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东北三省四市教研联合体2016届高三数学第二次模拟考试试题 文(扫描版)


东北三省四市教研联合体 2016 届高三数学第二次模拟考试试题 文(扫描版)

1

2

3

2016 年二模文科数学答案
4

1 B 13、4 14、 6

2 A

3 B

4 B

5 C

6 A

7 C

8 B

9 D

10 D

11 C

12 C

15、①② 16、1 17. (I)设数列 {a n } 的公差为 d ,数列 {bn } 的公比为 q 由题意可得 a1 ? 9, d ? ?2, ????(2 分)

an ? 11 ? 2n ????(3 分)
b1 ? q ? 1 , ????(5 分) 2
n

?1? bn ? ? ? ????(6 分) ?2?
(II) | an |?| 11? 2n | ,????(7 分) 当 n ? 5时,Tn ? 10n ? n 2 ,????(9 分) 当 n ? 6时,Tn ? n 2 ? 10n ? 50 ,????(11 分)
2 ? ?10n ? n , n ? 5 所以 Tn ? ? 2 ????(12 分) ? ?n ? 10n ? 50, n ? 6

18. (I)用分层抽样的方法,每个志愿者被抽中的概率是 (3 分) ∴女志愿者被选中有 18 ?

10 1 ? , 30 3

????

1 ? 6 (人) ; ????(6 分) 3

(II)喜欢运动的女志愿者有 6 人, 分别设为 A、B、C、D、E、F,其中 A、B、C、D 懂得医疗救护, 则从这 6 人中任取 2 人有 AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共 15 种取法, ????(8 分) 其中两人都懂得医疗救护的有 AB,AC,AD,BC,BD,CD,共 6 种. ????(10 分) 设“抽出的志愿者中 2 人都能胜任医疗救护工作”为事件 A,
5

则 P ( A) ?

6 2 ? . 15 5

????(12 分)

19. (Ⅰ)连接 ED , MN ∥ ED ????(2 分) 又 MN ? 平面EFDA, ED ? 平面EFDA 所以 MN ∥ 平面EFDA????(5 分) (Ⅱ)由题意 平面EFDA⊥ 平面EFCB

平面EFDA? 平面EFCB ? EF , CF ⊥ EF , CF ? 平面EFCB
所以 CF ⊥ 平面EFDA????(8 分) 又 V M ? EFDA ?

1 Vc ? EFDA ????(9 分) 2

S EFDA ? 4 ????(10 分)
所以 VM ? EFDA ? 2 ????(12 分) 20. (Ⅰ) 解:设 C ( x, y), A(m, n)

x?m ? 2? ? ? 2 ????(1 分) ? ?0 ? y ? n ? 2 ? ?m ? 4 ? x 所以 ? ????(2 分) ?n ? ? y (m ? 4) 2 又n ? ? ????(3 分) 4 2 所以所求方程为 x ? 4 y ????(4 分) (Ⅱ)假设存在点 P( x0 , y0 )
设 A( x1 , 联立 ?

x12 x2 ) , B( x 2 , 2 ) ,直线 AB 的方程为 y ? kx ? 1 4 4


? y ? kx ? 1
2 ?x ? 4 y

2 得 x ? 4kx ? 4 ? 0 ,????(5 分)

6

则?

? x1 ? x 2 ? 4k ????(6 分) ? x1 x 2 ? ?4
x12 x1 ? ( x ? x1 ) 4 2
2

切线 PA 的方程为 y ?

点 P( x0 , y0 ) 代入化简得 x1 ? 2x1 x0 ? 4 y0 ? 0 同理得 x2 ? 2x2 x0 ? 4 y0 ? 0 ????(7 分) 所以知 x1 , x 2 是方程 x
2
2

? 2 x0 x ? 4 y0 ? 0 的两根????(9 分)

则 x1 x2 ? 4 y0 ? ?4 ????(10 分) 所以 y0 ? ?1 ,代入圆方程得 x0 ? 0 ????(11 分) 所以存在点 P(0,?1) ????(12 分)

? ?? . ????(2 分) 21. 解: (I)因为函数 f ?x ? 的定义域为 ?0,
1 1? x ?1 ? ,. ????(3 分) x x 1 1? x ? 0 ,得 0 ? x ? 1 令 f ?? x ? ? ? 1 ? x x 1 1? x ? 0 ,得 x ? 1 . ????(4 分) 令 f ?? x ? ? ? 1 ? x x f ??x ? ?

1? , 所以函数 f ?x ? 的单调递增区间为 ?0, , ? ? ?. ????(5 分) 函数 f ?x ? 的单调递减区间为 ?1
(II)证明:根据题意, g ? x ? ? ln x ?

