ? E0 ;
A
证明: AD, BE,CF 三线共点,

当且仅当 D0 , E0 , F0 三点共线.

F

E

证明:据梅尼劳斯定理,D0 , E0 , F0 三点共线,

B

DC

D0

当且仅当 AE0 ? CD0 ? BF0 ? 1; E0C D0B F0 A

E0

而据塞瓦定理, AD, BE,CF 三线共点,

F0

当且仅当 BD ? CE ? AF ? 1. DC EA FB

因直线 D0EF

截 ?ABC ,得到

CE EA

?

AF FB

?

BD0 D0C

? 1,所以,

CD0 D0 B

?

CE EA

?

AF FB



同理,由直线

E0 DF



?ABC

得,

CE0 E0 A

?

CD DB

?

BF FA

,由直线

F0 DE



?ABC

得,

BF0 F0 A

?

BD DC

?

CE EA

.因此,

AE0 E0C

?

CD0 D0 B

?

BF0 F0 A

?

? ??

BD DC

?

CE EA

?

AF FB

?2 ??



由于该等式中的一端取值为1当且仅当其另一端也取值为1,故结论得证. 11、(25 分)20 个巫师孤岛聚会.在这期间,任何三个巫师都曾在一起诅咒过别的某些巫师;
证明:其中必存在某个巫师,他至少受到过其余九个巫师的诅咒.

证: 20 个巫师,共可作成 C230 个“三巫组”,每个组至少诅咒过一人,故被诅咒过的巫师至

少有 C230 人次,设W 是受到诅咒最多的一个巫师,他被 m 个“三巫组”诅咒过,则

m

?

C230 20

? 57

,若这 m

个“三巫组”中,总共含有 k

个巫师,这 k

人共可作成

C

3 k

个“三巫组”,

因此, Ck3 ? m ? 57 ,注意到,当 k ? 3 时,组合数 Ck3 严格递增;

因为 C83 ? 56 ? 57, C93 ? 84 ? 57 ,由此得 k ? 9 .
2011 年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题
一.填空题(本题满分 56 分,每小题 7 分)
1.已知集合 A ?{x | (x ? 2)(x ? 6) ? 3, x ?Z,0 ? x ? 7} ,则 A 的非空子集的个数为.

2.

若 f ? g(x)? ? sin 2x , g(x) ? tan x
2

? (0 ? x ? ? ) ,则 f ???

2 2

? ???

?

.

3. 若底边长为 2 的正四棱锥恰内切一半径为 1 的球,则此正四棱锥的体积是 . 2

4. 在平面直角坐标系中,已知点 A(1, 2) 和 B(4,1) . 圆 x2 ? y2 ? 25 上的动点 P(x, y) 与 A, B 形成

三角形,则三角形 ABP 的面积的最大值为

.

5.将正整数1, 2,3, 4,5, 6, 7 任意分成两组,使每组至少有一个数,则第一组数的和与第二

组数的和相等的概率是 .

? 6.

数列满足 a0

?

1 4

,及对于自然数

n



a n ?1

?

a

2 n

?

an

,则

2011 n?0

1 an ?

1

的整数部分是



7. 四次多项式 f (x) 的四个实根构成公差为 2 的等差数列,则 f ?(x) 的所有根中最大根与最小根

之差是 .

8.设[x] 表示不超过实数的最大整数,则在平面上,由满足[x]2 ? [ y]2 ? 50 的点所形成的图形的

面积是



二.解答题 (本题满分 64 分, 第 9、10 题每题 14 分,第 11、12 题每题 18 分)

9. 已知正项数列{an}满足:(1) a1 ? 2012 ;(2) a2 , a3 是整数;(3)数列{nan ? n2} 是公比不

大于 10 的等比数列. 求数列{an}的通项公式.

10. 已知 F1 、 F2 为双曲线 C: x2 ? y2 ? 1的左、右焦点,点 P 在 C 上, 若 ?PF1F2 的面积是 3 , 求 ?F1PF2 .

11. 设 a1 , a2 ,…, an 为正数,且 a1 ? a2 ? ? an ? 1 ,求证:

(a1

?

1 a1

)2

?

(a2

?

1 a2

)

2?

? ? 1
? (an ? an )

2?

n2 ?1 2 .
n

12.设 n ? 11是一正整数, 由不大于 n 的连续 10 个正整数的和组成集合 A ,由不大于 n 的连续 11 个正整数的和组成集合 B 。若 A? B 的元素个数是 181,求 n 的最大值和最小值。

甘肃省预赛评分参考

42

1. 63 . 2.

.

3. 16 . 4. 1 (7 ? 5 10) .5 4 .6. 3 .7. 2 5 . 8. 12 .

9

92

63

9. 已知正项数列{an}满足:(1) a1 ? 2012 ;(2) a2 , a3 是整数;(3)数列{nan ? n2} 是公比不

大于 10 的等比数列. 求数列{an}的通项公式.



由条件(3)知 nan

?

n2

?

c ? qn?1 ,其中 c, q

?

0 ,于是 an

?

c ? qn?1 n

?n,n

?1, 2,

.

由条件(1)可得 c

?

2011,由此 an

?

2011qn?1 n

?

n

,n

?1, 2,

. ………………4 分

因为

a2

?

2011q 2

?

2

是整数,故

2011q 2

是整数,于是 q

只能是分数,不妨设

q

?

k m

,其中

k

与 m 互素. 注意到 2011是素数,故 m 的取值只能是1和 2011, k 只能为偶数.

……………8 分

同理,由 a3

?

2011( k )2 m
3

?

3

是整数,得知

2011?

k2 m2

3

是整数,于是 m

的取值只能是1且 k

是3

的倍数,从而 q ? k 是 6 的倍数. q 不大于 10, 所以 q ? 6 ,故数列{an} 的通项公式为

an

?

2011? 6n?1 n

?

n



n

?1, 2,

.

