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第十八章 第2讲 极坐标与参数方程_图文

第2讲

极坐标与参数方程

考纲要求 考纲研读 1.理解坐标系的作用;了解在平面直角坐标系伸缩变换作用 下平面图形的变化情况. 从近几年的高 2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标 考来看,本部 系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行坐标和 分重点考查直 线和圆的极坐 直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点 标方程,以及 或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标和平 极坐标与直角 面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适 坐标的互化; 参数方程侧重 当坐标系的意义. 4.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,于直线、圆及 并与空间直角坐标系表示点的位置的方法相比较,了解它们 椭圆参数方程 与普通方程的 的区别. 5.了解参数方程,了解参数的意义;能选择适当的参数写 互化. 出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.

1.坐标系
(1)点的极坐标与直角坐标的相互转化公式,当极坐标系中的 极点与直角坐标系中的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合,两 种坐标系中取相同的长度单位时,点的极坐标与直角坐标的相互
2 2 2 ?ρ =x +y , ?x=ρcosθ, ? ? ? ? y ?y=ρsinθ, ?tanθ= ,x≠0. ? 转化公式为:_____________________ x ?

(2)柱坐标、球坐标与直角坐标的互化公式:

?x=ρcosθ, ? ?y=ρsinθ, ?z=z ? ①柱坐标化为直角坐标公式:_________________; ?x=rsinφcosθ, ? ?y=rsinφsinθ, ?z=rcosφ ②球坐标化为直角坐标公式:__________________. ?

? x ? a ? r cos? , (? 为参数) ? 2+(y-b)2=r2 的参数方程为__________________, (1)圆(x-a) ? y ? b ? r sin ?

2.参数方程

参数θ的几何意义是圆上的点绕圆心旋转的角度.
? x ? a cos ? , ? x y (2)椭圆a2+b2=1(a>b>0)的参数方程为__________________ ? y ? b sin ?
2 2

(?为参数).

? x ? a sec? , ? x2 y2 ? y ? b tan ? (3)双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的参数方程为______________
(?为参数).

(4)抛物线

?x=2pt2, ? ? 2 ?y=2pt y =2px(p>0)的参数方程为__________(t ?

为参数).

?x=x0+at, ? b (5)过点 P(x0, 0), y 斜率为a的直线的参数方程为? ?y=y0+bt ?

(t 为参数);过点 P(x0,y0),倾斜角为 α 的直线的参数方程为
?x=x0+tcosα, ? ? ?y=y0+tsinα ? ________________,此时|t|表示参数

t 对应的点 M(x,y)到定点

M0(x0,y0)的距离.

1.点 M 的直角坐标是(-1, 3),则点 M 的极坐标为( C )
? π? A.?2,3? ? ? ? 2π? ?2, ? C. 3? ? ? π? B.?2,-3? ? ? ? π? ?2,2kπ+ ?(k∈Z) D. 3? ?

2.极坐标方程 ρ=cosθ 化为直角坐标方程为( D )
? 1? 2 2 1 A.?x+2? +y =4 ? ?

B.x

2

? 1?2 1 +?y+2? =4 ? ?

C.x

2

? 1?2 1 +?y-2? =4 ? ?

? 1?2 2 1 D.?x-2? +y =4 ? ?

?x=1+2t, ? 3.若直线的参数方程为? ?y=2-3t ?

(t 为参数),则直线的斜

率为( D )

2 A.3

2 B.-3

3 C.2

3 D.-2

π 4.已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角 α=6,直线 l 的参数方

3 ? ?x=1+ 2 t, ? (t 为参数) ?y=1+1t 2 ? 程为________________________.

5.在极坐标系中,点(1,0)到直线ρ(cosθ+sinθ)=2的距离为
2 ______. 2

考点1
例 1:①(2011 的圆心的距离为( A.2 C. π2 1+ 9

极坐标与直角坐标的相互转化
? π? 年安徽)在极坐标系中,点?2,3?到圆 ? ?

ρ=2cosθ

) B. π2 4+ 9

D. 3

? ? π? π π? 解析: 极坐标?2,3?化为直角坐标为?2cos3,2sin3?, 即(1, ? ? ? ?

3).

圆的极坐标方程 ρ=2cosθ 可化为 ρ2=2ρcosθ,化为直角坐标 方程为 x2+y2=2x, 即(x-1)2+y2=1.所以圆心坐标为(1,0). 则由两点间距离公式 d= ?1-1?2+? 3-0?2= 3.故选 D.

答案:D

②(2011 年江西)若曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ,

以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系,则改曲线的
直角坐标方程为______________________.
y x 解析:根据已知 ρ=2sinθ+4cosθ=2·+4ρ,化简可得:ρ2= ρ 2y+4x=x2+y2.所以解析式为:x2+y2-4x-2y=0

答案:x2+y2-4x-2y=0

本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐 标的相互转化,一定要记住两点:①x=ρ· cosθ,y=ρ· sinθ;②ρ2 y 2 2 =x +y ,tanθ=x.即可.直角坐标化为极坐标方程比较容易,只 是将公式 x=ρ· cosθ,y=ρ· 直接代入并化简即可;而极坐标方 sinθ 程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题,构造形如 ρcosθ,ρsinθ,ρ2 的形式,进行整体代换,其中方程两边同时乘以 ρ 及方程两边平方是常用的变形方法.

【互动探究】
1.极坐标方程分别为ρ=2cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心 5 距为____. 2

考点2

参数方程与普通方程的相互转化

例 2 : (2011 年 广 东 ) 已 知 两 曲 线 参 数 方 程 分 别 为
?x= 5cosθ, ? ? ?y=sinθ ?

