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广东省中山市08-09学年高二下学期期末考试


广东省高二下学期期末考试

数学(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题) 、第 II 卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1、答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选 涂其它答案,不能答在试题上。 3、不可以使用计算器。 4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交。

回 归 分 析 有 关 公 式 : r=

∑ (x
i =1 n i =1
n

n

i

? x)( yi ? y )


n i =1
n



∑ (x
i =1 n

n

i

? x)( yi ? y )
i

b =

∑ ( xi ? x)2 ? ∑ ( yi ? y )2
∑ (x
i =1 n n 2 n i i =1 i =1 i =1 i =1

∑ (x
i =1
n i =1

, a = y ?bx ,





? x)2
2

? x)( yi ? y ) = ∑ xi yi ? nx y , ∑ ( xi ? x) 2 = ∑ xi2 ? nx , ∑ ( yi ? y ) 2 = ∑ yi2 ? n y .

独立性检验有关数据: P(K2≥ k0) k0 0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

第 I 卷(选择题

共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合 题目要求的) 1. i 是虚数单位,

A. ? 1 B.1 C. ? i D. i 2.下面几种推理是合情推理的是 (1)由圆的性质类比出球的有关性质; (2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是 180° ,归纳出所有三角形的内角和都是 180° ; (3)某次考试张军成绩是 100 分,由此推出全班同学成绩都是 100 分; (4)三角形内角和是 180° ,四边形内角和是 360° ,五边形内角和是 540° ,由此得凸多边形内角和是 ( n ? 2 ) ? 180° A. (1) (2) B. (3) (1) C. (1) (4) (2) 3.对任意实数 a、b、c,在下列命题中,真命题是 A.“ ac > bc ”是“ a > b ”的必要条件 B.“ ac = bc ”是“ a = b ”的必要条件 C.“ ac > bc ”是“ a > b ”的充分条件 D.“ ac = bc ”是“ a = b ”的充分条件 D. (4) (2)

i 3 (i + 1) = i ?1

4.两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模型,它们的相关指数 R 如下,其中拟合效果最好 的模型是 A.模型 1 的相关指数 R 为 0.98 C.模型 3 的相关指数 R 为 0.50 5.已知 x 与 y 之间的一组数据: x y A.点 ( 2, 2 ) 0 1 B.点 (1.5, 0 )
2

2

2

B.模型 2 的相关指数 R 为 0.80 D.模型 4 的相关指数 R 为 0.25 1 3 2 5 C.点 (1, 2 ) 3 7 D.点 (1.5, 4 )
2

2

2

? 则 y 与 x 的线性回归方程为 y =bx+a 必过

6.若由一个 2*2 列联表中的数据计算得 k =4.013,那么有( )把握认为两个变量有关系 A.95% B.97.5% C.99% D.99.9% 开始 7.下列程序框图中,输出的结果是 A.5 B.10 C.20 D.60 a=5,s=1 8.中心在坐标原点,离心率为

5 的双曲线 3

的焦点在 y 轴上,则它的渐近线方程为

a≥4




5 x 4 4 C. y = ± x 3
A. y = ±

4 x 5 3 D. y = ± x 4
B. y = ±

s = s×a
a = a ?1

输出 s

2 9.抛物线 y = 4 x 上一点 P 到焦点 F 的距

结束

离是 10,则点 P 的坐标是 A. ± 6,9 ) ( B. 9,±6 ) ( C. (9,6) D. (6,9)

10.若函数 f(x)=x3-3a2x+1 的图象与直线 y=3 只有一个公共点,则实数 a 的取值范围为 A. (? ∞,+∞ ) B. (? ∞,1) C. (? 1,+∞ ) D. (-1,1)

第 II 卷(非选择题共 100 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11. 已知复数 ( m 2 ? 5m + 6 ) + ( m 2 ? 3m ) i 是纯虚数,则实数 m =
3 2

. .

12.已知函数 f(x)=x -ax +1 在区间(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值范围是

13 . 从 1 = 1,1 ? 4 = ? (1 + 2 ) ,1 ? 4 + 9 = 1 + 2 + 3,1 ? 4 + 9 ? 16 = ? (1 + 2 + 3 + 4 ) LL 概 括 出 第 n 个 式 子 为

___________. 14.从以下二个小题中选做一题(请回答且只能回答其中一个,回答两个按得分最低的记分) . (1) ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 已 知 曲 线 C1 、 C2 的 极 坐 标 方 程 分 别 为 ρ cos θ = 3 ,

ρ = 4 cos θ ? ρ ≥ 0, 0 ≤ θ <

? ?

π?

? ,则曲线 C1 、 C2 交点的极坐标为 2?



(2)(几何证明选讲选做题)已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PA=2.AC 是圆 O 的直径,PC 与圆 O 交于点 B, . PB=1,则圆 O 的半径 R=

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 80 分) 15.(本题满分 13 分) 当实数 m 取何值时,复平面内表示复数 z = m ? 8m + 15 + m ? 5m ? 14 i 的点
2 2

(

) (

)

(1)位于第四象限? (2)位于第一、三象限? (3)位于直线 y = x 上?

