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【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题3 第16练 定积分问题 理


第 16 练

定积分问题

[题型分析?高考展望] 定积分在理科高考中, 也是重点考查内容.主要考查定积分的计算和 利用定积分求不规则图形的面积,题目难度不大,多为中低档题目,常以选择题、填空题的 形式考查,掌握定积分的计算公式,会求各种类型的曲边图形的面积是本节重点. 常考题型精析 题型一 定积分的计算 例 1 (1)(2014?陕西)定积分? 0(2x+e )dx 的值为( A.e+2 C.e
2 1 1

x

)

B.e+1 D.e-1
1

(2)(2014?江西)若 f(x)=x +2? 0f(x)dx,则? 0f(x)dx 等于( A.-1 C. 1 3 1 B.- 3 D.1

)

点评 (1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分, 再 利用微积分基本定理求解; (2)对有关函数图象和圆的定积分问题可以利用定积分的几何意义求解. 变式训练 1 3 4 5 6
?x , ? (1)设 f(x)=? ?2-x, ?
2

x∈[0,1], x∈?1,2],
B. 4 5

则? 0f(x)dx 等于(

2

)

A. C.

D.不存在 )

π m 2 (2)若定积分? -x -2xdx= ,则 m 等于( -2 4 A.-1 C.1 B.0 D.2

题型二 利用定积分求曲边梯形的面积 例 2 ( ) B.4 2 D.4
2

(1)(2014?山东)直线 y= 4x 与曲线 y= x 在第一象限内围成的封闭图形的面积为

3

A.2 2 C.2

(2)直线 l 过抛物线 C: x =4y 的焦点且与 y 轴垂直, 则 l 与 C 所围成的图形的面积等于(

)
1

A. C.

4 3 8 3

B.2 D. 16 2 3

π (3)由曲线 y=sin x,y=cos x 与直线 x=0,x= 所围成的平面图形(如图中的阴影部分所 2 示)的面积是( )

A.1 C. 2 2 3

B.

π 4

D.2 2-2

点评 求曲边多边形面积的步骤: (1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形. (2)借助图形确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上限、下限. (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和. (4)计算定积分. 变式训练 2 (2015?陕西)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面 边界呈抛物线型(图中虚线表示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________.

高考题型精练 1.已知自由落体运动的速率 v=gt,则落体运动从 t=0 到 t=t0 所走的路程为( A. C.
2 gt0

)

3
2 gt0

B.gt0 D.

2

gt2 0
6 )

2

2.(2015?广州模拟)若 A.-1 C.- 3

?

? 2 0

(sin x-acos x)dx=2,则实数 a 等于( B.1 D. 3

π π 3.由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲线 y=cos x 所围成的封闭图形的面积为( 3 3

)

2

A. C.

1 2 3 2

B.1 D. 3
3

4.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=? 0(1+2x)dx,S20=17,则 S30 为( A.15 C.25 B.20 D.30 )

)

5.(2015?德州模拟)图中阴影部分的面积是(

A.16 C.20

B.18 D.22
2

x ,x∈[0,1], ? ? 6.(2015?北京朝阳区模拟)设 f(x)=?1 ?x,x∈[1,e] ?
? 0f(x)dx 的值为( A. C. 4 3 6 5
e

(其中 e 为自然对数的底数), 则

) B. D. 5 4 7 6

7.(2014?湖南)已知函数 f(x)=sin(x-φ ),且 对称轴 是( ) 7π B.x= 12 π D.x= 6

?

2? 3 0

f(x)dx=0,则函数 f(x)的图象的一条

5π A.x= 6 π C.x= 3 8.设 n= A.12 C.4

?

