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一元三次方程求根公式的解法

一元三次方程求根公式的解法
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的,用类似解一元二次方程的 求 根 公 式 的 配 方 法 只 能 将 型 如 ax^3+bx^2+cx+d+0 的 标 准 型 一 元 三 次 方 程 形 式 化 为 x^3+px+q=0 的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到,即根据一元一次方程、一元二次 方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。 归纳出来 的形如 x^3+px+q=0 的一元三次方程的求根公式的形式应该为 x=A^(1/3)+B^(1/3)型,即为 两个开立方之和。 归纳出了一元三次方程求根公式的形式,下一步的工作就是求出开立方里 面的内容,也就是用 p 和 q 表示 A 和 B。方法如下: (1)将 x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到 (2)x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) (3)由于 x=A^(1/3)+B^(1/3),所以(2)可化为 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x,移项可得 (4)x^3-3(AB)^(1/3)x-(A+B)=0,和一元三次方程和特殊型 x^3+px+q=0 作比较,可知 (5)-3(AB)^(1/3)=p,-(A+B)=q,化简得 (6)A+B=-q,AB=-(p/3)^3 (7)这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题,因为 A 和 B 可以看作是一元二次方程的两个根,而(6)则是关于形如 ay^2+by+c=0 的一元二次方程 两个根的韦达定理,即 (8)y1+y2=-(b/a),y1*y2=c/a (9)对比(6)和(8),可令 A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)^3=c/a (10)由于型为 ay^2+by+c=0 的一元二次方程求根公式为 y1=-(b+(b^2-4ac)^(1/2))/(2a) y2=-(b-(b^2-4ac)^(1/2))/(2a) 可化为 (11)y1=-(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) y2=-(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) 将(9)中的 A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)^3=c/a 代入(11)可得 (12)A=-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2) B=-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2) (13)将 A,B 代入 x=A^(1/3)+B^(1/3)得 (14)x= ( - (q/2)-((q/2)^2 + ( p/3 ) ^3 ) ^(1/2) ) ^(1/3)+ ( - (q/2)+((q/2)^2 + (p/3)^3)^(1/2))^(1/3) 一、 (14)只是一元三方程的一个实根解,按韦达定理一元三次方程应该有三个根,不过 按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根,另两个根就容易求出了。 由于计算太复杂 及这个问题历史上已经解决,我不愿花过多的力气在上面,我做这项工作只是想考验自己 的智力,所以只要关键的问题解决了另两个根我就没有花力气去求解。 二、 我也曾用类似的方法去求解过一元四次方程的解,具体就是假设一元四次方程的根 的形式为 x=A^(1/4)+B^(1/4)+C^(1/4),有一次我好象解出过,不过后来多次求解好象说明 这种方法求解一元四次方程解不出。 不过我认为如果能进一步归纳出 A、 C 的形式,应该能 B、 求出一元四次方程的求根公式的。 由于计算实在太复杂及这个问题古人已经解决了,我后来 一直没能完成这项工作。 三、通过求解一元三次方程的求根公式,我获得了一个经验,用演绎法(就是直接推

理)求解不出来的问题,换一个思维,用归纳法(及通过对简单和特殊的同类问题的解法 的归纳类比)常常能取得很好的效果。 事实上人类常常是这样解决问题的,大科学家正是这 样才成为大科学家的。 1 一元三次方程求根公式, x^3+a*x^2+b*x+c=0 其解为(注意 I 为虚数单位): x1=1/6*(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^254*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)-6*(1/3*b-1/9*a^2)/(36*b*a-108*c8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)-1/3*a; x2=-1/12*(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^254*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)+3*(1/3*b-1/9*a^2)/(36*b*a-108*c8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)1/3*a+1/2*I*3^(1/2)*(1/6*(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^254*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)+6*(1/3*b-1/9*a^2)/(36*b*a-108*c8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)); x3=-1/12*(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^254*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)+3*(1/3*b-1/9*a^2)/(36*b*a-108*c8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)-1/3*a1/2*I*3^(1/2)*(1/6*(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^254*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)+6*(1/3*b-1/9*a^2)/(36*b*a-108*c8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)); 以上解绝对正确!我用 maple 解出来的。 希望有人跟贴,写成一元四次方程的解。

一元四次方程的求根公式.
设实系数四次方程为 y^4+ay^3+by^2+cy+d=0 利用代换 y=x-q/4 消去 y^3,得 (5-2)x^4+px^2+qx+r=0 在上述方程加一参数 α 得(x^2+p/2+α)^2+qx+r-P^2/4-α^2-2αx^2-pα =(x^2+p/2+α)^2-[2αx^2-qx+α^2+pα-r+p^2/4]=0 取 α 使得方括号里是完全平方项,这时判别式 D=0,即 q^2-r*2α(α^2+pα-r+p^2/4)=0 (5-3) 方程(5-3)除 α 外均为已知数,是一个一元三次方程的根.因此 可以求出. 如果 α0 是方程(5-3)的一个根,则 (x^2+p/2+α0)^2-2α0(x-q/4α0)^2=0 即 x^2+p/2=±(2α0)^(1/2)(x-q/4α0) 原方程变为解一元二次方程. 由此方程即解出.当然,这里 α0 的求法有三种,而=(2α0)^(1/2) 又有两个解,这里不 再叙述. 至于一元五次以上的方程,伽罗瓦理论告诉我们,一般并不存在根式解,即不会有求根公 式.


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