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山东省德州一中高三上学期10月月考数学(理)试题 Word版含解析

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山东省德州一中 2015 届高三上学期 10 月月考数学(理)试

题(解析版)

【试卷综析】试卷贴近中学教学实际,在坚持对五个能力、两个意识考查的同时,注重对数学 思想与方法的考查,体现了数学的基础性、应用性和工具性的学科特色.以支撑学科知识体系 的重点内容为考点挑选合理背景,考查更加科学.试卷从多视角、多维度、多层次地考查数学 思维品质,考查考生对数学本质的理解,考查考生的数学素养和学习潜能.
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

一、选择题:每小题 5 分,共 10 题,50 分.

【题文】1.已知集合 A ={0,1, 2,3},集合 B ? {x ? N || x |? 2} ,则 A B =(



A.{ 3 }

B.{0,1,2}

【知识点】交集的运算.A1

C.{ 1,2}

D.{0,1,2,3}

【答案解析】B 解析:因为 B ? {x ? N || x |? 2} ? ?x | ?2 ? x ? 2? ,所以 A B =

{0,1,2},故选 B.

【思路点拨】先解出集合 B,再求 A B 即可.

【题文】2.若

f

?(x0 )

?

?3 ,则 lim h?0

f

( x0

? h) ? h

f

( x0

? h)

?(



A. ?3

B. ?6

C. ?9

D. ?12

【知识点】导数的概念.B11

【答案解析】B

解析: lim h?0

f

( x0

? h) ? h

f

( x0

? h)

?

?

2f

?(x0 )

?

?6 ,故选 B.

【思路点拨】利用导数的概念解之即可.

【题文】3.函数 f (x) ? ln(x2 ? x) 的定义域为(



A. (0,1)

B. [0,1] C. (??,0) ? (1,??)

【知识点】函数的定义域.B1

D. (??,0] ?[1,??)

【答案解析】C 解析:若使原函数有意义,则 x2 ? x ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? 0 ,即函数的

定义域为 (??,0) ? (1,??) ,故选 C.

【思路点拨】若使原函数有意义,解一元二次不等式即可.

【题文】4.已知函数 f (x) ? 5|x| ,g(x) ? ax2 ? x(a ? R) ,若 f [g(1)] ? 1 ,则 a ?(



A.1

B. 2

C. 3

D. -1

【知识点】函数的值.B1
【答案解析】A 解析:由题意得: g ?1? ? a ?1,所以 f ?a ?1? ? 5|a?1| ? 1 ,解得 a ? 1 ,
故选 A.
? ? 【思路点拨】先由题意得 g 1 ,然后解方程 5|a?1| ? 1即可.

【题文】5.已知 f (x), g(x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且

f (x) ? g(x) ? x3 ? x2 ?1,则 f (1) ? g(1) ? (



A. ? 3

B. ?1

C. 1

D. 3

【知识点】奇函数、偶函数的性质.B4

【答案解析】C 解析:因为 f (x), g(x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,所以

f (?x) ? f (x) , g(?x) ? ?g(x) ,又因为 f (x) ? g(x) ? x3 ? x2 ?1,

故 f (?x) ? g(?x) ? ?x3 ? x2 ?1 ,即 f (x) ? g(x) ? ?x3 ? x2 ?1 ,则 f (1) ? g(1) ? 1,故选
C.
【思路点拨】先由题意的 f (?x) ? f (x) ,g(?x) ? ?g(x) ,再结合 f (x) ? g(x) ? x3 ? x2 ?1

可求出 f (x) ? g(x) ? ?x3 ? x2 ?1 ,进而得到结果.