………………14 分

10. 已知 F1 、 F2 为双曲线 C: x2 ? y2 ? 1的左、右焦点,点 P 在 C 上, 若 ?PF1F2 的面积是 3 , 求 ?F1PF2 .

解 不妨设点 P (x0 , y0 ) 在双曲线的右支,由题设易得 F1F2 ? 2 2 . ………………2 分

注意到 S?PF1F2

?1 2

F1F2

?

y0

? 1?2 2

2 y0 ?

3 ,解得| y0 |?

6 ,……………4 分 2

又由 x2 ? y2 ? 1



x02

?

y02

? 1,解得

x02

? 1+y02 =1+

6 4

=

5 2

.

………………6 分

由双曲线的第二定义得 |

PF1

|?

e[ x0

?

(?

a2 c

)]

?

a

?

ex0

?1?

2x0 及

|

PF2

|?

e[ x0

?

a2 c

)]

?

ex0

?

a

?

2x0 ?1 . 再由余弦定理有

cos ?F1PF2

?

|

PF1

|2 ? | PF2 |2 ? | F1F2 2 | PF1 || PF2 |

|2



于是

2

2

2

? ? ? ? ? ? ? ? 1+ 2x0 ? 2x0 ?1 ? 2 2
cos ?F1PF2 =
? ?? ? ? ? 2 1+ 2x0 2x0 ?1

? 2 2x02 ?1 ? 8 2 2x02 ?1

?

2

? ??

2

?

5 2

2

? ??

2?

?1??? ? 8

5 2

?

1???

?

2??5 ?1? ? 2??5 ?1?

8

?

2?6 8

?

8

?

1 2

.

………………9 分

由此得 ?F1PF2 =600 .

………………14 分

11. 设 a1 , a2 ,…, an 为正数,且 a1 ? a2 ? ? an ? 1 ,求证:

? ? (a1

?

1 a1

)2

?

(a2

?

1 a2

)

2?

1 ? (an ? an )

2?

n2 ?1 2

n

证明 因 a1 , a2 ,…, an 为正数,由 Cauchy 不等式得

(a1

? a2

???

an

)(

1 a1

?

1 a2

???

1 an

)

?

(

a1 ?

1? a1

a2 ?

1 ??? a2

an ?

1 )2 an

即 (a1

?

a2

?

?

?

an

)(

1 a1

?

1 a2

???

1 an

)

?

n2 .

………………6 分

又 a1

? a2

??? an

? 1,所以 1 a1

?

1 a2

???

1 an

? n2 .

………………9 分

对 a1

?

1 a1

, a2

?

1 a2

,…, an

?

1 an

和实数1,1,
n

,1,由 Cauchy 不等式得

([ a1

?

1 )2 a1

?(a2

?

1 a2

)2

?

?

(an

?

1 an

)2(] 12

?12 ?
n

12)?

([ a1

?

1 )?1 a1

?(a2

?

1 )?1? a2

?(an

?

1 an

)?1]2

即([ a1

?

1 )2 a1

?(a2

?

1 a2

)2

?

?

(an

?

1 an

)2 ]n

?

(a1

?

1 a1

?

a2

?

1 a2

?

?

an

?

1 an

)2

,

………………12 分

即([ a1

?

1 a1

)2

?(a2

?

1 a2

)2

?

?

(an

?

1 an

)2

]n

?

(n2

? 1)2

,………………15



所以

(a1

?

1 a1

)2

?

(a2

?

1 a2

)2

?

? ? ?

(an

?

1 an

)2

?

n2 ?1 2

n

………………18 分

12.设 n ? 11是一正整数, 由不大于 n 的连续 10 个正整数的和组成集合 A ,由不大于 n 的连 续 11 个正整数的和组成集合 B 。若 A? B 的元素个数是 181,求 n 的最大值和最小值。

解:显然 A ? {55 ?10k | 0 ? k ? n ?10, k ? Z} , B ? {66 ?11l | 0 ? l ? n ?11,l ? Z} ,

为求 A? B 的元素个数,令 55 ?10k ? 66 ?11l ,则10k ? (l ?1)11。

………………6 分 ………………9 分

再令 k ?11m ,则得 l ?10m ?1.因为 0 ? k ? n ?10 ,m 可取值 0,1, 2, ,[ n ?10] ,此时 l 的相 11

应取值为 ?1,9,19, ,10[ n ?10] ?1。 11
注意到

………………12 分

10[n ?10] ?1 ? 10 ? n ?10 ?1 ? n ?11

11

11

符合 l 的取值范围,舍去不合乎要求的值 ?1,则知集合 A? B 的元素个数为[ n ?10] 。令 11

181 ? [ n ?10] , 则 181 ? n ?10 ? 182

11

11

……………15 分

即 2001? n ? 2012 ,于是 n 的最大值和最小值分别为 2011 和 2001. ……………18 分

2011 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)

(5 月 15 日下午 14:30——16:30)



题目 一 二

13

14

15

16 总成绩

得分

评卷人

复核人

考生注意:1、本试卷共三大题(16 个小题),全卷满分 140 分. 2、用黑(蓝)色圆珠笔或钢笔作答. 3、计算器、通讯工具不准带入考场. 4、解题书写不要超过密封线.
一、选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 本题共有 6 小题,每题均给出(A)、(B)、(C)、(D)四个结论,
得 分 评卷人 其中有且仅有一个是正确的. 请将正确答案的代表字母填在题后的 括号内. 每小题选对得 5 分;不选、选错或选出的代表字母超过一 个(不论是否写在括号内),一律得 0 分.

1、双曲线

x a

2 2

y2 ? b2

? 1的左、右准线 l1、l2 将线段 F1F2 三等分(其中 F1 、 F2 分别为双曲线的左、

右焦点),则该双曲线的离心率 e 等于

A、 6 2

B、 3

C、 3 3 2

D、 2 3

2、已知三次函数 f (x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d , (a,b, c, d ? R ),

命题 p : y ? f (x) 是 R 上的单调函数;

命题 q : y ? f (x) 的图像与 x 轴恰有一个交点.

