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2016年高考数学文试题立体几何分类汇编


2016 年高考数学文试题分类汇编 立体几何

一、选择题 1、 (2016 年山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体 的体积为

(A) +

1 2 π 3 3

(B) +

1 3

2 π 3

(C) +

1 3

2 π 6

(D) 1+

2 π 6

2、 (2016 年上海高考)如图,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,E、F 分别为 BC、BB1 的中点, 则下列直线中与直线 EF 相交的是( (A)直线 AA1 (B)直线 A1B1 ) (C)直线 A1D1 (D)直线 B1C1

【答案】D 3、(2016 年天津高考)将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体 的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为( )

【答案】B 4、(2016 年全国 I 卷高考)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条 28π 互相垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是 3

(A)17π (B)18π (C)20π (D)28π 【答案】A 5 、 ( 2016 年 全 国 I 卷 高 考 ) 如 平 面 ? 过 正 方 体 ABCD—A1B1C1D1 的 顶 点 A ,

? //平面CB1D1 , ? ? 平面ABCD ? m ,? ? 平面ABB1 A1 ? n ,则 m,n 所成角的正弦值为
(A)

1 3 2 3 (B) (C) (D) 3 2 2 3

【答案】A

6、(2016 年全国 II 卷高考)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何 体的表面积为( )

(A)20π 【答案】C

(B)24π

(C)28π

(D)32π

7、(2016 年全国 III 卷高考)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实现画出的是某多 面体的三视图,则该多面体的表面积为

(A) 18 ? 36 5 【答案】B

(B) 54 ? 18 5

(C)90

(D)81

8、(2016 年浙江高考)已知互相垂直的平面 ?,? 交于直线 l.若直线 m,n 满足 m∥α,n ⊥β,则( A.m∥l 【答案】C ) B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n

二、填空题 1、(2016 年北京高考)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为___________.

【答案】 . 2、(2016 年四川高考)已知某三菱锥的三视图如图所示,则该三菱锥的体积 。

3 2

【答案】

3 3

3、(2016 年浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是 ______cm2,体积是______cm3.

【答案】80 ;40.

三、解答题 1、 (2016 年北京高考) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PC⊥平面 ABCD,AB∥DC, DC ? AC (I)求证: DC ? 平面PAC ; (II)求证: 平面PAB ? 平面PAC ; (III)设点 E 为 AB 的中点,在棱 PB 上是否存在点 F,使得 ?? // 平面 C?F ?说明理由.

解:(I)因为 ? C ? 平面 ?? CD , 所以 ?C ? DC . 又因为 DC ? ?C , 所以 DC ? 平面 ??C . (II)因为 ?? //DC , DC ? ?C , 所以 ?? ? ?C . 因为 ? C ? 平面 ?? CD , 所以 ?C ? ?? . 所以 ?? ? 平面 ??C . 所以平面 ??? ? 平面 ??C . (III)棱 ?? 上存在点 F ,使得 ?? // 平面 C?F .证明如下: 取 ?? 中点 F ,连结 ? F , C ? , CF . 又因为 ? 为 ?? 的中点, 所以 ?F//?? . 又因为 ?? ? 平面 C?F , 所以 ?? // 平面 C?F .

2、 (2016 年江苏省高考)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别为 AB,BC 的中点, 点 F 在侧棱 B1B 上,且 B1D ? A 1F , AC 1 1 ? A 1B 1.

求证:(1)直线 DE∥平面 A1C1F; (2)平面 B1DE⊥平面 A1C1F.