16. (本题满分 13 分) 一台机器使用的时间较长,但还可以使用,它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点,每小时生 产有缺点零件的多少,随机器的运转的速度而变化,下表为抽样试验的结果: 16 14 12 8 转速 x(转/秒) 11 9 8 5 每小时生产有缺点的零件数 y(件) (1)利用散点图或相关系数 r 的大小判断变量 y 对 x 是否线性相关?为什么? (2)如果 y 对 x 有线性相关关系,求回归直线方程; (3)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺点的零件最多为 10 个,那么机器的运转速度应控制在什么 范围内?(最后结果精确到 0.001.参考数据: 656.25 ≈ 25.617 , 16 × 11 + 14 × 9 + 12 × 8 + 8 × 5 = 438 ,
162 + 142 + 122 + 82 = 660 , 112 + 92 + 82 + 52 =291) .

17. (本题满分 13 分)

OA / OB / OC / 已知 O 是 ? ABC 内任意一点, 连结 AO , , 并延长交对边于 A , , , BO CO B C 则 + + = 1, AA / BB / CC /
/ /
/

这 是 平 面 几 何 中 的 一 个 命 题 , 其 证 明 方 法 常 采 用 “ 面 积 法 ” :

OA / OB / OC / S ?OBC S ?OCA S ?OAB S ?ABC + + = + + = = 1 .运用类比猜想,对于空间四面体存在什么类似 AA / BB / CC / S ?ABC S ?ABC S ?ABC S ?ABC
的命题?并用“体积法”证明. C/ O B 18. (本题满分 13 分) 点 P 是椭圆 16 x 2 + 25 y 2 = 1600 上一点, F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,又知点 P 在 x 轴上方, F2 为椭圆的右 焦点,直线 PF2 的斜率为 ? 4 3 ,求 ?PF1 F2 的面积. A/ C A B/

19. (本题满分 14 分) 如右图,某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20km,CB =10km , 为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界) ,且与 A、B 等距离的一点 O 处建造一个污 水处理厂,并铺设排污管道 AO、BO、OP ,设排污管道的总长度为 y km.

(1)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO= θ (rad),将 y 表示成 θ 的函数;②设 OP = x (km) ,将 y 表示成 x 的函数. (2)请选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使铺设的排污管道总长度最短. D P O C

20. (本题满分 14 分) 已知f(x)= a x+lnx,x∈(0,e], g ( x ) = (1)若 a =-1,求 f(x)的极值;

A

B

ln x ,其中e=2.71828…是自然对数的底数, a ∈R. x

1 ; 2 (3)是否存在实数 a ,使 f(x)的最大值是-3,如果存在,求出 a 的值;如果不存在,说明理由.

(2)求证:在(1)的条件下, f ( x) < ? g ( x) ?

中山市高二级 2008—2009 学年度第二学期期末统一考试

数学科试卷(文科)参考答案
一、选择题 1 题号 答案 A 2 C 3 B 4 A 5 D 6 A 7 C 8 D 9 B 10 D

二、填空题 11. m =2. 12.a≥3. 13. 1 ? 4 + 9 ? 16 + L + (? 1) 14. (1) ? 2 3,
n +1

n 2 = (? 1)

n +1

? ?

π?

n(n + 1) . 2

? 6?

(2) 3

三、解答题: 15. (本题满分 13 分)

? 2 ?m ? 8m + 15 > 0 解: (1)由 ? , ?m 2 ? 5m ? 14 < 0 ?
得?

?(m ? 3)(m ? 5) > 0 ?m > 5或m < 3 即? ?(m ? 7)(m + 2) < 0 ?? 2 < m < 7

∴ ? 2 < m < 3或5 < m < 7
(2)由 m 2 ? 8m + 15 m 2 ? 5m ? 14 > 0 得

(

)(

)

(m ? 3)(m ? 5)(m ? 7)(m + 2) > 0 ∴ m < ?2 或 3 < m < 5 或 m > 7
(3)由 m ? 8m + 15 = m ? 5m ? 14 得 ? 3m = ?29
2 2

∴ m=

29 3

16. (本题满分 13 分) 解: (1) x = 12.5 , y = 8.25 ,

∑ (x
n i =1

i

? x y i ? y = 25.5

)(

)

∑ (x
n i =1

i

?x

) ∑ (y
2 n i =1

i

?y

)

2

= 656.25 ≈ 25.617

∴ r ≈ 0.995 > 0.75 ,y 与 x 有线性性相关关系.

