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2017届江西省九江地区高三七校联考数学(理)试题


第Ⅰ卷 选择题 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? {x | x ? 1} , B ? {x | x ? a} ,若 A ? B ? B ,则实数 a 的取值范围是(
2



A. (??,1) 2.函数 y ? A. (?1,3)

B. (??, ?1)

C. (1, ??)

D. [1, ??)

9 ? x2 的定义域是( log 2 ( x ? 1)
B. (?1,3]

) C. (?1, 0) ? (0,3) D. (?1, 0) ? (0,3]

3.下列命题中: ①“ ?x0 ? R , x0 2 ? x0 ? 1 ? 0 ”的否定; ②“若 x 2 ? x ? 6 ? 0 ,则 x ? 2 ”的否命题; ③命题“若 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ,则 x ? 2 ”的逆否命题; 其中真命题的个数是( A.0 个 B.1 个
2

) C.2 个
m2 ? 6 m ?8

D.3 个 在 (0, ??) 为增函数,则 m 的值为( D.2 )

4.幂函数 f ( x) ? (m ? 4m ? 4) x A.1 或 3 B.1
| x|

C.3

5.已知函数 f ( x) ? ?2 ? 1 ,定义函数 F ( x) ? ? A.奇函数 C.既是奇函数,又是偶函数 B.偶函数

? f ( x), x ? 0, 则 F ( x) 是( ?? f ( x), x ? 0.



D.非奇非偶函数

6.已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1, E 、 F 分别是边 AA1 、 CC1 的中点,点 M 是 BB1 上的动 点,过三点 E 、 M 、 F 的平面与棱 DD1 交于点 N ,设 BM ? x ,平行四边形 EMFN 的面积为 S ,设

y ? S 2 , 则 y 关于 x 的函数 y ? f ( x) 的解析式为(



A. f ( x) ? 2 x 2 ? 2 x ? C. f ( x) ?

3 , x ? [0,1] 2

B. f ( x) ? ?2 x 2 ? 2 x ? D. f ( x) ? x ?

3 , x ? [0,1] 2

3 ? x , x ? [0,1] 2

3 , x ? [0,1] 2


7.若函数 f ( x) ? log 2 ( x 2 ? ax ? 3a ) 在区间 (??, ?2] 上是减函数,则实数 a 的取值范围是( A. (??, 4) C. (??, 4) ? [2, ??) 8. 函数 y ? B. (?4, 4] D. [?4, 4)

e x ?x 2 的大致图象是( e2 x ? 1



A.
x

B.

C.
?

D. )

9.函数 y ? ln(e ? x ? a ) ( e 为自然对数的底数)的值域是正实数集 R ,则实数 a 的取值范围为( A. (??, ?1) B. (0,1] C. (?1, 0] D. (?1, ??)

10.已知 f '( x) 为 f ( x) 的导函数,若 f ( x) ? ln ( ) B. 2 2 C.

x 1 b 1 ,且 b ?1 dx ? 2 f '(a ) ? b ? 1 ,则 a ? b 的最小值为 3 2 x 2 9 ?2 2 2 1 2


A. 4 2

9 2

D.

11.已知函数 f ( x) 和 f ( x ? 1) 都是定义在 R 上的偶函数,若 x ? [0,1] 时, f ( x) ? ( ) x ,则(

1 5 3 2 1 5 C. f (? ) ? f ( ) 3 2
A. f (? ) ? f ( )

1 5 3 2 1 9 D. f (? ) ? f ( ) 3 2
B. f (? ) ? f ( )

12.如果定义在 R 上的函数 f ( x) 满足:对于任意 x1 ? x2 ,都有 x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) , 则称 f ( x) 为“ H 函数”.给出下列函数: ① y ? ? x ? x ? 1 ;② y ? 3 x ? 2(sin x ? cos x) ;③ y ? e ? 1 ;④ f ( x) ? ?
3 x

?ln x( x ? 1) , ?0( x ? 1)

其中“ H 函数”的个数有( A.3 个 B.2 个

) C.1 个 D.0 个

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. .若方程 x 2 ? mx ? m ? 1 ? 0 有两根,其中一根大于 2,另一根小于 2 的充要条件是__________. 14.设 A , B 是非空集合,定义 A ? B ? {x | x ? A ? B 且 x ? A ? B} ,已知

M ? { y | y ? ? x 2 ? 2 x, 0 ? x ? 2} , N ? { y | y ? 2 x ?1 , x ? 0} ,则 M ? N ? _________.

? 1 x? 3 1 ( ) 2,x ? ? ? 2 2 ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的值域是 R ,则实数 a 的取值范围是________. 15.若函数 f ( x) ? ? ?log x, x ? 1 a ? ? 2
16.给出下列四个命题: ①函数 f ( x) ? log a (2 x ? 1) ? 1 的图象过定点 (1, 0) ; ②已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x( x ? 1) ,则 f ( x) 的解析式为

f ( x) ? x 2 ? | x | ;
③函数 y ?