【题文】6.已知集合 A ={2,0,1,4}, B ={ k | k ? R , k 2 ? 2 ? A , k ? 2 ? A },则集

合 B 中所有元素之和为(



A.2 B.-2 C.0 D. 2
【知识点】集合中元素的特性.A1

【答案解析】B 解析:因为 k 2 ? 2 ? A ,所以有下列情况成立:

(1) k 2 ? 2 =2,解得 k ? ?2 ,当 k ? 2 时, k ? 2 ? 0 ? A 不满足题意,舍去,故 k ? ?2 ;

(2) k 2 ? 2 =0,解得 k ? ? 2 ,经检验满足题意;

(3) k 2 ? 2 =1,解得 k ? ? 3 ,经检验满足题意;

(4) k 2 ? 2 =4,解得 k ? ? 6 ,经检验满足题意; 所以集合 B 中所有元素之和为 ?2 ,故选 B.

【思路点拨】由 k 2 ? 2 ? A 分情况讨论即可得到结果.

【题文】7.曲线 y ? xex?1 在点(1,1)处切线的斜率等于(



A. 2e B. e C.2 D.1
【知识点】导数的几何意义.B11

【答案解析】C

解 析 : 因 为 f (x) ? xex?1 , 所 以 f ?(x) ? ? x ? 1? ex?1 , 则

k ? f ?(1) ? ?1?1? e1?1 ? 2 ,故选 C.

【思路点拨】先对原函数求导,再利用导数的几何意义求出斜率即可.

? ? 【题文】8.若 f (x) ? x2 ? 2

1
f (x)dx, 则

1
f (x)dx ? (

0

0



A. ?1

B. ? 1 3

C. 1 D.1 3

【知识点】定积分.B13

? 【答案解析】B 解析:设 m ? 1 f ? x?dx ,则 f (x) ? x2 ? 2m , 0

? ? ? ? ? 1 f (x)dx ?

1

x2 ? 2

1
f (x)dx

dx ? 1 x3 ? 2mx 1

? 1 ? 2m ? m ,所以 m ? ? 1 .故选 B.

0

0

0

3

03

3

【思路点拨】本题考查了定积分以及微积分基本定理的应用.

【题文】9.下列四个图中,函数 y= 101n x ?1 的图象可能是(



x ?1

A

B

C

D

【知识点】函数的图像;函数的性质.B8

【答案解析】C 解析:令 t ? x ?1,则原函数转化为 y ? 10 ln | t | ,此函数为奇函数,关 t
于坐标原点对称,可排除 A,D;又因为当 x ? 0 时,函数值为正值,故排除 B,则答案为 C.

【思路点拨】借助于函数的性质结合排除法即可.

【题文】10.如图所示的是函数

f

(x)

?

x3

? bx 2

?

cx

?

d

的大致图象,则

x12

?

x

2 2

等于





A. 2 B. 4

C. 8 D. 16

3

3

3

3

【知识点】导数的几何意义.B11

【答案解析】C 解析:由图象知 f (x) = 0 的根为 0,1,2,\ d=0,

( ) \ f (x) = x3 +bx2 +cx = x x2 +bx +c = 0 ,\ x2 +bx +c = 0 的两根为 1 和 2,

\ b = - 3, c = 2 ,\ f (x) = x3 - 3x2 +2x ,\ f ?(x) = 3x2 - 6x +2 ,Q x1, x2 为

( ) 3x2 - 6x +2 = 0 的两根,\

x1

+ x2

=

2

, x1x2

=

2 3

,\

x12 + x22 =

x1 + x2

2

-

2x1x2

=

8 3

,故

选 C.

【思路点拨】由图象知 f (x) = 0 的根为 0,1,2,求出函数解析式,x1, x2 为 3x2 - 6x + 2 = 0 的
两根,结合根与系数的关系求解.
第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:每小题 5 分,共 5 题,25 分. 11.物体运动方程为 S ? 2t ? 3 ,则 t ? 2 时瞬时速度为
【知识点】导数的几何意义.B11

【 答 案 解 析 】 4 ln 2 解 析 : 由 题 意 得 : S? ? 2t ln 2 , 当 t ? 2 时 瞬 时 速 度 为

S? |t?2 ? 22 ln 2 ? 4 ln 2 ,故答案为: 4 ln 2 。
【思路点拨】利用导数的几何意义可得结果.
【题文】12.已知 f (x) = lg( 2 ? a) 是奇函数,则实数 a 的值是 1? x
【知识点】奇函数的性质.B4
【答案解析】?1 解析:因为原函数为奇函数,所以 f ?0? ? 0 ,即 lg(2 ? a) ? 0 ,解得 a= ?1,