(2)解:

∑ (x
n i =1

i

?x

)

2

= 35

? ? ? ∴ b = 0.728571 , a = y ? bx = ?0.857138
∴回归直线方程为: y = 0.729 x ? 0.857 (3) 0.729 x ? 0.857 ≤ 10 ,解得 x ≤ 14.893

17. (本题满分 13 分) 解:猜想:若 O 四面体 ABCD 内任意点, AO , BO , CO , DO 并延长交对面于 A / , B / , C , D / ,则
/

OA / OB / OC / OD / + + + = 1. AA / BB / CC / DD /
用“体积法”证明如下:

OA / OB / OC / OD / VO ? BCD VO ?CAD VO ? ABD VO ? ABC V ABCD = + + + = =1 + + + AA / BB / CC / DD / V A? BCD VB ?CDA VC ? ABD VD ? ABC V ABCD

18. (本题满分 13 分)

x2 y2 解: F1 、 F2 是是椭圆 + = 1 的左、右焦点,则 F1 (? 6,0) , F2 (6,0) , 100 64
设 P ( x, y ) 是椭圆上一点,则 y P F1 o F2 x

?16 x 2 + 25 y 2 = 1600 LL (1) ? ? y = ?4 3 LLLLL (2) ? ?x ? 6 ? y > 0 LLLLLLLL (3) ?
消去 y ,得 19 x ? 225 x + 6500 = 0 ,得 x1 = 5 或 x 2 =
2

130 19

当 x2 =

130 64 3 时,代入(2)得 y 2 = ? 与(3)矛盾,舍去. 19 19

由 x = 5 ,得 y = 4 3 . 所以, ?PF1 F2 的面积 S=

1 1 F1 F2 ? h = × 12 × 4 3 = 24 3 . 2 2

19. (本题满分 14 分)

解: (1)①由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO= θ (rad) ,则 OA =

AQ 10 = , 故 cos θ cos θ

10 ,又 OP= 10 ? 10 tan θ , cos θ 10 10 + + 10 ? 10 tan θ , 所以 y = OA + OB + OP = cos θ cos θ OB =
所求函数关系式为 y =

20 ? 10 sin θ π? ? + 10 ? 0 ≤ θ ≤ ? cos θ 4? ?

②若 OP= x (km) ,则 OQ=10- x ,所以 OA =OB=
2

(10 ? x )

2

+ 102 = x 2 ? 20 x + 200

所求函数关系式为 y = x + 2 x ? 20 x + 200 ( 0 ≤ x ≤ 10 ) (2)选择函数模型①, y ' = 令 y ' = 0 得 sin θ = 当 θ ∈ (0,
?10 cos θ cos θ ? ( 20 ? 10 sinθ )( ? sin θ ) cos θ
2

=

10 ( 2sin θ ? 1) cos 2 θ

π

1 π π ,因为 0 ≤ θ ≤ ,所以 θ = , 2 4 6

) 时,y ' < 0 ,y 是 θ 的减函数; θ ∈ ( , ) 时,y ' > 0 ,y 是 θ 的增函数, 当 所以函数 y 在 θ = 6 6 4 6

π π

π

时取得极小值,这个极小值就是最小值. ymin = 10 + 10 3 . 这时 OA = OB =

10 cos

π
6

=

20 3 (km) 3

因此,当污水处理厂建在矩形区域内且到 A、B 的距离均为 20. (本题满分 14 分) 解:(1)∵f(x)=-x+lnx,f?(x)= -1+

20 3 (km)时,铺设的排污管道总长度最短. 3

1 1? x = , x x

∴当 1<x<e 时, f?(x)<0,此时 f(x)单调递减,当 0<x<1 时,f?(x)>0, 此时 f(x) 单调递增,∴f(x)的极大值为 f(1)=-1. (2)∵f(x)的极大值即 f(x)在(0,e]上的最大值为-1 令 h(x)= ? g ( x ) ?

1 ln x 1 ln x ? 1 =? ? , ∴ h / ( x) = , 2 x 2 x2 1 1 ? >-1= f (x) max e 2

∴当 0<x<e 时, h?(x) <0,且 h(x)在 x=e 处连续 ∴h(x)在(0,e]上单调递减,∴h(x)min=h(e)= ∴当 x∈(0,e]时, f ( x ) < g ( x ) ?

1 2 1 , x

(3)假设存在实数 a ,使 f(x)= a x+lnx 有最大值-3,x∈(0,e], f?(x)= a +

1 1 ①当 a ≥ ? 时, 由于 x∈(0,e], 则 f?(x)= a + ≥ 0 且 f(x) 在 x=e 处连续 e x ∴函数 f(x)= a x+lnx 是(0,e]上的增函数,∴f(x)max=f(e)= ae+1=-3,
解得 a = ?

4 1 < ? (舍去). e e

1 1 1 ②当 a < ? 时, 则当- <x<e 时,f?(x)= a + < 0, 此时 f(x)= a x+lnx 是减函数, e a x
当0 < x < ? ∴f(x)max=f(-

1 1 时,f?(x)= a + > 0 此时 f(x)= f(x)= a x+lnx 是增函数, a x

1 1 )=-1+ln( ? )=-3,解得 a =-e2. a a

由①、②知,存在实数 a =-e2,使得当 x ∈ (0,e],时 f(x)有最大值-3.


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