(2)在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 平面A1B1C1 因为 A1C1 ? 平面 A1 B1C1 ,所以 AA1 ? A1C1 又因为 A1C1 ? A1B1,AA1 ? 平面ABB1 A1 , A1B1 ? 平面ABB1 A1 , A1B1 ? AA1 ? A1 所以 A1C1 ? 平面 ABB1 A1 因为 B1 D ? 平面 ABB1 A1 ,所以 A1C1 ? B1 D 又因为 B1D ? A1F,AC 1 1 ? 平面A 1 C1F, A 1 F ? 平面A 1 C1F, AC 1 1?A 1F ? A 1 所以 B1D ? 平面A1 C1F 因为直线 B1D ? 平面B1DE ,所以 平面B1 DE ? 平面A1C1 F .

3、(2016 年山东高考)在如图所示的几何体中,D 是 AC 的中点,EF∥DB.

(I)已知 AB=BC,AE=EC.求证:AC⊥FB; (II)已知 G,H 分别是 EC 和 FB 的中点.求证:GH∥平面 ABC. 解析: (Ⅰ) ) 证明: 因 EF // BD , 所以 EF 与 BD 确定一个平面, 连接 DE , 因为 AE ? EC, E 为 AC 的中点, 所以 DE ? AC ; 同理可得 BD ? AC , 又因为 BD ? DE ? D , 所以 AC ? 平面 BDEF ,因为 FB ? 平面 BDEF , AC ? FB 。 (Ⅱ)设 FC 的中点为 I ,连 GI , HI ,在 ?CEF 中, G 是 CE 的中点,所以 GI // EF ,又

EF // DB , F B 所以 GI // DB ; 在 ?C

H 是 FB 的中点, 中, 所以 HI // BC , 又 GI ? HI ? I ,

所以平面 GHI // 平面 ABC ,因为 GH ? 平面 GHI ,所以 GH // 平面 ABC 。
E F

H G I A D C B

4、(2016 年上海高考)将边长为 1 的正方形 AA1O1O(及其内部)绕 OO1 旋转一周形成圆柱,
AC 长为 如图, ?

5? ? ,? A1B1 长为 ,其中 B1 与 C 在平面 AA1O1O 的同侧. 6 3

(1)求圆柱的体积与侧面积; (2)求异面直线 O1B1 与 OC 所成的角的大小. 【解析】(1)由题意可知,圆柱的高 h ? 1 ,底面半径 r ? 1 .计算体积与侧面积即得. (2)由 ?1?1 //?? 得 ?C?? 或其补角为 ?1?1 与 ? C 所成的角,计算 ?C?? 即得. 试题解析:(1)由题意可知,圆柱的母线长 l ? 1 ,底面半径 r ? 1 . 圆柱的体积 V ? ?r 2l ? ??12 ?1 ? ? , 圆柱的侧面积 S ? 2?rl ? 2??1?1 ? 2? . (2)设过点 ?1 的母线与下底面交于点 ? ,则 ?1?1 //?? , 所以 ?C?? 或其补角为 ?1?1 与 ? C 所成的角.

? ? ,可知 ???? ? ??1?1?1 ? , 3 3 ? C 长为 5 ? ,可知 ???C ? 5? , ?C?? ? ???C ? ???? ? ? , 由? 6 6 2 ? 所以异面直线 ?1?1 与 ? C 所成的角的大小为 . 2

? ? 长为 由? 1 1

5、(2016 年四川高考)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°, BC=CD=

1 AD。 2

(I)在平面 PAD 内找一点 M,使得直线 CM∥平面 PAB,并说明理由; (II)证明:平面 PAB⊥平面 PBD。 【解析】

(I)取棱 AD 的中点 M(M∈平面 PAD),点 M 即为所求的一个点.理由如下: 因为 AD‖BC,BC=

1 AD,所以 BC‖AM, 且 BC=AM. 2

所以四边形 AMCB 是平行四边形,从而 CM‖AB. 又 AB ? 平面 PAB,CM ? 平面 PAB, 所以 CM∥平面 PAB. (说明:取棱 PD 的中点 N,则所找的点可以是直线 MN 上任意一点) (II)由已知,PA⊥AB, PA ⊥ CD, 因为 AD∥BC,BC=

1 AD,所以直线 AB 与 CD 相交, 2

所以 PA ⊥平面 ABCD. 从而 PA ⊥ BD. 因为 AD∥BC,BC=

1 AD, 2

所以 BC∥MD,且 BC=MD. 所以四边形 BCDM 是平行四边形. 所以 BM=CD=

1 AD,所以 BD⊥AB. 2

又 AB∩AP=A,所以 BD⊥平面 PAB. 又 BD ? 平面 PBD, 所以平面 PAB⊥平面 PBD.