故答案为: ?1。
【思路点拨】利用奇函数的性质解之即可。
【题文】13.如图所示,已知抛物线拱形的底边弦长为 a ,拱高为 b ,其面积为____________.
【知识点】抛物线的简单性质.H7
【答案解析】 2 ab 解析:以底边弦所在的直线为 x 轴,中垂线为 y 轴建立平 3
面直角坐标系,设抛物线的方程为 x2 = 2 py ,根据题意可得抛物线上的点的

坐标为 骣 琪 琪 桫a2 , - b

,靶点坐标代入得:2 p

=

a2 4b

,即 x2

=-

a2 4b

y ,y

=-

4b a2

x2 ,

a

2?

2 0

4b a2

x2dx

ab ,物线拱形的底边弦长为 a ,拱高为 b ,其面积为 ab - ab = 2 ab ,故答

3

33

案为 2 ab 。 3
【思路点拨】以底边弦所在的直线为 x 轴,中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系,,求出抛物

线方程积分即可.
【题文】14.不等式 x6 ? (x ? 2) ? (x ? 2)3 ? x2 的解集为____________.

【知识点】不等式的解法.E4

【 答 案 解 析 】{ x|x<-1 或 x>2 } 解 析 : 原 不 等 式 等 价 于 x6 ? x2 ? (x ? 2)3 ? (x ? 2). 设

f (x) ? x3 ? x , 则 f (x) 在 R 上 单 调 增 . 所 以 , 原 不 等 式 等 价 于

f (x2 ) ? f (x ? 2) ? x2 ? x ? 2 ? x ? ?1或x ? 2

所以原不等式解集为{x|x<-1 或 x>2}

【思路点拨】利用函数的单调性转化为等价命题,得到结果。

【题文】15.已知 f (x) 为 R 上增函数,且对任意 x ? R ,都有 f ?? f (x) ? 3x ?? ? 4 ,则 f (2) ? ____________.

【知识点】求函数值;函数单调性.B1 B3

【答案解析】10 解析:依题意, f (x) ? 3x 为常数。设 f (x) ? 3x ? m ,则 f (m) ? 4 ,

f (x) ? 3x ? m 。∴ 3m ? m ? 4 , 3m ? m ? 4 ? 0 。易知方程 3m ? m ? 4 ? 0 有唯一解

m ? 1。∴ f (x) ? 3x ? 1, f (2) ? 32 ?1 ? 10 。

【思路点拨】根据函数的单调性可判断 f (x) ? 3x 为常数,则有 3m ? m ? 4 ,解出 m 即可求

出结果。
三、解答题:共 6 小题,75 分.写出必要文字说明、证明过程及演算步骤.
16.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) 的定义域为 (?2, 2) ,函数 g(x) ? f (x ?1) ? f (3 ? 2x)

(Ⅰ)求函数 g(x) 的定义域;

(Ⅱ)若 f (x) 是奇函数,且在定义域上单调递减,求不等式 g(x) ? 0 的解集.
【知识点】函数的定义域;函数的奇偶性;函数的单调性.B1 B3 B4

【答案解析】(Ⅰ)

1 2

?

x

?

5 2

;(Ⅱ)

?? ?

1 2

,2???

解析:(Ⅰ)由题意可知:

??2<x ???2<3

? ?

1<2 2x<2

?

??1<x<3

?

? ??