1 1 的图象可由函数 y ? 图象向右平移一个单位得到; | x | ?1 | x| 1 图象上的点到点 (0,1) 距离的最小值是 3 . | x | ?1

④函数 y ?

其中所有正确命题的序号是_________.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分 10 分) 设 f ( x) ? log a (1 ? x) ? log a (3 ? x)( a ? 0, a ? 1) ,且 f (1) ? 2 . (1)求 a 的值及 f ( x) 的定义域; (2)求 f ( x) 在区间 [0, ] 上的值域. 18. (本小题满分 12 分) 命题 p : ?x ? R , ax 2 ? ax ? 1 ? 0 ,命题 q :

3 2

3 ?1 ? 0 . a ?1

(1)若“ p 或 q ”为假命题,求实数 a 的取值范围;

(2)若“非 q ”是“ a ? [m, m ? 1] ”的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x) 的对称轴 x ? ?2 f ( x) 的图象被 x 轴截得的弦长为 2 3 ,且满足 f (0) ? 1 . (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若 f (( ) x ) ? k 对 x ? [?1,1] 恒成立,求实数 k 的取值范围. 20. (本小题满分 12 分) 某店销售进价为 2 元/件的产品 A ,假设该店产品 A 每日的销售量 y (单位:千件)与销售价格 x (单位: 元/件)满足的关系式 y ?

1 2

10 ? 4( x ? 6) 2 ,其中 2 ? x ? 6 . x?2

(1)若产品 A 销售价格为 4 元/件,求该店每日销售产品 A 所获得的利润; (2)试确定产品 A 销售价格 x 的值,使该店每日销售产品 A 所获得的利润最大.(保留 1 位小数点) 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? x ? ce
2 ?2 x

(c ? R ) .

(1)若 f ( x) 是在定义域内的增函数,求 c 的取值范围; (2)若函数 F ( x) ? f ( x) ? f '( x) ? 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

5 (其中 f '( x) 为 f ( x) 的导函数)存在三个零点,求 c 的取值范围. 2

ln x ? a ? m(a, m ? R) 在 x ? e ( e 为自然对数的底)时取得极值且有两个零点. x

(1)求实数 m 的取值范围; (2)记函数 f ( x) 的两个零点为 x1 , x2 ,证明: x1 x2 ? e 2 .

理科数学试卷(一)答案
一、选择题 1.C 2.D 3.C 4.B 5.A 6.A 7.D 8.A 9.C 10.C 11.A 12.A

二、填空题 13. m ? 3 三、解答题 14. (0, ] ? (1, ??)

1 2

15. [

2 ,1) 2

16.②④

17.解: (1)∵ f (1) ? 2 ,∴ log a 4 ? 2( a ? 0, a ? 1) ,∴ a ? 2 .??????2 分

3 2 3 3 15 函数 f ( x) 在 [0, ] 上的最小值是 f ( ) ? log 2 , 2 2 4 3 15 ∴ f ( x) 在区间 [0, ] 上的值域是 [log 2 , 2] .??????10 分 2 4
函数 f ( x) 在 [0, ] 上的最大值是 f (1) ? log 2 4 ? 2 , 18.解: (1)关于命题 p : ?x ? R , ax 2 ? ax ? 1 ? 0 ,

a ? 0 时,显然不成立, a ? 0 时成立,??????1 分 a ? 0 时只需 ? ? a 2 ? 4a ? 0 即可,解得: ?4 ? a ? 0 ,
故 p 为真时: a ? (?4, 0] ;??????4 分

3 ? 1 ? 0 ,解得: ?2 ? a ? 1 ,??????6 分 a ?1 命题“ p 或 q ”为假命题,即 p , q 均为假命题,
关于命题 q : 则 a ? ?4 或 a ? 1 ;??????9 分 (2)非 q : a ? ?2 或 a ? 1 ,所以 m ? 1 ? ?2 或 m ? 1 , 所以 m ? ?3 或 m ? 1 .??????12 分 19.解: (1)由题意可以设 f ( x) ? a ( x ? 2 ? 3)( x ? 2 ? 3) ,??????2 分 由 f (0) ? 1 ? a ? 1 , ∴ f ( x) ? ( x ? 2 ? 3)( x ? 2 ? 3) ? x 2 ? 4 x ? 1 ;??????6 分 (2)当 x ? [?1,1] 时, t ? ( ) x ? [ , 2] ,??????8 分 ∵ f ( x) 开口向上,对称轴为 x ? ?2 . ∴ f (t ) 在 t ? [ , 2] 上单调递增.??????9 分

1 2

1 2

1 2

∴ f (t ) min ? f ( ) ?

