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离散数学第四章 二元关系_图文

第四章 二元关系 前言 在日常生活中,我们都十分熟悉关系这个词的含义,例如夫妻关系,同 事关系,上下级关系,位置关系等。在数学中,关系可表达集合中元素 间的联系。在计算机科学中,关系的概念也具有重要意义。例如,数字 计算机的逻辑设计和时序设计中,都应用了等价关系和相容关系的概念。 在编译程序设计、讯息检索、数据结构等领域中,关系的概念都是不可 缺少的,常常使用复合数据结构,诸如阵列、表格或者树去表达数据集 合。而这些数据集合的元素间往往存在着某种关系。在算法分析和程序 结构中,关系的概念起着重要作用。与关系相联系着的,是对客体进行 比较,这些被比较的客体当然是有关系的。根据比较结果的不同,计算 机将去执行不同的任务。 2017/7/12 2 主要内容 PART 01 PART 02 01 PART 03 01 PART 04 01 PART 05 01 PART 06 01 PART 07 01 PART 08 01 多重序元与笛卡尔乘积 关系的基本概念 关系的运算 关系的性质 关系的表示 关系的闭包运算 特殊关系 关系型数据库 3 2017/7/12 4.1 多重序元与笛卡尔乘积 序偶 ?定义4.1 由两个元素 x 和 y 按一定顺序排列成的二元组叫作序偶或有序 对,记作< x , y >,其中 x 是序偶的第一元素, y 是序偶的第二元素。 与集合不同,序偶是元素顺序相关的概念,即 x ? y ? x, y ? y, x ,而两个序偶 相等的充要条件是两个序偶的第一元素相等且第二元素相等,即 x, y ? u, v ? x ? u ? y ? v 例如集合{ 1 , 2 } 和 { 2 , 1 } 表示同一个集合,而<1 , 2 > 和 <2 , 1 > 则表示平面 上不同的点,即不同的序偶。 2017/7/12 4.1 多重序元与笛卡尔乘积 序偶 ?例4.1 已知 x ? 2,4 ? 5,2 x ? y ,求 x 和 y 。 解:由序偶相等的充要条件可得 ?x ? 2 ? 5 ? ?2 x ? y ? 4 解得 x = 3 , y = -2 。 应该指出的是,序偶<a , b> 两个元素不一定来自同一个集合,他们可以代表不同 类型的事务。例如,a 代表操作码,b 代表地址码,则序偶<a , b> 就代表一条单 址指令。 2017/7/12 4.1 多重序元与笛卡尔乘积 序偶 ?把序偶的概念加以推广,可以定义 n 重序元。例如,三重序元是一个序 偶,它的第一元素是一个序偶,一般记作<<x , y>, z> ,为方便起见把它 简记为<x , y , z> 。 ?依此类推, 重序元是一个序偶,它的第一元素是 (n-1)重序元,并可记 作 ?? x1 , x2 ?, xn?1 ?, xn ? 。给定两个 n 重序元 ?? x1 , x2 ?, xn?1 ?, xn ? 和 ?? a1 , a2 ?, an?1 ?, an ? ,于是可有 ?? x1 , x2 ?, xn?1 ?, xn ? ? ?? a1 , a2 ?, an?1 ?, an ? ? (( x1 ? a1 ) ? ( x2 ? a2 ) ? ... ? ( xn ? an )) 因此可把 n 重序元改写成 ? x1 , x2 ?, xn ? ,其中第 i 个元素通常称作 n 重序 元的第 i 个坐标。 2017/7/12 4.1 多重序元与笛卡尔乘积 笛卡尔乘积 ?定义4.2 设 A 和 B 是任意两个集合。若序偶的第一元素是 A 的一个元 素,第二元素是 B 的一个元素,则所有这样的序偶集合,称为 A 和 B 的 笛卡儿乘积,记作 A x B ,即 A ? B ? {? x, y? | x ? A ? y ? B} 2017/7/12 4.1 多重序元与笛卡尔乘积 笛卡尔乘积 | B |? n ,则 | A ? B |? mn 。 ?由排列组合的知识不难证明,如果 | A |? m , ?笛卡儿乘积运算具有以下性质。 ?1.对任意集合 A ,根据定义有 A?? ? ? ?? A ? ? ?2.一般来说,笛卡儿乘积运算不满足交换律,即 A? B ? B ? A (当 A ? ?? B ? ?? A ? B 时) 2017/7/12 4.1 多重序元与笛卡尔乘积 笛卡尔乘积 ?笛卡儿乘积运算具有以下性质。 ?3.笛卡儿乘积运算不满足结合律,即 | A |? m | B |? n | A ? B |? mn 2017/7/12 4.1 多重序元与笛卡尔乘积 笛卡尔乘积 ?笛卡儿乘积运算具有以下性质。 ? ( 1) A ? ( B ? C ) ? ( A ? B ) ? ( A ? C ) ? ( 2) A ? ( B ? C ) ? ( A ? B ) ? ( A ? C ) ? ( 3) ( A ? B ) ? C ? ( A ? C ) ? ( B ? C ) ? ( 4) ( A ? B ) ? C ? ( A ? C ) ? ( B ? C ) ?5 . A ? C ? B ? D ? A ? B ? C ? D | A |? m | B |? n | A ? B |? mn ?4.笛卡儿乘积运算对并和交运算满足分配率,即 2017/7/12 4.1 多重序元与笛卡尔乘积 笛卡尔乘积 ?设 A ? { Ai }1≤i≤n 是加标集合,与 A 对应的指标集合是集合 A1 , A2 ,?, An 的笛卡儿乘积可以表示成 ?例如: 1≤i≤n 1≤i≤3 ? Ai ? A1 ? A2 ?? An ? Ai ? A1 ? A2 ? A3 ? {? x1 , x2 , x3 ? | x1 ? A 1 ? x2 ? A 2 ? x3 ? A 3} 对于n个集合的笛卡尔乘积来说,同理可有 A1 ? A2 ?? An ? (( A1 ? A2 ) ?

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离散数学课件 第四章 二元关系习题 - 练习 ? 1、(79页第3题) ? R1

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第四章 二元关系 和函数 1 2 3 4 离散数学授课教师:向胜军 笛卡尔积与二元关系 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系和偏序关系 函数的定义和性质 函数...

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离散数学第四章 - 第四章 关系 4.1 二元关系 4.2 关系运算 4.3 关系类型 退出 4.1 二元关系 二元关系,这里是指集合中两个元素之间 的关系。 1.基本概念 定义...

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