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2015—2016学年度上学期《概率论与数理统计》期末回查试卷(一)参考答案


2015—2016 学年度上学期《概率论与数理统计》期末回查试卷(一)参考答案 一、填空题:1、 2 ;2、0.4;3. ?

2 1 ? , ? ? ;4、2.6;5、 ? 2 (n) 9 9

二、选择题:1、C;2、D;3、B;4、B;5、C 三、1.解:设 Bi=“取出的零件由第 i 台加工” (i

? 1,2) 2 1 P? A? ? P?B1 ?P?A B1 ? ? P?B2 ?P?A B2 ? ? ? 0.97 ? ? 0.98 ? 0.973 3 3
3 2

2.解:由题意知,X 的可能取值为:0,1,2,3;Y 的可能取值为:1,3. 且

1 3 ?1? 1 ? 1 ?? 1 ? P?X ? 0, Y ? 3? ? ? ? ? , P?X ? 1, Y ? 1? ? C 3 ? ?? ? ? , 8 8 ? 2 ?? 2 ? ? 2? P?X ? 2, Y ? 1? ? C
2 3

1 ?1? ?1? 3 ?1? ? ? ? ? ? , P?X ? 3, Y ? 3? ? ? ? ? . 8 ? 2? ? 2? 8 ? 2?
Y X 0 1 2 3

2

3

于是, (1 ) (X,Y)的联合分布为

1
0

3

1 8
0 0

3 8 3 8
0

1 8

(2) P Y

?

? X ? ? P?X ? 0, Y ? 3? ?

1 8

3.解:随机变量 X 的密度函数为

f ?x ? ?
设随机变量 Y 的分布函数为 FY

1 2?

e

?

x2 2

?? ? ? x ? ???

FY ? y ? ? P?Y ? y ? ? P X 2 ? 1 ? y ? P X 2 ? y ? 1 ①. 如果 y ? 1 ? 0 ,即 y ? 1 ,则有 FY ? y ? ? 0 ; ②. 如果 y ? 1 ,则有

? y ? ,则有

?

? ?

?

FY ? y? ? P X 2 ? y ? 1 ? P ? y ? 1 ? X ? y ? 1
? 1 2?

?

? ?
2 2?

?

? y ?1
y ?1

?

y ?1

e

?

x 2

2

dx ?
? x2 2

?
0

y ?1

e

?

x 2

2

dx

? 2 ? 即 FY ? y ? ? ? 2? ? ?

?
0

e

dx

y ?1 y ?1
y ?1 y ?1

0

?1 ? 2 ? y2 1 e ? ? fY ? y ? ? FY? ? y ? ? ? 2? 所以, 2 y ?1 ? 0 ? y ?1 ? ? 1 2 e y ?1 ? fY ? y ? ? ? 2? y ? 1 即 . ? 0 y ?1 ? ?? 1 ? x dx ? 0 四、解: ① E ( X ) ? ? x e ?? 2 D( X ) ? E( X 2 ) ? [ E( X )]2

??

??

??

x2

?? 1 ?x 1 e dx ? 0 ? 2? x 2 e ? x dx ? 2 0 2 2

② Cov( X , 所以 X 与

X ) ? E( X X ) ? E( X ) E( X ) ? ?
X
不相关.
?? ?? ?? ??

??

??

xx

1 ?x e dx ? 0 ? 0 2

五、 (本题满分 10 分) 解: (1)由 1 ? ?

?

f ( x, y)dxdy ? ?0
??

??

?0

??

Ae ? ( x ? 2 y ) dxdy
所以 A ? 2

? A?0 e ? x dx?0 e ?2 y dy ?
(2)X 的边缘密度函数:

??

1 A 2

f X ( x) ? ?
?? ??

?? ??

f ( x, y)dy ? ?

?e ? x ? 0,

x?0 其他

Y 的边缘密度函数: (3)因

fY ( y) ? ?

f ( x, y )dx ? ?

? 2e ?2 y ? 0,

y?0 其他

f ( x, y) ? f X ( x) fY ( y) ,所以 X,Y 是独立的
2

六、解:⑴. 当 ?

? 0 为未知,而 ? ? ? ? ? ?? 为已知参数时,似然函数为

L ? 2 ? 2?? 2

? ? ?

?

?

n 2

? 1 exp?? 2 ? 2?

? ?x
i ?1

n

i

2? ? ?? ? ?

因而

所以

n 1 ?xi ? ? ?2 ln L ? 2 ? ? ln 2?? 2 ? 2 ? 2 2? i ?1 ? n 1 n 1 2 ln L ? 2 ? ? 2 ? ? ?xi ? ? ? ? 4 ? 0 2 i ?1 2? ? ??2

? ?

?

?

n

? ?
?
2

? ?

解得 ?

2

1 n ?xi ? ? ?2 ? n i ?1 ? 的极大似然估计量为 ?
2

因此, ?

?

⑵. 因为 X i 所以 所以

~ N ?, ? 2

?

?

1 n ? X i ? ? ?2 . ? n i ?1 ?i ? 1, 2, ?, n?,

Xi ? ?

~ N ?0, 1? ?i ? 1, 2, ?, n?, ? ?i ? 1, 2, ?, n?, E?X i ? ? ? ? 0 , D?X i ? ? ? ? ? 2

所以 E

??X

i

? ? ? ? ?E? X i ? ? ?? ? D?X i ? ? ? ? ? 2 ?i ? 1, 2, ?, n?
2 2
n

?

因此, E

1 ??? ? ? E ? ? n ? ?X
2

1 1 2 E ? X i ? ? ? ? ? n? 2 ? ? 2 ? n n i ?1 n 1 ? 2 ? ? ? X i ? ? ?2 是未知参数 ? 2 的无偏估计 所以, ? n i ?1

?

n

?

?

i ?1

i

?

2? ? ?? ? ?

七、 解: 由于正态总体 N 由?

??,

? 0.05 , n ? 16 ,得

? ? S S ? 所以所求置信区间为 ? X ? ? ? ? ? ? 2 ? 中期望 ? 与方差 ? 2 都未知, t n ? 1 , X ? t n ? 1 ? ? ? ?. n n 2 2 ? ? ?
2 ? 0.025 .查表,得 t0.025 ?15? ? 2.1315.

1 16 1 16 , ?xi ? x ?2 ? 6.2022 x ? 503 . 75 s ? ? ? i 16 i ?1 15 i ?1 s 6.2022 所以, x ? t ? ?n ? 1? ? 503.75 ? ? 2.1315? 500.445, n 2 16 s 6.2022 x? t ? ?n ? 1? ? 503.75 ? ? 2.1315? 507.055, n 2 16
由样本观测值,得 x

?

因此所求置信区间为 八、解:要检验的假设为 :

?500.445,

507.055?



在 故在

时 , 时 ,拒绝 认为新产品的强力的标准差较原来的有显著增大 。

当 故 在

时 , 下 接 受 ,认为新产品的强力的标准差与原来的显著差异。


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