1 2

13 . 4

13 ) .??????12 分 4 10 20.解: (1)当 x ? 4 时,销量 y ? ? 4(4 ? 6) 2 ? 21 千件, 2
所以实数 k 的取值范围是 ( ??, 所以该店每日销售产品 A 所获得的利润是 2×21=42 千元;??????5 分 (2)该店每日销售产品 A 所获得的利润

f ( x) ? ( x ? 2)[

10 ? 4( x ? 6) 2 ] ? 10 ? 4( x ? 6) 2 ( x ? 2) ? 4 x 3 ? 56 x 2 ? 240 x ? 278(2 ? x ? 6) x?2
2

从而 f '( x) ? 12 x ? 112 x ? 240 ? 4(3 x ? 10)( x ? 6)(2 ? x ? 6) .??????8 分 令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 在(

10 10 ,且在 (2, ) 上, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增; 3 3

10 , 6) 上, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减,??????10 分 3 10 所以 x ? 是函数 f ( x) 在 (2, 6) 内的极大值点,也是最大值点,??????11 分 3 10 所以当 x ? ? 3.3 时,函数 f ( x) 取得最大值. 3
故当销售价格为 3.3 元/件时,利润最大.??????12 分 21.解: (1)因为 f ( x) ? x ? x ? ce
2 ?2 x

(c ? R ) ,
?2 x

所以函数 f ( x) 的定义域为 R ,且 f '( x) ? 2 x ? 1 ? 2ce 由 f '( x) ? 0 得 2 x ? 1 ? 2c? e ?2 x ? 0 即 c ? 再令 g ( x) ?



1 (2 x ? 1)e 2 x 对于一切实数都成立.??????2 分 2

1 (2 x ? 1)e 2 x ,则 g '( x) ? 2 xe 2 x ,令 g '( x) ? 0 得 x ? 0 . 2

而当 x ? 0 时 g '( x) ? 0 ,当 x ? 0 时 g '( x) ? 0 , 所以当 x ? 0 时 g ( x) 取得极小值也是最小值,即 g ( x) min ? g (0) ? ? 所以 c 的取值范围是 ( ??, ? ] .??????5 分 (2)由(1)知 f '( x) ? 2 x ? 1 ? 2c? e
?2 x

1 . 2

1 2

,所以由 F ( x) ? 0 得

x 2 ? x ? ce ?2 x ? (2 x ? 1 ? 2ce ?2 x ) ? 7 2

5 7 ,整理得 c ? ( x 2 ? x ? )e 2 x .??????7 分 2 2
2 2x

令 h( x) ? ( x 2 ? x ? )e 2 x ,则 h '( x) ? 2( x ? 2 x ? 3)e 令 h '( x) ? 0 ,解得 x ? ?3 或 x ? 1 .

? 2( x ? 3)( x ? 1)e 2 x ,

列表得:

由表可知当 x ? ?3 时, h( x) 取得极大值 当 x ? 1 时, h( x) 取得极小值 ? 又当 x ? ?3 时, x 2 ? x ?

5 ?6 e ;??????9 分 2

3 2 e . 2

7 ? 0 , e 2 x ? 0 ,所以此时 h( x) ? 0 . 2 5 故结合图象得 c 的取值范围是 (0, e ?6 ) .??????12 分 2 1 ?x ? (ln x ? a ) a ? 1 ? ln x x 22.解: (1) f '( x) ? , ? 2 x x2
由 f '( x) ? 0 ? x ? e
a ?1

,且当 x ? e a ?1 时, f '( x) ? 0 ,当 x ? e a ?1 时, f '( x) ? 0 ,

所以 f ( x) 在 x ? e a ?1 时取得极值,所以 e a ?1 ? e ? a ? 0 ,??????2 分 所以 f ( x) ?

ln x 1 ? ln x ,函数 f ( x) 在 (0, e) 上递增,在 (e, ??) 上递减, ? m , ( x ? 0) , f '( x) ? x x2

1 f (e) ? ? m , e
x ? 0( x ? 0) 时 f ( x) ? ?? ; x ? ?? 时, f ( x) ? ?m , f ( x) 有两个零点 x1 , x2 ,

?1 1 ? ?m ?0 故 ?e , 0 ? m ? ;??????5 分 e ? ??m ? 0
(2)不妨设 x1 ? x2 , ,由题意知 ?

?ln x1 ? mx1 , ?ln x2 ? mx2
ln

x2 x x1 则 ln x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) , ln 2 ? m( x2 ? x1 ) ? m ? ,??????7 分 x1 x2 ? x1
欲证 x1 ?x2 ? e 2 ,只需证明: ln( x1 ?x2 ) ? 2 ,只需证明: m( x1 ? x2 ) ? 2 , 即证:

( x1 ? x2 ) x2 ln ? 2 , x2 ? x1 x1

1?
即证

x2 x1

x2 ?1 x1

ln

x2 x t ?1 ,??????9 分 ? 2 ,设 t ? 2 ? 1 ,则只需证明: ln t ? 2? x1 t ?1 x1
t ?1 ?0. t ?1

也就是证明: ln t ? 2?

1 4 (t ? 1) 2 t ?1 ? ?0, 记 u (t ) ? ln t ? 2? , (t ? 1) ,∴ u '(t ) ? ? t (t ? 1) 2 t (t ? 1) 2 t ?1
∴ u (t ) 在 (1, ??) 单调递增, ∴ u (t ) ? u (1) ? 0 ,所以原不等式成立,故 x1 x2 ? e 2 得证.??????12 分


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