则 p 是 q 的( )
A、充分但不必要条件

B、必要但不充分条件

C、充要条件

D、既不充分也不必要条件

【答】( ) 【答】( )

3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏.每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、
布”中的一种手势,且是相互独立的.设在一局中甲赢的人数为 ? ,则随机变量 ? 的数学期

望 E? 的值为(



A、 1 3

B、 4 9

C、 2 3

D、1

4、函数 f (x) ? x ? 5 ? 24 ? 3x 的最大值为( )

【答】( )

A、 3

B、3

C、 2 3

D、 3 3

【答】( )

5、如图,边长为 2 的正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在的面

成 60°角,M、N 分别是线段 AC 和 BF 上的点,且 AM ? FN ,

则线段 MN 的长的取值范围是

A、[1 , 2] 2

B、[1, 2]

C、[ 2, 2]

D、[ 3, 2]

F

E

N

A

B

M

D

C

【答】( )

6、设数列{an } 为等差数列,数列{bn }满足: b1 ? a1 , b2 ? a2 ? a3 ,

b3

?

a4

? a5

?

a6

,……,若

lim
n ??

bn n3

?2

,则数列{an } 的公差 d 为(



A、 1 2

B、1

C、2

D、4

【答】( )

二、填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分)

得 分 评卷人

本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上.

7、已知实数 x 满足| 2x ?1| ? | 2x ? 5 |? 6,则 x 的取值范围是 ? 1 ? x ? 5



2

2

8、设平面内的两个非零向量 a 与 b 相互垂直,且| b |? 1,

则使得向量 a ? mb 与 a ? (1? m)b 互相垂直的所有实数 m 之和为

1



得分

评卷人

9、记实数等比数列{an} 的前 n 项和为 Sn ,若 S10 ? 10, S30 ? 70 ,则 S 40 ?

150



10、设 x 为实数,定义 ?x? 为不小于 x 的最小整数,例如 ?? ? ? 4 , ?? ? ? ? ?3 .

关于实数

x

的方程

?3x

?

1?

?

2

x

?

1 2

的全部实根之和等于

-4



11、已知 (1?

3)n ? an ? bn

3

,其中

an

, bn

为整数,则

lim
n???

an bn

?

3



12、已知三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,且 SA=SB=SC=AB=2,

设 S、A、B、C 四点均在以 O 为球心的某个球面上,则点 O 到平面 ABC 的距离为 3 . 3

三、解答题(本题满分 80 分,每小题 20 分)

13、已知 m ? 0 ,若函数 f (x) ? x ? 100 ? mx 的最大值为 g(m) , 求 g(m) 的最小值.

得 分 评卷人
14、已知函数 f (x) ? 2(sin 4 x ? cos4 x) ? m(sin x ? cos x)4

在 x ?[0, ? ] 有最大值 5,求实数 m 的值. 2

15、抛物线 y ? x2 与过点 P(?1, ?1) 的直线 l 交于 P1 、 P2 两点.

(I)求直线 l 的斜率 k 的取值范围;

得 分 评卷人

(II)

求在线段 P1P2 上满足条件

1 PP1

?

1 PP2

?

2 的点 Q 的轨迹方程. PQ

得 分 评卷人

16、已知 m 为实数,数列{an } 的前 n 项和为 S n ,

满足: Sn

?

9 8

an

?

4 3

? 3n

?

m ,且 an

?

64 3

对任何的正整数 n

恒成立.

? 求证:当 m 取到最大值时,对任何正整数 n 都有 n 3k ? 3 . k?1 Sk 16

四川初赛试题详细解答

一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)

1、双曲线

x a

2 2

?

y2 b2

? 1的左、右准线

l1、l2 将线段

F1F2 三等分(其中 F1 、 F2 分别为双曲线

的左、右焦点),则该双曲线的离心率 e 等于(

).

A、 6 2

B、 3

C、 3 3 2

D、 2 3

解:由题意得 2c ? 3? 2a 2 ,解得 e ? 3 . 故答案选 B. c

2、已知三次函数 f (x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d , (a,b, c, d ? R ),

命题 p : y ? f (x) 是 R 上的单调函数;

命题 q : y ? f (x) 的图像与 x 轴恰有一个交点.

则 p 是 q 的( )
A、充分但不必要条件

B、必要但不充分条件

C、充要条件 解:选 A.

D、既不充分也不必要条件

3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏.每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、
石头、布”中的一种手势,且是相互独立的.设在一局中甲赢的人数为? ,则随机变量? 的数学

期望 E? 的值为(



A、 1 3

B、 4 9

C、 2 3

D、1

解: P(? ? 0) ? 3? 4 ? 4 , P(? ? 1) ? 3? 4 ? 4 , P(? ? 2) ? 3?1 ? 1 ,

27 9

27 9

27 9

于是 E?

?

4?0?

4 ?1?

1?2 ?

2
.

故答案选 C .

9 99 3

4、函数 f (x) ? x ? 5 ? 24 ? 3x 的最大值为( )

A、 3

B、3

C、 2 3

解:法一: f (x) 的定义域为 5 ? x ? 8 ,

D、 3 3

由 f ?(x) ? 1 ? ? 3 ? 24 ? 3x ? 3 x ? 5 ? 0 ,解得 x ? 23 .

2 x ? 5 2 24 ? 3x 2 x ? 5 ? 24 ? 3x

4

因为 f (5) ? 3, f ( 23) ? 2 3 , f (8) ? 4

3 ,于是

f (x)max

?

f (23) 4

?

2

3.

故答案选 C.

法二: f (x) 的定义域为 5 ? x ? 8 ,

f 2 (x) ? (1? x ? 5 ? 3 ? 8 ? x )2 ? (1 ? 3)( x ? 5 ? 8 ? x) ? 12

当且仅当 x ? 5 ? 8 ? x ,即 x ? 23 时, f (x) 取到最大值 2 3 .故答案选 C.