6、 (2016 年天津高考) 如图, 四边形 ABCD 是平行四边形, 平面 AED⊥平面 ABCD, EF||AB, AB=2,BC=EF=1,AE= 6 ,DE=3,∠BAD=60? ,G 为 BC 的中点. (Ⅰ)求证:FG||平面 BED; (Ⅱ)求证:平面 BED⊥平面 AED; (Ⅲ)求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值.

解析:(Ⅰ)证明:取 BD 的中点为 O ,连接 OE, OG ,在 ?BCD 中,因为 G 是 BC 的中 点,所以 OG // DC 且 OG ?

, 即四边形 OGFE 是平行四边形, 所以 FG // OE , 又 FG ? 平面 BED ,OE ? 平面 BED , 所以 FG // 平面 BED . (Ⅱ)证明:在 ?ABD 中, AD ? 1, AB ? 2, ?BAD ? 600 ,由余弦定理可 BD ? 3 ,进
0 而可得 ?ADB ? 90 , 即 BD ? AD , 又因为平面 AED ? 平面 ABCD, BD ? 平面 ABCD ;

EF ? OG

1 DC ? 1 ,又因为 EF // AB, AB // DC ,所以 EF // OG 且 2

平面 AED ? 平面 ABCD ? AD ,所以 BD ? 平面 AED .又因为 BD ? 平面 BED ,所以平 面 BED ? 平面 AED . (Ⅲ)解:因为 EF // AB ,所以直线 EF 与平面 BED 所成角即为直线 AB 与平面 BED 所 成角.过点 A 作 AH ? DE 于点 H , 连接 BH , 又因为平面 BED ? 平面 AED ? ED , 由 (Ⅱ) 知 AH ? 平面 BED ,所以直线 AB 与平面 BED 所成角即为 ?ABH .在 ?ADE 中,

AD ? 1, DE ? 3, AE ? 6 ,由余弦定理可得 cos ?ADE ?

2 5 ,所以 sin ?ADE ? ,因 3 3

此 AH ? AD ? sin ?ADE ?

5 AH 5 H B 中,sin ?ABH ? , 在 Rt ?A , 所以直线 AB ? 3 AB 6 5 6

与平面 BED 所成角的正弦值为

7、(2016 年全国 I 卷高考)如图,已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形,PA=6,顶 点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D,D 在平面 PAB 内的正投影为点 E,连结 PE 并延长交 AB 于点 G.

(I)证明:G 是 AB 的中点; (II)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由),并求四面体 PDEF 的体积.

P

A G

E D B C

(II)在平面 PAB 内,过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F , F 即为 E 在平面 PAC 内的 正投影. 理 由 如 下 : 由 已 知 可 得 PB ? PA , PB ? PC , 又 EF / / PB , 所 以

E F? P , A

E ? F ,因此 PC EF ? 平面 PAC ,即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影.

连结 CG ,因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D ,所以 D 是正三角形 ABC 的中心. 由(I)知, G 是 AB 的中点,所以 D 在 CG 上,故 CD ?

2 CG. 3

由 题 设 可 得 PC ? 平 面 PAB , DE ? 平 面 PAB , 所 以 DE / / PC , 因 此

PE ?

2 1 PG, DE ? PC. 3 3

由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA ? 6 ,可得 DE ? 2, PE ? 2 2. 在等腰直角三角形 EFP 中,可得 EF ? PF ? 2. 所以四面体 PDEF 的体积 V ?