1 2

<x<

5 2



解得 1 ? x ? 5 …………………………3 分

2

2

∴函数 g(x) 的定义域为 (1 , 5) …………………………………………………4 分 22

(Ⅱ)由 g(x) ? 0 得 f (x ?1) ? f (3 ? 2x) ≤ 0 ,

∴ f (x ?1) ? ? f (3 ? 2x)

又∵ f (x) 是奇函数, ∴ f (x ?1) ? f (2x ? 3) ……………………………8 分

??2<x ?1<2

又∵

f

(x)

在 (?2, 2)

上单调递减,∴ ???2<2x ? 3<2 ??x ?1≥2x ? 3

?

1 <x≤2 2

………………11





g

(

x)

?

0

的解集为

?? ?

1 2

,2???

…………………………………………………12 分

【思路点拨】(Ⅰ)由题意转化为不等式组解之即可;(Ⅱ)根据函数的奇偶性转化为

f (x ?1) ? f (2x ? 3) ,再根据函数的单调性解不等式组可得结果.

【题文】17.(本小题满分 12 分)

已知曲线 y ? x3 ? x ? 2 在点 P0 处的切线 l1 平行直线 4x ? y ?1 ? 0 ,且点 P0 在第三
象限.

(Ⅰ)求 P0 的坐标;

(Ⅱ)若直线 l ? l1 , 且 l 也过切点 P0 ,求直线 l 的方程.
【知识点】导数的几何意义;直线方程的求法.B12
【答案解析】(Ⅰ) (-1,-4) (Ⅱ) x ? 4 y ?17 ? 0

解析:(Ⅰ)由 y ? x3 ? x-2 ,得 y? ? 3x2 ?1,…………………………2 分

由 l1 平行直线 4x ? y ?1 ? 0 得 3x2 ?1 ? 4 ,解之得 x ? ?1 . 当 x ? 1 时, y ? 0 ; 当 x ? -1 时, y ? -4 .…………………4 分

又∵点 P0 在第三象限, ∴切点 P0 的坐标为 (-1,-4) …………………………6 分

(Ⅱ)∵直线 l ? l1 ,

l1 的斜率为 4,

∴直线 l 的斜率为 ? 1 , …………8 分 4

∵ l 过切点 P0 ,点 P0 的坐标为 (-1,-4)

∴直线 l 的方程为 y ? 4 ? ? 1 (x ?1) ………………………………………………11 分 4

即 x ? 4 y ?17 ? 0 ………………………………………………12 分

【思路点拨】(Ⅰ)先对原函数求导,再结合点 P0 在第三象限可求坐标;(Ⅱ)利用两直线
垂直的充要条件求出斜率,然后利用点斜式求出直线方程。 【题文】18.(本小题满分 12 分)
若实数 x0 满足 f (x0 ) ? x0 ,则称 x ? x0 为 f (x) 的不动点.已知函数 f (x) ? x3 ? bx ? 3 , 其中 b 为常数. (Ⅰ)求函数 f (x) 的单调递增区间;

(Ⅱ)若存在一个实数 x0 ,使得 x ? x0 既是 f (x) 的不动点,又是 f (x) 的极值点.求实数 b
的值; 【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.B12
【答案解析】(Ⅰ)当 b ? 0 时, f (x) 的单调递增区间为 (??, ??) ;当 b ? 0 时, f (x) 的

单调递增区间为 (??, ? ? b ) , ( ? b , ??) ;(Ⅱ) b ? ?3 。

3

3

解析:(Ⅰ)因 f (x) ? x3 ? bx ? 3 ,故 f ?(x) ? 3x2 ? b . ……………………1 分

当 b ? 0 时,显然 f (x) 在 R 上单增; ………………………3 分

当 b ? 0 时,由知 x ? ? b 或 x ? ? ? b . …………………………5 分

3

3

所以,当 b ? 0 时, f (x) 的单调递增区间为 (??, ??) ;

当 b ? 0 时, f (x) 的单调递增区间为 (??, ? ? b ) , ( ? b , ??) ………6 分

3

3

(Ⅱ)由条件知 ???3x0x3 02??bbx0??03 ? x0 ,于是 2x03 ? x0 ? 3 ? 0 ,………………8 分

即 (x0 ?1)(2x02 ? 2x0 ? 3) ? 0 ,解得 x0 ? 1………………11 分

从而 b ? ?3 . ……………………………12 分

【思路点拨】(Ⅰ)先对原函数求导,然后分类讨论即可;(Ⅱ)由条件先解出 x0 ? 1再求出

b 的之即可。

【题文】19.(本小题满分 12 分)

统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y (升)关于行驶速度 x (千米/

小时)的函数解析式可以表示为:
y ? 1 x3 ? 3 x ? 8 128000 80
已知甲、乙两地相距 100 千米

(0 ? x ? 120)

(Ⅰ)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?

(Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 【知识点】函数的模型及其应用.B10

【答案解析】(Ⅰ)17.5 升;(Ⅱ)当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙

地耗油最少,最少为 11.25 升.

解析:(Ⅰ)当 x ? 40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 100 ? 2.5 小时,…………2 分 40

要耗油 ( 1 ? 403 ? 3 ? 40 ? 8) ? 2.5 ? 17.5 ………………………4 分

128000

80

答当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油 17.5 升……5 分

(Ⅱ)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 100 小时,设油耗为 h(x) 升, x

依题意得
( 0 ? x ? 120 )…7 分

h(x) ? ( 1 x3 ? 3 x ? 8) 100

128000 80

x

? 1 x2 ? 800 ? 15

1280

x4

方法一则 h?(x)

?

x 640

?

800 x2

?

x3 ? 803 640x2

( 0 ? x ? 120 )……………8 分

令 h?(x) ? 0 ,解得 x ? 80 ,列表得

x (0,80) 80 (80,120]

h?( x)



0



h(x)





……………10 分

所以当 x ? 80 时, h(x) 有最小值 h(80) ? 11.25 .………………11 分

方法二 h(x) ? 1 x2 ? 800 ? 15 ? 1 x2 ? 400 ? 400 ? 15 ………8 分

1280

x 4 1280

x x4

? 33 1 x2 400 400 ? 15 =11.25…………………10 分 1280 x x 4

当且仅当 1 x2 ? 400 ? 400 时成立,此时可解得 x ? 80 ……………………11 分

1280

xx

答:当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升.12



【思路点拨】(Ⅰ)直接利用二次函数的性质即可;(Ⅱ)方法一,利用导数先求极值,再求

出最小值以及取得最小值时的 x 的值;方法二,利用基本不等式求最小值以及取得最小值时

的 x 的值。

【题文】20.(本小题满分 13 分)

已知函数 f (x) ? ln x (x ? 0) ,函数 g(x) ? 1 ? af ?(x)(x ? 0) f ?(x)

(Ⅰ)当 x ? 0 时,求函数 y ? g(x) 的表达式;

(Ⅱ)若 a ? 0 ,函数 y ? g(x) 在 (0, ??) 上的最小值是 2 ,求 a 的值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求直线 y ? 2 x ? 7 与函数 y ? g(x) 的图象所围成图形的面积.
36

【知识点】函数解析式的求法;基本不等式;定积分.B1 B13 E6

【答案解析】(Ⅰ) y ? g(x) ? x ? a (Ⅱ) a ? 1;(Ⅲ) 7 ? ln 3 ? 2 ln 2

x

24

解析:(Ⅰ)∵ f (x) ? ln x ,

∴当 x ? 0 时, f (x) ? ln x , f ?(x) ? 1 x

当 x ? 0 时, f (x) ? ln(?x) , f ?(x) ? 1 ? (?1) ? 1 .

?x

x

∴当 x ? 0 时,函数 y ? g(x) ? x ? a .……………………………………4 分 x

(Ⅱ)∵由(Ⅰ)知当 x ? 0 时, g(x) ? x ? a , x

∴当 a ? 0, x ? 0 时, g(x) ≥ 2 a 当且仅当 x ? a 时取等号.

∴函数 y ? g(x) 在 (0, ??) 上的最小值是 2 a ,

∴依题意得 2 a ? 2 ∴ a ? 1 .………………………………8 分

(Ⅲ)由

?
?? ?
? ??

y y

? ?