1

3

4

5、如图,边长为 2 的正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在的面 F

E N



60°角,M、N 分别是线段 AC 和 BF 上的点,且 AM ? FN ,

则线段 MN 的长的取值范围是

A

B

A、[1 , 2] B、[1, 2] C、[ 2, 2] 2

D、[ 3, 2]

M

D

C

解:过点 M 作 MH//BC 交 AB 于 H,则 AM ? AH , AC AB
又 AM=FN,AC=FB,∴ FN ? AH ,∴NH//AF, FB AB
∴NH⊥AB,MH⊥AB,∴∠MHN=60°.
设 AH=x(0≤x≤2),则 MH=x, NH ? 2 ? x ,

F

E

N

A

H

B

M

D

C

∴ MN ? x2 ? (2 ? x)2 ? 2x(2 ? x) cos 60? ? 3x2 ? 6x ? 4 ? 3(x ?1)2 ?1

∴ 1 ? MN ? 2 .选答案选 B.

6、设数列{an } 为等差数列,数列{bn }满足:b1 ? a1 ,b2 ? a2 ? a3 ,b3 ? a4 ? a5 ? a6 ,……,

若 lim bn n?? n3

?2

,则数列{an } 的公差 d 为(



A、 1 2

B、1

C、2

D、4

解: bn

?

an(n?1) ?1 2

? an(n?1)?2 2

? ?? an(n?1)?n 2

?

n

2

[a

n

( n ?1) 2

?1

? a n(n?1) ?n ] 2

?

n 2 [a1

?

n(n ?1) 2

d

?

a1

?

( n(n ?1) 2

?

n

? 1)d ]

?

n 2

(2a1

?

d

?

n2d)

于是 lim bn n?? n3

? lim 1 ( 2a1 ? d n?? 2 n2

? d) ?

d 2

? 2 ,解得 d

? 4 .故答案选 D.

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)

7、已知实数 x 满足| 2x ?1| ? | 2x ? 5 |? 6 ,则 x 的取值范围是



解:因为| 2x ?1| ? | 2x ? 5 |?| (2x ?1) ? (5 ? 2x) |? 6,

等号成立当且仅当 (2x ?1)(2x ? 5) ? 0 ,即 ? 1 ? x ? 5 .故答案填[? 1 , 5] .

2

2

22

8、设平面内的两个非零向量 a 与 b 相互垂直,且| b |? 1,则使得向量 a ? mb 与 a ? (1? m)b

互相垂直的所有实数 m 之和为



解:由于 0

?

(a

?

mb) ?[a

2
? (1? m)b]= a

?

a?b

?

m(1 ?

2
m)b

?|

a

|2

?m(1 ?

m) ,

即 m2 ? m? | a |2 =0,

所以由根与系数的关系知符合条件所有实数 m 之和为 1.故答案填 1.

9、记实数等比数列{an}的前 n 项和为 Sn ,若 S10 ? 10, S30 ? 70 ,则 S 40 ?



解:记 b1 ? S10 , b2 ? S20 ? S10 , b3 ? S30 ? S20 , b4 ? S40 ? S30

设 q 为{an}的公比,则 b1,b2 ,b3,b4 构成以 r ? q10 为公比的等比数列,

于是 70 ? S30 ? b1 ? b2 ? b3 ? b1(1 ? r ? r 2 ) ? 10(1 ? r ? r 2 )

即 r2 ? r ? 6 ? 0 ,解得 r ? 2 或 r ? ?3 (舍去),

故 S40 ? 10(1 ? r ? r 2 ? r3) ? 150 .故答案填 150.

10、设 x 为实数,定义 ?x? 为不小于 x 的最小整数,例如 ?? ? ? 4 ,?? ? ? ? ?3 .关于实数 x

的方程

?3x

?

1?

?

2x

?

1 2

的全部实根之和等于



解 : 设 2x ? 1 ? k ? Z , 则 x ? 2k ? 1 , 3x ?1 ? k ?1? 2k ? 3 , 于 是 原 方 程 等 价 于

2

4

4

?2k ? ?? 4

3? ??

?

?1 ,即

?

2

?

2k ? 4

3

?

?1 ,从而 ?

11 2

?

k

?

?

7 2

,即 k

?

?5或 ?

4.

相应的 x 为 ? 9 ,? 7 .于是所有实根之和为 ? 4 .故答案填 ? 4 . 44

11、已知 (1?

3)n ? an ? bn

3

,其中

an

, bn

为整数,则

lim
n???

an bn

?



解:由条件 (1? 3)n ? an ? bn 3 知 (1? 3)n ? an ? bn 3 ,

于是 an

?

1 [(1 ? 2

3)n ? (1 ?

3)n ],

bn

?

1 [(1 ? 23

3)n ? (1 ?

3)n ] ,

故 lim an ? lim

3 ? (1?

3)n ? (1 ? 3)n ? lim

1 ? (1 ? 3 )n 3? 1? 3 ?

3.

b n??? n

n???

(1 ? 3)n ? (1 ? 3)n n???

1 ? (1 ? 3 )n

1? 3

故答案填 3 .

12、已知三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,且 SA=SB=SC=AB=2,设 S、A、

B、C 四点均在以 O 为球心的某个球面上,则点 O 到平面 ABC 的距离为



解:如图,因为 SA=SB=SC,所以 S 在平面 ABC 上的射影是△ABC 的外心,即 AB 的中点 H,同理 O 点在平面 ABC 上的射影也是△ABC 的外心 H,即在等边△ SAB 中,求 OH 的长,其中 OA=OB=OS.

显然, OH ? 1 SH ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 .故答案填 3 .

3

3

23

3

C

S
O A
H B

三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分)
13、已知 m ? 0 ,若函数 f (x) ? x ? 100 ? mx 的最大值为 g(m) ,求 g(m) 的最小值.