1 1 4 ? ? 2? 2? 2 ? . 3 2 3

8、 (2016 年全国 II 卷高考) 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ,点 E 、F 分别在 AD , CD 上, AE ? CF , EF 交 BD 于点 H ,将 ?DEF 沿 EF 折到 ?D ' EF 的位置. (Ⅰ)证明: AC ? HD ' ; (Ⅱ)若 AB ? 5, AC ? 6, AE ?

5 , OD ' ? 2 2 ,求五棱锥 D? ? ABCEF 体积. 4

试题解析:(I)由已知得, AC ? BD, AD ? CD. 又由 AE ? CF 得

AE CF ? ,故 AC / / EF . AD CD

由此得 EF ? HD, EF ? HD? ,所以 AC / / HD?. . (II)由 EF / / AC 得

OH AE 1 ? ? . DO AD 4

由 AB ? 5, AC ? 6 得 DO ? BO ? 所以 OH ? 1, D?H ? DH ? 3.

AB2 ? AO2 ? 4.

于是 OD? ? OH ? (2 2) ? 1 ? 9 ? D?H , 故 OD? ? OH .
2 2 2 2 2

由(I)知 AC ? HD? ,又 AC ? BD, BD ? HD? ? H , 所以 AC ? 平面 BHD?, 于是 AC ? OD?. 又由 OD? ? OH , AC ? OH ? O ,所以, OD? ? 平面 ABC.

EF DH 9 ? 得 EF ? . AC DO 2 1 1 9 69 . 五边形 ABCFE 的面积 S ? ? 6 ? 8 ? ? ? 3 ? 2 2 2 4
又由 所以五棱锥 D '? ABCEF 体积 V ?

1 69 23 2 ? ?2 2 ? . 3 4 2

PA ? 平面 ABCD , 9、 (2016 年全国 III 卷高考) 如图, 四棱锥 P ? ABC 中, AD ? BC ,

AB ? AD ? AC ? 3 ,PA ? BC ? 4 ,M 为线段 AD 上一点,AM ? 2 MD ,N 为 PC
的中点.

(I)证明 MN ? 平面 PAB ; (II)求四面体 N ? BCM 的体积.

(Ⅱ)因为 PA ? 平面 ABCD , N 为 PC 的中点, 所以 N 到平面 ABCD 的距离为

1 PA . 2

....9 分

取 BC 的中点 E ,连结 AE .由 AB ? AC ? 3 得 AE ? BC , AE ? 由 AM ∥ BC 得 M 到 BC 的距离为 5 ,故 S ?BCM ?

AB2 ? BE2 ? 5 .

1 ? 4? 5 ? 2 5 . 2

所以四面体 N ? BCM 的体积 VN ? BCM ?

1 PA 4 5 . ? S ?BCM ? ? 3 2 3

.....12 分

10、 (2016 年浙江高考) 如图, 在三棱台 ABC-DEF 中, 平面 BCFE⊥平面 ABC, ∠ACB=90°, BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (I)求证:BF⊥平面 ACFD; (II)求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值.

解析:(1)延长 AD, BE , CF 相交于一点 K ,如图所示, 因为平面 BCFE ? 平面 ABC ,且 AC ? BC ,所以 AC ? 平面 BCK ,因此 BF ? AC , 又因为 EF / / BC , BE ? EF ? FC ? 1 , BC ? 2 ,所以 ?BCK 为等边三角形,且 F 为 CK 的中点,则 BF ? CK , 所以 BF ? 平面 ACFD . (2)因为 BF ? 平面 ACK ,所以 ?BDF 是直线 BD 与平面 ACFD 所成的角, 在 Rt ?BFD 中, BF ? 3, DF ?

21 3 ,得 cos ?BDF ? , 7 2
21 . 7

所以直线 BD 与平面 ACFD 所成的角的余弦值为


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