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2013届高三数学(文)一轮复习:6.4 基本不等式(广东专用版)(有答案)


基本不等式
一、选择题 1. (2011· 重庆高考)若函数 f(x)=x+ A.1+ 2 B.1+ 3 1 (x>2)在 x=a 处取最小值, 则 a=( x-2 C.3 D.4 ) )

a2+4 2.若 M= a (a∈R,a≠0),则 M 的取值范围为( A.(-∞,-4]∪[4,+∞) C.[4,+∞) B.(-∞,-4] D.[-4,4]

3.(2011· 上海高考)若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中恒成立的是( A.a2+b2>2ab 1 1 2 C.a+b> ab B.a+b≥2 ab b a D.a+b≥2

)

4 4 4. 已知 a>0, b>0, 且 ab=1, α=a+a, β=b+b, 则 α+β 的最小值为( A.8 B.9 C.10 D.12 )

)

5.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( 9 A.3 B.4 C.2 二、填空题 11 D. 2

1 1 6 . (2011· 湖南高考 )设 x , y ∈ R ,且 xy≠0 ,则 (x2 + y2 )( x2 + 4y2) 的最小值为 ________. 1 4 7.若正数 a,b 满足a+b=2,则 ab 的最小值为________. 8.若 a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的 a,b 恒成立的是 ________(写出所有正确命题的编号). ①ab≤1;② a+ b≤ 2;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3. 三、解答题 bc ac ab 9.已知 a,b,c 是正实数,求证: a + b + c ≥a+b+c.

-1-

x2+x+3 10.求函数 y= (x>-1)的值域. x+1

11.某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在 2012 年英国伦敦 奥运会期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量 x 万件 与年促销费 t 万元之间满足 3-x 与 t+1 成反比例,如果不搞促销活动,化妆品的 年销量只能是 1 万件,已知 2012 年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为 3 万元,每生产 1 万件化妆品需再投入 32 万元的生产费用,若将每件化妆品的售价 定为其生产成本的 150%与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好 能销完. (1)将 2012 年的利润 y(万元)表示为促销费 t(万元)的函数. (2)该企业 2012 年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大? (注:利润=销售收入-生产成本-促销费,生产成本=固定费用+生产费用)

答案及解析
-2-

1. 【解析】 ∴f(x)=x+

∵x>2,∴x-2>0, 1 ?x-2?· +2=4, x-2

1 1 =(x-2)+ +2≥2 x-2 x-2

当且仅当 x-2= ∴a=3. 【答案】 2. 【解析】 C

1 (x>2),即 x=3 时等号成立, x-2

a2+4 4 M= a =a+a,

当 a>0 时,M≥4,当且仅当 a=2 时等号成立, 当 a<0 时,M≤-4,当且仅当 a=-2 时等号成立, 故 M 的取值范围是(-∞,-4]∪[4,+∞). 【答案】 A

3. 【解析】 当 a=b 时,a2+b2=2ab,排除 A;当 a<b,b<0 时,a+b<0 1 1 2 <2 ab,a+b<0< ,排除 B、C,选 D. ab 【答案】 4. 【解析】 D 4?a+b? 4 4 α+β=(a+b)+a+b=(a+b)+ ab

=5(a+b)≥10 ab=10, 当且仅当 a=b=1 时等号成立. 【答案】 5. 【解析】 C ∵x+2y+2xy=8,∴y= 8-x >0, 2x+2

8-x ∴-1<x<8,∴x+2y=x+2· 2x+2 =(x+1)+ 9 -2≥2 x+1 9 ?x+1?· -2=4, x+1

当且仅当 x+1= 【答案】 6. 【解析】 B

9 时“=”成立,此时 x=2,y=1. x+1

1 1 1 (x2+y2)(x2+4y2)=5+4x2y2+x2y2

-3-

≥5+2

1 4x2y2· x2y2=9,

1 2 当且仅当 4x2y2=x2y2,即|xy|= 2 时等号成立. 【答案】 7. 【解析】 1 4 ∴a+b≥2 ∴4 9 ∵a>0,b>0, 14 a· b=4 1 ab,

1 ab≤2,∴ab≥4,

1 4 1 4 当且仅当a=b且a+b=2 时等号成立. 【答案】 8. 【解析】 4 ?a+b?2 ab≤ 4 =1,当且仅当 a=b 时取等号,①对; ab≤4,

( a+ b)2=a+b+2 ab=2+2

当且仅当 a=b 时取等号,得 a+ b≤2,故②错误. 由于 a2+b2 ?a+b?2 ≥ =1,故 a2+b2≥2 成立,故③正确. 2 4

a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)=2(a2+b2-ab), ∵ab≤1,又 a2+b2≥2, ∴a2+b2-ab≥1,∴a3+b3≥2,故④错误. 【答案】 9. 【证明】 bc ac ∴ a + b ≥2 ac ab b + c ≥2 ab bc c + a ≥2 ①③ ∵a,b,c 是正实数 bc ac a· b =2c(当且仅当 a=b 时取等号) ac ab b· c =2a(当且仅当 b=c 时取等号) ab bc c· a =2b(当且仅当 a=c 时取等号)

bc ac ab ∴2· ( a + b + c )≥2a+2b+2c, bc ac ab 故 a + b + c ≥a+b+c.

-4-

10. 【解】 =x+1+

x2+x+3 ?x+1?2-?x+1?+3 y= = x+1 x+1

3 -1, x+1

由 x>-1,知 x+1>0. ∴(x+1)+ 3 ≥2 x+1 ?x+1?× 3 =2 3, x+1

当且仅当 x+1= ∴y≥2 3-1,

3 ,即 x= 3-1 时等号成立, x+1

故函数的值域为[2 3-1,+∞). 11. 【解】 k (1)由题意可设 3-x= , t+1 2 . t+1

将 t=0,x=1 代入,得 k=2.∴x=3- 当年生产 x 万件时,

∵年生产成本=年生产费用+固定费用, ∴年生产成本为 32x+3=32(3- 2 )+3. t+1

当销售 x(万件)时,年销售收入为 150%[32(3- 2 1 )+3]+2t. t+1

-t2+98t+35 由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,得年利润 y= (t≥0). 2?t+1? -t2+98t+35 t+1 32 (2)y= =50-( 2 + ) 2?t+1? t+1 ≤50-2 t+1 32 2 ×t+1=50-2 16=42(万元),

t+1 32 当且仅当 2 = ,即 t=7 时,ymax=42, t+1 ∴当促销费定在 7 万元时,年利润最大.

-5-


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