解:令 t ? 100 ? mx ,则 x ? 100 ? t 2 , m

(5 分)

∴ y ? 100 ? t 2 ? t ? ? 1 (t ? m)2 ? 100 ? m ,

m

m 2 m4

∴当 t ? m 时, y 有最大值 100 ? m ,即 g(m) ? 100 ? m .

2

m4

m4

∴ g(m) ? 100 ? m ? 2 100 ? m ? 10 ,

m4

m4

等号当且仅当 m ? 20时成立,

∴当 m ? 20时, g(m) 有最小值 10.

(10 分) (15 分) (20 分)

14、已知函数 f (x) ? 2(sin 4 x ? cos4 x) ? m(sin x ? cos x)4 在 x ?[0, ? ] 有最大值 5, 2
求实数 m 的值.
解: f (x) ? 2(sin 2 x ? cos2 x)2 ? 4sin 2 x cos2 x ? m(sin x ? cos x)4

? 2 ? (2sin x cos x)2 ? m(sin x ? cos x)4

(5 分)

令 t ? sin x ? cosx ? 2 sin(x ? ? ) ?[1, 2] , 4
则 2sin x cosx ? t 2 ?1,从而 f (x) ? 2 ? (t 2 ?1)2 ? mt 4 ? (m ?1)t 4 ? 2t 2 ? 1 (10 分)

令 u ? t 2 ?[1, 2],由题意知 g(u) ? (m ?1)u 2 ? 2u ? 1在 u ?[1, 2] 有最大值 5.

当 m ?1 ? 0 时, g(u) ? 2u ?1在 u ? 2 时有最大值 5,故 m ? 1符合条件; (15 分)

当 m ?1 ? 0 时, g(u)max ? g(2) ? 2 ? 2 ? 1 ? 5 ,矛盾! 当 m ?1 ? 0 时, g(u) ? 2u ?1 ? 5 ,矛盾! 综上所述,所求的实数 m ? 1.

(20 分)

15、抛物线 y ? x2 与过点 P(?1, ?1) 的直线 l 交于 P1 、 P2 两点.

(I)求直线 l 的斜率 k 的取值范围;

(II)

求在线段 P1P2 上满足条件

1 PP1

?

1 PP2

?

2 的点 Q 的轨迹方程. PQ

解:(I)直线 l 的方程为 y ?1 ? k(x ?1) ,与抛物线方程 y ? x2 联立



? ?

y

?

x2

,消去 y 得 x2 ? k(x ?1) ?1 ,即 x2 ? kx ? (k ?1) ? 0 ,

? y ?1 ? k(x ?1)

由 ? ? (?k)2 ? 4(k ?1) ? 0 ,解得 k ? ?2 ? 2 2 或 k ? ?2 ? 2 2 .

(5 分)

(II)设 Q 点坐标为 (x, y) , P1 点坐标为 (x1, y1) , P2 点坐标为 (x2 , y2 ) ,

则 x1 ? x2 ? k , x1 ? x2 ? ?(k ?1) ,

又 P1 、 P2 、 Q 都在直线 l 上,所以有 y ?1 ? k(x ?1) , y1 ?1 ? k(x1 ?1) , y2 ?1 ? k(x2 ?1) ,

由1? 1 ? 2得 PP1 PP2 PQ

1

1

2

?

?

(x1 ?1)2 ? ( y1 ?1)2 (x2 ?1)2 ? ( y2 ?1)2 (x ?1)2 ? ( y ?1)2

化简得 1 ? 1 ? 2 | x1 ?1| | x2 ?1| | x ?1|

(10 分)

又 (x1 ?1)(x2 ?1) ? x1x2 ? x1 ? x2 ?1 ? ?(k ?1) ? k ?1 ? 2 ? 0 ,点 Q 在线段 P1P2 上,

所以

x1

?1, x2

? 1,

x

? 1 同号.则

1? x1 ?1

1 x2 ?1

?

2 x ?1

因此 x ? 2 x1x2 ? x1 ? x2 ?1 ?1 ? 2 ? k

x1 ? x2 ? 2

k?2

①,

y ? k(x ?1) ?1 ? k ? ( 2 ? k ?1) ?1 ? 3k ? 2 ②,

k?2

k?2

由①得

k

?

2? 2x x ?1

代入②得

y

?

3 2? 2x ? 2 x ?1
2? 2x ? 2

?

1?

2x

,即

2x

?

y

?1

?

0



x ?1

又因为 k ? ?2 ? 2 2 或 k ? ?2 ? 2 2 ,所以 x ? 4 ?1的取值范围是 k?2

(15 分)

? 2 ?1 ? x ? 2 ?1且 x ? ?1,

因此点 Q 的轨迹方程是 2x ? y ?1 ? 0 ( ? 2 ?1 ? x ? 2 ?1且 x ? ?1). (20 分)

16、已知 m

为实数,数列{an } 的前 n 项和为 S n

,满足:S n

?

9 8

an

?

4 ? 3n 3

? m ,且 an

?

64 3

对任何的正整数 n 恒成立.

? 求证:当 m 取到最大值时,对任何正整数 n 都有 n 3k ? 3 . k?1 Sk 16

证明:当 n

? 1时,由 a1

?

9 8

a1

?

4

?

m 得 a1

?

8(4

?

m)



当 n ? 1时, Sn

?

9 8 an

?

4 ? 3n 3

? m , Sn?1

?

9 8 an?1

?

4 ? 3n?1 3

?m,

∴ an?1

?

9 8

an?1

?

9 8

an

?

8 ? 3n 3

,即 an?1

?

9an

?

64 ? 3n , 3

(5 分)

∴ an?1

?

32 ? 3n?1 9

?

9(an

?

32 ? 3n ) 9

∴ an

?

32 ? 3n 9

?

(a1

?

32) ? 9n?1 , 3

即 an

?

8 (16 ? 3m) ? 9n 27

?