2 3
x

x ?

?
1 x

7 6

解得

? ?? ? ? ??

x1 y1

? ?

3 2 13 6

,

? ? ? ??

x2 y2

? ?

2 5 2

∴直线 y ? 2 x ? 7 与函数 y ? g(x) 的图象所围成图形的面积 36

? S ?

2 3 2

???(

2 3

x

?

7 6

)

?

(

x

?

1 x

)???dx

=

7 24

?

ln

3

?

2

ln

2

……………………13



【思路点拨】(Ⅰ)求出 f ?(x) ? 1 后,直接求出解析式;(Ⅱ)利用基本不等式求出最小值 x
可得 a;(Ⅲ)利用定积分的基本定理与几何意义可求面积。

【题文】21.(本小题满分 14 分)

设关于

x

的方程

x2

?

mx

?1 ?

0 有两个实根? , ? ,?

?

?

,函数

f

?x? ?

2x ? m x2 ?1



(Ⅰ)求?f ?? ?? ?f ?? ? 的值;

(Ⅱ)判断 f ?x? 在区间 ?? , ? ? 的单调性,并加以证明;

(Ⅲ)若 ?, ? 均为正实数,证明:

f

????

?? ?

? ?

?? ?

????

?

f

????

?? ?

? ?

?? ?

????

?

? ??

【知识点】利用导数研究函数的单调性;不等式的证明.B12 E7

【答案解析】(Ⅰ)2;(Ⅱ) f ?x? 在区间 ?? , ? ? 的单调递增;(Ⅲ)见解析。

解析:(Ⅰ)∵? , ? 是方程 x2 ? mx ?1 ? 0 的两个根, ∴? ? ? ? m ,?? ? ?1,1 分



f

??

?

?

2? ? m ?2 ?1

,又 m

?

?

?

?

,∴

f

??

?

?

2?

? (? ? ?2 ?1

?)

?

? ?2

?? ? ??

? 1 .....3 分 ?

即? f (? ) ? 1,同理可得 ? f (? ) ? 1

∴? f (? ) + ? f (? ) ? 2 ………………………………………4 分

(Ⅱ)∵

f

??

x?

?

?

2(x2 ? mx ?1) (x2 ?1)2

,………………………………………6





m

?

?

?

?

代入整理的

f

??

x?

?

?

2(x ?? )(x ? (x2 ?1)2

?

)

………………………7



又 x ??? , ? ?, f ?? x? ? 0 ,∴ f ?x? 在区间 ?? , ? ? 的单调递增; …………8 分

(Ⅲ)∵? ? ?? ? ?? ? ?(? ?? ) ? 0 , ?? ? ?? ? ? ? ?(? ? ? ) ? 0

???

???

???

???

∴? ? ?? ? ?? ? ? ……………………………………………10 分 ???

由(Ⅱ)可知 f (? ) ? f (?? ? ?? ) ? f (? ) ,同理 f (? ) ? f ( ?? ? ?? ) ? f (? )

???

???

f

? ? ?

?? ?

? ?

?? ?

? ? ?

?

f

? ? ?

?? ?

? ?

?? ?

? ? ?

?

f (? ) ? f (? ) ……………………………12 分

由(Ⅰ)可知 f (? ) ? 1 , f (? ) ? 1 ,?? ? ?1,

?

?

∴ f (? ) ? f (? ) ?| 1 ? 1 |?| ? ? ? |?| ? ? ? | ? ? ??



f

????

?? ?

? ?

?? ?

???? ?

f

????

?? ?

? ?

?? ?

????

? ???

…………………………………14 分

【思路点拨】(Ⅰ)根据根与系数的关系可求出? f (? ) ? 1,同理可得 ? f (? ) ? 1 ,然

后可得结论;(Ⅱ)求导后即可判断出单调区间;(Ⅲ)先由已知可得? ? ?? ? ?? ? ? , ???

然后即可证明。