? 52 ?x= t , (0≤θ<π)和 ? 4 (t∈R),它们的交点坐标为 ?y=t ?

___________.
?x= 5cosθ, ? 解析:? ?y=sinθ ?

x2 2 表示椭圆 5 +y =1(- 5<x≤ 5且 0≤y

?x=5t2, ? 4 2 4 ≤1).? 表示抛物线 y =5x. ?y=t ?

x2 2 ? +y =1(- 5<x≤ 5且0≤y≤1) ?5 ? ?y2=4x 5 ? ? x2+4x-5=0? x=1 或 x=-5(舍去). 又因为
? 2 0≤y≤1,所以它们的交点坐标为?1, ?

5? 5

?. ?

? 2 答案:?1, ?

5? 5
? ?

常见的消参数法有:代入消元(抛物线的参数方

程)、加减消元(直线的参数方程)、平方后再加减消元(圆、椭圆的
参数方程)等.经常使用的公式有sin2α+cos2α=1.在将曲线的参数 方程化为普通方程的过程中一定要注意参数的范围,确保普通方 程与参数方程等价.

【互动探究】
2.(2010 年天津)已知圆 C
?x=t, ? 的圆心是直线? ?y=1+t ?

(t 为参数)

与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切,则圆 C 的方程为 (x+1)2+y2=2 _______________.
解析:令 y=0 得 t=-1,
?x=t, ? 所以直线? ?y=1+t ?

与 x 轴的交点为(-1,0).

因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径, |-1+0+3| 即 r= = 2.所以圆 C 的方程为(x+1)2+y2=2. 2

3.(2010 年安徽)设曲线 C

?x=2+3cosθ ? 的参数方程为? ?y=-1+3sinθ ?

(θ 为

7 10 参数), 直线 l 的方程为 x-3y+2=0, 则曲线 C 上到直线 l 距离为 10

的点的个数为( B ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
解析:曲线 C 的普通方程为:(x-2)2+(y+1)=9,圆心(2,-1) |2-3×?-1?+2| 7 到直线 x-3y+2=0 的距离 d= =10 10 10<3, 故直线

7 10 和圆相交,过圆心和 l 平行的直线和圆的 2 个交点符合要求.又 10 7 10 >3- 10 ,所以在直线 l 的另外一侧没有圆上的点符合要求.

考点3

极坐标与参数方程的综合应用

例 3:(2011 年福建)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x -y+4=0,曲线 C
?x= 3cosθ, ? 的参数方程为? ?y=sinθ ?

(θ 为参数).

(1)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位, 且以 原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 判断点 P 与直线 l 的位置关系; (2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最 小值.
? π? 的极坐标为?4,2?, ? ?

解析:(1)点 P

? π? 的极坐标为?4,2?,则直角坐标为(0,4). ? ?

把 P(0,4)代入直线 l 的方程 x-y+4=0, 因为 0-4+4=0,所以点 P 在直线 l 上. (2)因为点 Q 是曲线 C 上的一个动点,则点 Q 的坐标可设为
? ? Q? 3cosα,sinα?. ? ?

点 Q 到直线 l 的距离为 | 3cosα-sinα+4| d= = 2 所以当
? π? cos?α+6?=-1 ? ? ? π? 2cos?α+6?+4 ? ?

2



? π? 2cos?α+6?+2 ? ?

2.

时,d 取得最小值 2.

【互动探究】
4.(2011 年湖南)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程
?x=cosα, ? 为? ?y=1+sinα ?

(α 为参数)在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的

长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,曲线

2 C2 的方程为 ρ(cosθ-sinθ)+1=0, C1 与 C2 的交点个数为___个. 则

解析:曲线 C1:x2+(y-1)2=1,C2:x-y+1=0,由圆心到 |0-1+1| 直线的距离 d= =0<1,故 C1 与 C2 的交点个数为 2. 2

易错、易混、易漏

28.参数方程与普通方程互化时应注意参数的取值范围
?x=2+sin2θ, ? 例题:将参数方程? 2 ?y=sin θ ?

(θ 为参数)化为普通方程为

(

) A.y=x-2 C.y=x-2(2≤x≤3) B.y=x+2 D.y=x+2(0≤y≤1)

解析:转化为普通方程:y=x-2,且 x∈[2,3],故选C.

【失误与防范】在将曲线的参数方程化为普通方程时,不仅

仅是把其中的参数消去,还要注意x,y 的取值范围,也即在消去
参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.本题很

容易忽略参数方程中0≤sin2θ≤1 的限制而错选A.

1.极坐标、柱坐标、球坐标与直角坐标互化的关键是熟练应 用公式. 2.参数方程化为普通方程消参数的方法有代入消去法、加减 消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法等.普通方程化为参数方 程:关键是如何引入参数.若动点坐标 x,y 与旋转角有关时,通 常选择角为参数;与运动有关的问题,通常选择时间为参数.

1.同直角坐标一样,由于建系的不同,曲线的极坐标方程和 参数方程也会不同. 2.极坐标与直角坐标之间可以进行互化,在没有充分理解极 坐标的前提下,可以通过直角坐标解决问题.对于参数方程,同 样遵循以上原则. 3.在将曲线的参数方程化为普通方程时,不仅仅是把其中的

参数消去,还要注意 x,y 的取值范围,也即在消去参数的过程中
一定要注意普通方程与参数方程的等价性.最常见的题型是考查

半圆.


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