32 ? 3n 9

(10 分)

由条件知, 8 (16 ? 3m) ? 9n ? 32 ? 3n ? 64 对任何正整数 n 恒成立,

27

9

3

即 8 (16 ? 3m) ? 64 ? 1 ? 32 ? 1 对任何正整数 n 恒成立,

27

3 9n 9 3n

由于 64 ? 1 3 9n

?

32 ? 1 9 3n

在 n ? 1时取最大值 64 ? 1 39

?

32 ? 1 93

?

96 , 27

于是 8 (16 ? 3m) ? 96 ,解得 m ? 4 .

27

27

3

由上式知道 m 的最大值为 4 . 3

(15 分)

当m

?

4 3

时,

an

?

32 ? 9n 9

?

?2 ? 3n , 9

于是 Sn

?

9 (32 ? 9n 89

?

32 ? 3n ) 9

?

4 3

? 3n

?

4 3

? 4 [3? (3n )2 ? 4 ? 3n ? 1] ? 4 (3n?1 ?1)(3n ?1) ,

3

3

? ? ? 所以 n 3k k ?1 Sk

?3 n

3k

4 k?1 (3k?1 ?1)(3k

? 1)

3n 1

1

?(

?

)

8 k?1 3k ? 1 3k?1 ? 1

? 3( 1 ? 1 )? 3?1 ? 3 . 8 3 ?1 3n?1 ?1 8 2 16
试 2011 年全国高中数学联赛安徽省预赛

(20 分)


一、填空题(每小题 8 分,共 64 分)

1.以 X 表示集合 X 的元素个数. 若有限集合 A, B,C 满足 A ? B ? 20, B ? C ? 30,

C ? A ? 40 ,则 A ? B ? C 的最大可能值为

.

2.设 a 是正实数. 若 f (x) ? x2 ? 6ax ?10a2 ? x2 ? 2ax ? 5a2,x ? R 的最小值为 10,

则a ?

.

3.已知实系数多项式 f (x) ? x4 ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 满足 f (1) ? 2 ,f (2) ? 4 , f (3) ? 6 ,

则 f (0) ? f (4) 的所有可能值集合为

.

4.设展开式 (5x ? 1)n ? a0 ? a1x ? ? ? an x n,n ? 2011 . 若 a2011 ? max( a0 , a1,?, an ) ,则

n?

.

5.在如图所示的长方体 ABCD? EFGH 中,设 P 是 矩形 EFGH 的中心,线段 AP 交平面 BDE于点 Q .

若 AB ? 3 , AD ? 2 , AE ? 1 , 则

PQ ?

.

第5题

6.平面上一个半径 r 的动圆沿边长 a 的正三角形的

外侧滚动,其扫过区域的面积为

.

7.设直角坐标平面上的点 (x, y) 与复数 x ? y i 一一对

第6题

应. 若点 A, B 分别对应复数 z, z ?1 ( z ? R ),则直线 AB 与 x 轴的交点对应复数

(用 z 表示).

8.设 n 是大于 4 的偶数. 随机选取正 n 边形的 4 个顶点构造四边形,得到矩形的概

率为

.

二、解答题(第 9—10 题每题 22 分,第 11—12 题每题 21 分,共 86 分)

9.

已知数列{an }满足 a1

?

a2

? 1, an

?1?

a1

? ?? an?2 4

(n

?

3 ),求 an 的通项公式.

10.已知正整数

a1

,

a2

,?,

a

n

都是合数,并且两两互素,求证:

1 a1

?

1 a2

???

1 an

?

1. 2

11.设 f (x) ? ax3 ? bx ? c ( a,b, c 是实数),当 0 ? x ? 1时, 0 ? f (x) ? 1. 求 b 的最大

可能值.

12.设点 A(?1,0),B(1,0),C(2,0) ,D 在双曲线 x2 ? y 2 ? 1 的左支上,D ? A,直线 CD 交双曲线 x2 ? y 2 ? 1 的右支于点 E . 求证:直线 AD与 BE的交点 P 在直线 x ? 1 2 上.

1. 10. 2. 2. 3. {32}. 4. 2413.

解答

5. 17 . 4

6. 6ar ? 4 π r 2 .

7. z ? z . 1 ? zz

8.

3

.

(n ?1)(n ? 3)

9. an ? 1? a1 ?

? an?2 4

?

an?1

?

an?2 4

?

an

?

an?1 2

?

1 2

? ??

an

?1

?

an?2 2

? ??

?

?

1 2n?1

?

2n?1 an ? 2n?2 an?1 ? 1 ? ? ? n

?

an

?

n 2 n?1

.

10.设 ak 的最小素因子 pk ,因为 ak 不是素数,所以 ak

?

p

2 k

.

于是

? ? n 1 ? n 1

a p k ?1 k

2 k ?1 k

? 1 n 1
? 4 ? k?2 (2k ?1)2

? 1 n

1

??

4 k?2 (2k ?1)2 ?1

?1? 1 ?1 2 4n 2

11.由

? ?? ?

f f

(0) (1)

?c ?a

?

b

?

c

? ??

f

(

1 3

)

?

a?
33

b ?c
3

可知

2b ? 3

3f (

1 3

)

?

f

(1)

? (3

3 ?1) f (0) ? 3

3

f

(x)

?

33 2

(x

?

x3)

满足题设,

b

的最大可能值为

33 2

.

12.设 D(x1, y1),E(x2 , y2 ),P(x, y) ,直线 CD 的方程 y ? k(x ? 2) ,则 x2 ? k 2 (x ? 2)2 ? 1 ,所以

所以

x1

?

x2

?

?4k 2 1? k2

,x1x2

?

?1? 4k 2 1? k2

?

?1

?