? 2 0

1 n 4sin xdx,则二项式(x- ) 的展开式的常数项是(

x

)

B.6 D.1

3

1 9.曲线 y= 与直线 y=x,x=2 所围成的图形的面积为________.

x

10.(2015?青岛模拟)已知函数 f(x)=-x +ax +bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与 x 轴在 1 原点处相切, 且 x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为 , 则 a 的值为________. 12

3

2

11.(2015?福建)如图,点 A 的坐标为(1,0),点 C 的坐标为(2,4),函数 f(x)=x ,若在矩 形 ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于______.

2

1 12.求曲线 y= x,y=2-x,y=- x 所围成图形的面积. 3

4

答案精析

第 16 练

定积分问题

常考题型精析 例 1 (1)C (2)B 解析 (1)? 0(2x+e )dx=(x +e )|0=e.故选 C. (2)∵f(x)=x +2? 0f(x)dx, 1 3 1 1 1 ∴? 0f(x)dx=( x +2x? 0f(x)dx)|0 3 1 1 1 1 = +2? 0f(x)dx,∴? 0f(x)dx=- . 3 3 变式训练 1 (1)C (2)A 解析 (1)? 0f(x)dx=? 0x dx+? 1(2-x)dx 1 2? 2 1 3 1 ? = x |0+?2x- x ?|1 2 ? 3 ? 1? 5 1 ? = +?4-2-2+ ?= . 2? 6 3 ? (2)根据定积分的几何意义知,定积分 ? -x -2xdx 的值就是函数 y= -x -2x的图象与 -2
m
2 2 2 1 2 2 2 1 1

x

2

x

1

x 轴及直线 x=-2,x=m 所围成图形的面积,y= -x2-2x是一个半径为 1 的半圆,其面积
π π 1 m 2 等于 ,而 ? -x -2xdx= ,即在区间[-2,m]上该函数图象应为 个圆,于是得 m=- -2 2 4 4 1,故选 A. 例 2 (1)D (2)C (3)D 解析 (1)令 4x=x ,解得 x=0 或 x=±2, ∴S=?(4x-x )=
2 0 3 3

?2x2-x ??2=8-4=4,故选 D. ? ?0 4? ? ??
2

4

(2)∵抛物线方程为 x =4y, ∴其焦点坐标为 F(0,1),故直线 l 的方程为 y=1. 1 2 如图所示,可知 l 与 C 围成的图形的面积等于矩形 OABF 的面积与函数 y= x 的图象和 x 轴 4 正半轴及直线 x=2 围成的图形的面积的差的 2 倍(图中阴影部分的 2 倍),

5

即 S=4-2? dx= 4

2 0

x2

4 8 4-2? ?0=4- = . 12? 3 3

x3 ?2

π π (3)方法一 由 sin x=cos x(x∈(0, )),得 x= . 2 4 故所求阴影部分的面积

? S=? 4 (cos x-sin x)dx+? 2 (sin x-cos x)dx ? ? ?0 ?π
π 4

π

?4 =(sin x+cos x) ? ? ?0
=sin 2. 故选 D.

π

? ? +(-cos x-sin x) ? ?

π 2

π 4

π π π π π π +cos -sin 0-cos 0+[(-cos -sin )-(-cos -sin )]=2 2- 4 4 2 2 4 4

π π 方法二 由 sin x=cos x(x∈(0, )),得 x= . 2 4 根据图象的对称性,可知所求阴影部分的面积

S=2? 4 (cos x-sin x)dx

π

? ?0

?4 =2(sin x+cos x) ? ? ?0
=2(sin π π +cos -sin 0-cos 0) 4 4

π

=2 2-2. 故选 D. 变式训练 2 1.2 解析 由题意可知最大流量的比即为横截面面积的比,建立以抛物线顶点为原点的直角坐标 系,如图所示,

6

2 2 2 2 设抛物线方程为 y=ax ,将点(5,2)代入抛物线方程得 a= ,故抛物线方程为 y= x ,抛 25 25 2 2? ? 物线的横截面面积为 S1=2?5?2- x ?dx 25 ? ??
0

2 3?? ? =2?2x- x ?? 75 ? ??0

5

40 2 = (m ), 3

2 而原梯形下底为 10- ?2=6(m), tan 45° 1 故原梯形面积为 S2= (10+6)?2=16, 2

S2 16 = =1.2. S1 40
3 高考题型精练 1.C [由题意,可知所走路程为

?

t0 0

1 ? t0 vdt = ? t00 gtdt = gt2? 2 ?0
π

1 2 = gt0.] 2

?2 2.A [? 2 ?sinx-acosx?dx=?-cos x-asin x?? ? ? ?0 ?0
π

=-a+1=2,a=-1.]