1 ? m( x ? 0) , 2x

因为 x1 , x2 是函数 g ? x ? ? ln x ?

1 ? m 的两个零点, 2x

所以 ln x1 ?

1 1 ? m ? 0 , ln x2 ? ?m ?0. 2 x1 2 x2 x1 1 1 , ? ? x2 2 x2 2 x1
????7 分
7

两式相减,可得 ln

x1 x ?1 1? 2 x x1 x ? x2 x x ? x2 即 ln 1 ? 1 ,故 x1 x2 ? 1 .那么 x1 ? 2 , x2 ? . x1 x1 x1 x2 2 x2 x1 2 ln 2 ln 2 ln x2 x2 x2

1 1 1? t? x1 t ?1 t ? t . 令t ? ,其中 0 ? t ? 1 ,则 x1 ? x2 ? ? x2 2ln t 2ln t 2ln t
构造函数 h(t ) ? t ? ? 2 ln t (0 ? t ? 1) ,

1 t

?????10 分

(t ? 1) 2 则 h '(t ) ? . t2
因为 0 ? t ? 1 ,所以 h '(t ) ? 0 恒成立,故 h(t ) ? h(1) ,即 t ? ? 2 ln t ? 0 .

1 t

1 t ? 1 ,故 x ? x ? 1 . 可知 1 2 2 ln t t?

?????12 分

22. (Ⅰ)由题意可知 ?CBD ? ?BDC ????(1 分) 所以 ?CAB ? ?DAC ????(2 分) 由角分线定理可知, AB ? BM , AD MD 即 AB ? MD ?
AD ? BM

得证. ????(4 分)

(Ⅱ)由题意 BM ? CP ,即 AB ? CP ,. ????(4 分) MD CB AD CB 由四点共圆有 ?BCP ? ?BAD . ????(5 分) 所以 ?BCP ∽ ?BAD .. ????(6 分) 所以 ?CBP ? ?ADB . ????(7 分) 又 ?CBP ? ?BAC , ?ACB ? ?ADB . ????(8 分) 所以 ?BAC ? ?ACB . ????(9 分) 所以 AB ? AC . ????(10 分) 23. 解:(I)曲线 C 的直角坐标方程为

x2 y2 ? ? 1 ????(1 分) 12 4

左焦点 F (?2 2 ,0) 代入直线 AB 的参数方程

8

得 m ? ?2 2 ????(2 分)

? 2 t ? x ? ?2 2 ? ? 2 直线 AB 的参数方程是 ? ( t为参数 ) ?y ? 2 t ? 2 ?
代入椭圆方程得 t ? 2t ? 2 ? 0 ????(3 分)
2

所以 | FA | ? | FB | =2????(4 分) (Ⅱ) 设椭圆 C 的内接矩形的顶点为 (2 3 cos? ,2 sin ? ) , (?2 3 cos? ,2 sin ? ) ,

(2 3 cos? ,?2 sin ? ) , (?2 3 cos ? ,?2 sin ? )( 0 ? ? ?

? ) ????(6 分) 2

所以椭圆 C 的内接矩形的周长为 8 3 cos? ? 8 sin ? = 16 sin(? ? (8 分) 当? ?

?
3

) ????

? ? ? ? 时,即 ? ? 时椭圆 C 的内接矩形的周长取得最大值 3 2 6
????(2 分)

16????(10 分) 24. 解析:(I)错误!未找到引用源。,

所以 x ? 1 ? x ? 2 ? 1 ,所以 t 的取值范围为 ? ??,1? ????(3 分)

T ? {t | t ? 1} ????(4 分)
(Ⅱ)由(I)知,对于 ?t ? T ,不等式 log 3 m ? log 3 n ? t 恒成立, 只需 log3 m ? log3 n ? tmax , 所以 log 3 m ? log 3 n ? 1 , ????(6 分)

又因为 m ? 1, n ? 1 ,所以 log 3 m ? 0, log 3 n ? 0 . ????(7 分) 又
9

? log m ? log3 n ? ? log3 mn ? 1 ? log3 m ? log3 n ? ? 3 ? log3 m= log3 n时,取等号,此时m ? n ? ? ? 2 4 ? ?
2 2

, 所以 ? log 3 mn ? ? 4 ,????(8 分)
2

所以 log 3 mn ? 2 , mn ? 9 ,????(9 分) 所以 m ? n ? 2 mn ? 6 ,即 m ? n 的最小值为 6 此时m=n=3 . ????(10 分)

?

?

10


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