5 4

( x1

?

x2

)





y1 (x ?1) ? y ? y2 (x ?1) ,

x1 ?1

x2 ?1

y2 ? y1

x2 ? 2 ? x1 ? 2

x ? x2 ?1 x1 ?1 ? x2 ?1 x1 ?1 ? 2x1x2 ? 3x1 ? x2 。

y2 ? y1

x2 ? 2 ? x1 ? 2

3x2 ? x1 ? 4

x2 ?1 x1 ?1 x2 ?1 x1 ?1

把①代入上式,得 x ? 1 . 2

2011 年新知杯上海市高中数学竞赛试题

2011 年 3 月 27 日 上午 8:30——10:30 说明:解答本试题不得使用计算器 一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每题 7 分,后 4 小题每题 8 分)

1.方程组

?? ?

y

x2

?7

x

?12

? 1的解集为

.

?? x ? y ? 1

2.在平面直角坐标系中,长度为 1 的线段 AB 在 x 轴上移动(点 A 在点 B 的左边),点 P 、 Q 的

坐标分别为 ?0,1? 、 ?1, 2? ,则直线 AP 与直线 BQ 交点 R 轨迹的普通方程为 .

3.已知 M 是椭圆 x2 ? y2 ? 1在第一象限弧上的一点,MN ? y 轴,垂足为 N ,当 ?OMN 的面 16 9

积最大时,它的内切圆的半径 r ?

4.已知 ?ABC 外接圆半径为 1,角 A 、 B 、 C 的平分线分别交 ?ABC 外接圆于 A1 、 B1 、 C1 ,



AA1 cos

A 2

?

BB1

cos

B 2

?

CC1

cos

C 2

的值为

.

sin A ? sin B ? sin C

5.设 f ? x? ? a sin ??? x ?1?? ?? ? b3 x ?1 ? 2,其中 a 、b 为实常数,若 f ?lg5? ? 5 ,则 f ?lg20 ?

的值为

.

6.在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,点 A?3, a? , B?3,b? 使 ?AOB ? 450 ,其中 a 、 b 均

为整数,且 a ? b ,则满足条件的数对 ?a,b? 共有

组.

? ? 7.已知圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 4x ? 2 y ?1 ? 0(圆心为 C ),直线 y ? tan100 x ? 2 与圆 C 交

于 A 、 B 两点,则直线 AC , BC 倾斜角之和为

.

8.甲、乙两运动员乒乓球比赛在进行中,甲必须再胜 2 局才最后获胜;乙必须再胜 3 局才最后获

胜.若甲、乙两人每局取胜的概率都为 1 ,则甲最后获胜的概率是

.

2

二、解答题:

9.(本题满分为 14 分)对于两个实数 a 、b , min?a,b? 表示 a 、b 中较小的数,求所有非零实



x

,使

min

? ? ?

x

?

4 x

,

4?? ?

?

8

?

min

? ? ?

x,

1 x

? ? ?

.

10. (本题满分为 14 分)如图,在 ?ABC 中,O 为 BC 中点,点 M ,N 分别在边 AB ,AC 上, 且 AM ? 6 , MB ? 4 , AN ? 4, NC ? 3, ?MON ? 900 .求 ?A 的大小.

? ? 11. (本题满分为 16 分)对整数 k ,定义集合 Sk ? n 50k ? n ? 50?k ?1?, n ? Z ,问 S0 ,S1 ,
S2 ,…, S599 这 600 个集合中,有多少个集合不含完全平方数?

12. (本题满分为 16 分)求所有大于 1 的正整数 n ,使得对任意正实数 x1 , x2 ,…, xn ,都有
不等式 ? x1 ? x2 ? ??? ? xn ?2 ? n? x1x2 ? x2x3 ? ??? ? xnx1 ? .

2011 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题解答及评分参考意见
一. 填空题 (7 '? 4 ? 8'? 4 ? 60')

?1. (0,1),(2, ?1),(?3, 4),(?4,5)? ; 2. y(x-2)=-2;

5.-1;

6. 6;

二.解答题

7. 200o ; 8. 11 . 16

3. 2 ; 2

4. 2;

9.解:当 x ? 0 时, x ? 4 ? 2 x ? 4 ? 4, 当 x ? 0 时, x ? 4 ? ?4 ? 4, 故

x

x

x

min?x

?

4 x

,

4?

=

? 4, ? ???x ?

4 x

x ? 0; , x ? 0.



min

? ? ?

x,

1 x

? ??

=

? ? ? ??

1, x x,

?1 ? x ? 0或x ? 1; x ? ?1或0<x ? 1.

(4’)

所以有以下四种情形:

(1) 当 x ?1时,原不等式为 4 ? 8 , x ? 2 .此时, x ??2, ??? .
x

(2) 当 0 ? x ?1时,原不等式为 4 ? 8x, x ? 1 .此时, x ? (0, 1] . (9’)

2

2

(3) 当 ?1 ? x ? 0 时,原不等式为 x ? 4 ? 8 ? x2 ? 4.此时, x ? (?1, 0) . xx

(4) 当 x ? ?1时, 原不等式为 x ? 4 ? 8x ? x2 ? 4 .此时, x ? (??, ?1].

x

7

综上所述,满足题意的 x 的取值范围为

(??, 0) ? (0, 1]?[2, ??). 2

(14’)

10.解:延长 NO 至 P,使 OP=ON,又 BO=OC,可知 BPCN 为平行四边形,

?BP // AC ,BP=CN=3.

(3’)

连接 MP, Q M 在 NP 的垂直平分线上,

?MP ? MN

(6’)

令 MN=a,则在VAMN 和VMBP 中,由余弦定理得

a2 ? MN 2 ? 62 ? 42 ? 2? 6? 4cos A ? 52 ? 48cos A, (10’) a2 ? MP2 ? 32 ? 42 ? 2?3? 4cos A ? 25 ? 24cos A.

M 4 B

消去 a2 ,得 27 ? 72cos A ? 0 ,

P

于是 cos A ? 3 , ?A ? arccos 3.(14’)

8

8

11.解: Q (x ?1)2 ? x2 ? 2x ?1, 2x ?1 ? 50(x ? N ) ? x ? 24(x ? N ) .