? ? 3.D [? 3 cos xdx=sin x ? ? —π ?-π ? 3
π 3 3 3

?

π

=sin

π ? π? -sin?- ?= 3.] 3 ? 3?

4.A [由已知得 S10=? 0(1+2x)dx=12, 据等差数列性质可得 S10=12,S20-S10=5,S30-S20=S30-17 亦成等差数列, 故有 12+S30-17=10? S30=15.]

y? ? 5.B [S=? ?y+4- ?dy= 2? ?
4 -2

2

?y +4y-y ??4 =18.] ?2 ??-2 6 ?? ?

2

3

1 3 1 1 e 1 2 e1 e 6.A [根据定积分的运算法则,由题意,可知 ? 0f(x)dx=? 0x dx+? 1 dx= x |0+ln x|1= +1 x 3 3 4 = .] 3

?3 7.A [∵? 3 sin(x-φ )dx=-cos(x-φ )? ? ? ?0 ?0




=0,

7

2π ∴-cos( -φ )+cos φ =0. 3 2π ∴cos( -φ )-cos φ =0. 3 ∴ 3 3 sin φ - cos φ =0. 2 2

π ∴ 3sin(φ - )=0. 3 π ∴φ - =k1π (k1∈Z). 3 π ∴φ =k1π + (k1∈Z). 3 π ∴f(x)=sin(x-k1π - )(k1∈Z). 3 π π 由 x-k1π - =k2π + (k1,k2∈Z) 3 2 5 得 x=(k1+k2)π + π (k1,k2∈Z), 6 5 5π ∴f(x)的对称轴方程为 x=(k1+k2)π + π (k1,k2∈Z).故 x= 为 6 6 函数 f(x)的一条对称轴.]

?2 8.B [由定积分得 n=-4cos x? ? ?0
二项式的通项公式为 Tk+1=C4x =C4(-1) x
k k 4-2k k 4-k

π

=4,

1 k (- )

x



由 4-2k=0,得 k=2, 所以常数项为 T3=C4(-1) =6,故选 B.] 3 9. -ln 2 2 1 2 解析 S=? 1(x- )dx
2 2

x



?1x2-ln x??2 ?2 ??1 ? ??

3 = -ln 2. 2 10.-1
8

解析 由曲线在原点处与 x 轴相切,可得 f′(0)=b=0, 此时 f(x)=-x +ax =x (a-x), 1 0 3 2 据定积分知阴影部分面积-? , a(-x +ax )dx= 12 解得 a=-1. 5 11. 12 解析 由题意知,阴影部分的面积 ? 1(4-x )dx=
2 2 3 2 2

?4x-1x3??2=5, ? ??1 3 ?? 3 ?
S

5 3 5 ∴所求概率 P= = = . S矩形ABCD 1?4 12 12.解 由?

?y= x, ?y=2-x

得交点 A(1,1);

y=2-x, ? ? 由? 1 y=- x ? 3 ?
得交点 B(3,-1). 1 1 ? 1? 3? x+ x? 故所求面积 S=? 0? ?dx+? 1?2-x+ x?dx 3 ? 3 ? ? ? =?

?2 3 1 ? x 2 ? x2 ? 1 0 + 6 ? ?3

?2x-1x2??3 ? ??1 3 ?? ?

2 1 4 13 = + + = . 3 6 3 6

9


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