A

6

4

N

3

O

C

(24 ?1)2 ? 625 ? S12 , ? S0 , S1,L , S12 中含有的平方数都不超过 252 ,且每个集合都是由连续 50 个非负整数所组成
的,故每个集合至少含有 1 个平方数. (6’)
S13, S14 ,L , S599 中 , 若 含 有 平 方 数 , 都 不 小 于 262 . 而 当 x ? 26 时 ,2x+1 ? 53, 从 而 S1 3, S 1 ,4L , S 5中9 9,每个集合至多含有 1 个平方数.
另一方面, S599 中最大数是 600?50 ?1 ? 29999 , 1732 ? 29999 ? 1742,? S13, S14 ,L , S599 中含有平方数.

则不超过1732 .

(12’)

? S13, S14 ,L , S599 中有且仅有 173-25=148 个集合含有平方数.

综上所述, S0 , S1,L , S599 中,

有 600-13-148=439 个集合不含有平方数.

(16’)

12.解:当 n=2 时,不等式为 (x1 ? x2 )2 ? 2(x1x2 ? x2 x1), 即

(x1 ? x2 )2 ? 0, 故 n=2 满足题意.

(2’)

当 n=3 时,不等式 (x1 ? x2 ? x3 )2 ? 3(x1x2 ? x2 x3 ? x3x1),

等价于 (x1 ? x2 )2 ? (x2 ? x3 )2 ? (x3 ? x1)2 ? 0,
故 n=3 满足题意. 当 n=4 时,不等式为
(x1 ? x2 ? x3 ? x4 )2 ? 4(x1x2 ? x2 x3 ? x3x4 ? x4 x1)

(5’)

? (x1 ? x2 ? x3 ? x4 )2 ? 0 .故 n=4 满足题意.

(8’)

下证当 n>4 时,不等式不可能对任意正实数 x1, x2 ,L , xn 都成立.

取 x1 ? x2 ? 1, x3 ? x4 ? L

? xn

? 1, 5(n ? 2)

则原不等式为 [1 ? 1 ?

(n

?

2)

?

1 5(n ?

]2 2)

?

n(1 ?

2 5(n ?

2)

?

n?3 25(n ? 2)2

? 121 ? n ? 2n ? n(n ? 3) ,

25

5(n ? 2) 25(n ? 2)2

这与 121 ? 5 ? n 矛盾. 25
所以满足题意的正整数 n 为 2,3,4.

(16’)

2011 年湖南省高中数学竞赛试卷 A 卷

注意事项:1、首先填写所在县(市)学校、年级和姓名 2、用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔书写 3、本试卷共 14 题,满分 150 分



题号

1~10

11



12

13

分数

复核人

总分 14

得分 评卷人

一、填空题(本大题共 10 小题,每小题 7 分,满分 70 分)

1、已知函数

f(x)=x3+ax2+x+1(a∈R)在区间

(?

2 3

,

?

1)内为减函数,在区间(3

1 3

,+?)

内为增函数,则a=

2、设 A、B 是两个集合,称(A,B)为一个“对子”,当 A≠B 时,将(A,B)和(B,A)视为

不同的“对子”,满足集合 AUB={1,2,3,4}的不同对子(A,B)的个数为

3、 设函数f (x) ? x2 ? x ? m(m ? R? ),若f (t) ? 0,则你对函数y ? f (x)在(t,t+1)中零点

存在情况的判断是

4、已知椭圆

C:

x2 2

?

y2

? 1的两个焦点分别为

F1、F2,点

P(x0,y0)满足 0

?

x2 0
2

?

y02

?1,

则|PF1|+|PF2|的取值范围是

5、已知复数 z1 满足 (z1 ? 2)(1 ? i) ?1 ? i(i为虚数单位), 复数z2的虚部为2,

则z1 z2为实数的条件是z2 ?

6、已知数列{an}满足递推关系式an?1

? 2an

?

2n

?1(n

?

N

?

),



? ? ?

an +? 2n

? ? ?

为等差数列,则λ



取值是

7、过函数 f (x) ? x ? cos x ? 3 sin x 的图象上的一点的切线的斜率为 k,则 k 的取值范围是

8 、 已 知 平 面 内 三 点 A 、 B 、 C 满 足 | A B?| 3 , B| C? | 4C, |A? 则 | 5 ,

AB BC ? BC CA ? CA AB 的值为

9、边长为 4 的正方形 ABCD 沿 BD 折成 60o 的二面角,则 BC 中点与点 A 的距离为 10、规定一双筷子由同色的两支组成,现黑、白、黄筷子各 8 支,不用眼睛看,任意地取出筷子

来,使得至少有两双筷子不同色,则至少要取出

只筷子才能做得到。

二、解答题(本大题共 4 个小题,满分 80 分)

得分 评卷人

11、 (本小题满分 20 分) 如果将抛物线的焦点所在的区域称为抛物线的内部,试问:在允许将抛物线平移或旋转的条
件下,平面内 2011 条抛物线的内部能否盖住整个平面?请作出判断,并证明你的结论。

得分 评卷人

12、 (本小题满分 20 分)

设 ak

?

1 k2

?

k

1 2?

1

?

1 k2 ?

2

?

?

(k

1 ? 1)2

?1

,求证:2011? ( 2 a2010

,

2) a2011

.

得分 评卷人

13、 (本小题满分 20 分)

(1)、设实数 t>0,求证: (1? 2) ln(1? t) ? 2 t

(2)、从编号为 1 到 100 的 100 张卡片中,每次随机地抽取张,然后放回;用这种方式连续抽取

20

次,设抽的

20

个号码互不相同的概率为

p,求证:

p

?

1 e2

得分 评卷人

14、 (本小题满分 20 分) 如图所示,已知由△ABC 的顶点 A 引出的两条射线 AX、AY 分别交 BC 于点 X、Y,
求证: AB2 CX CY ? AC2 BX BY 成立的充要条件是∠BAX=∠CAY。
A

www.zxsx.c om

B

X

Y

C