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四川省雅安中学2014届高三入学模拟考试 数学文 Word版含答案


雅安中学高 2011 级高三入学模拟 数 学 (文科)
审题人:郑万勇) (命题人:冉素贞

本试题卷分第Ⅰ卷和第 II 卷 两部分,总分 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一.选择题(共 10 小题,50 分)
1.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞) 上单调递减的函数是( A.y=x﹣1 B.y=x﹣2 C.y=x2 D. ) )

2.复数 z 满足(z﹣3) (2﹣i)=5(i 为虚数单位) ,则 z 的共轭复数 为( A.2+i B.2﹣i C.5﹣i D.5+i ) D. )

3.圆 x2+y2﹣2x+4y+3=0 的圆心到直线 x﹣y=1 的距离为: ( A.2 B. C.1

4.根据下列算法语句,当输入 x 为 60 时,输出 y 的值为(

A.31

B.

30

C. 25

D. 61

5.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下 表所示: 甲 平均环数 方差 s2 乙 丙 丁

8.6 8.9 8.9 8.2 3.5 3.5 2.1 5.6 )

从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛,最佳人选是( A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

6.如图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量(单位:台)的茎叶图,则数 据落在区间[22,30)内的概率为( )

A.0.2

B.0.5

C.0.4

D.0.6

7. 设变量 x, 满足约束条件 y A.﹣4 8.函数 f(x)= A.( - 3, 0] B.﹣7

, 则目标函数 z=y﹣2x 的最小值为 (



C.1 的定义域为( B.( - 3, 1] )

D.2

C. (﹣∞, ﹣3)∪(﹣3.0)

D. (﹣∞,﹣3)∪(﹣3,1)

9.设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC+ccosB=asinA, 则△ ABC 的形状为( A.直角三角形 ) C.钝角三角形 D.不确定

B.锐角三角形

10. 已知抛物线关于 x 轴对称, 它的顶点在坐标原点 O, 并且经过点 M (2, 0) 若 y . 点 M 到该抛物线焦点的距离为 3,则|OM|=( A. B. C.4 ) D.

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二.填空题(共 5 小题,25 分) 11.若实数 x、y 满足(x﹣2)2+y2=3,则 的最大值为 12.已知向量 , .若 ,则实数 k= 的一个焦点,

13.已知抛物线 y2=8x 的准线过双曲线

且双曲线的离心率为 2,则该双曲线的方程为 14.已知命题 p:“?x∈[1,2],使 x2﹣a<0 成立”,若¬p 是真命题,则实数 a 的取值范围是 15.已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的 ,则其体积缩小到原来的 ; ②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等; ③直线 x+y+1=0 与圆 其中真命题的序号是 三.解答题(共 6 小题,75) 相切.

16. (12 分)已知函数 f(x)=Asin(3x+ρ) (A>0,x∈(﹣∞,+∞) ,0<ρ<π) 在 时取得最大值 4. (2)求 f(x)的解析式;

(1)求 f(x)的最小正周期; (3)若 ,求 sinα.

17. (12 分)设数列{an}满足:a1=1,an+1=3an,n∈N+. (1)求{an}的通项公式及前 n 项和 Sn; (2)已知{bn}是等差数列,Tn 为前 n 项和,且 b1=a2,b3=a1+a2+a3,求 T20.

18. (12 分)命题 p:实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2<0(其中 a>0) ;命题 q:实数 x 满足 (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若?p 是?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

19. (12 分)在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60°,对角 线 AC 与 BD 相交于点 O,PO⊥平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成的角为 60°. (1)求四棱锥 P﹣ABCD 的体积; (2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值.

20. (13 分)已知动点 M(x,y)到直线 l:x=4 的距离是它到点 N(1,0)的距 离的 2 倍. (1) 求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2) 过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A,B 两点.若 A 是 PB 的中点, 求直线 m 的斜率.

21. (14 分)已知 a∈R,函数 f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax (Ⅰ)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ)若|a|>1,求 f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.

雅安中学高 2011 级高三入学模拟



学 (文科)

参考答案与评分建议
一.选择题 (每小题 5 分,共 50 分)BCDAC CBAAD 二.填空题(共 5 小题) 11. . 12.k= . 13. . 14. a≤1 . 15. ①③

三.解答题(共 6 小题) 16. (2010 广东)解: (1)由周期计算公式,可得 T= (2)由 f(x)的最大值是 4 知,A=4

(3 分)

,即 sin( ∵0<ρ<π,∴ ∴f(x)=4sin(3x+ (3)( f )(7 分) ) + , ]= , sin[3 即 ( , ∴ ,∴

)=1

) =4sin[3 ( , . (12 分)

) + ,

]=

17. (2013? 重庆)解: (Ⅰ)由题意可得数列{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列, n﹣1 n﹣1 故可得 an=1×3 =3 , 由求和公式可得 Sn= = ;(6 分)

(Ⅱ)由题意可知 b1=a2=3,b3=a1+a2+a3=1+3+9=13, 设数列{bn}的公差为 d,可得 b3﹣b1=10=2d,解得 d=5 故 T20=20×3+ =1010(12 分)

18. (2013? 资阳一模)解: (Ⅰ)由 x ﹣4ax+3a <0 得(x﹣3a) (x﹣a)<0, 又 a>0,所以 a<x<3a, 当 a=1 时,1<x<3,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1<x<3. 分) (2 由

2

2

得 解得 2<x≤3, 即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x≤3. 分) (4 若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真, 所以实数 x 的取值范围是(2,3)(6 分) . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 p:a<x<3a, 则?p:x≤a 或 x≥3a, 分) (8 q:2<x≤3,则?q:x≤2 或 x>3, (10 分) ?p 是?q 的充分不必要条件,则?p??q,且?q? ?p, ∴ 解得 1<a≤2, 故实数 a 的取值范围是(1,2]. (12 分) 19. (2006?上海) 解: (1)在四棱锥 P﹣ABCD 中,由 PO⊥平面 ABCD,得 ∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角,∠PBO=60°. 在 Rt△AOB 中 BO=ABsin30°=1,由 PO⊥BO, 于是,PO=BOtan60°= ,而底面菱形的面积为 2 . ∴四棱锥 P﹣ABCD 的体积 V= ×2 (2) 取 AB 的中点 F,连接 EF、DF. 由 E 是 PB 的中点,得 EF∥PA, × =2. 分) (6

∴∠FED 是异面直线 DE 与 PA 所成 角(或它的补角) , 在 Rt△AOB 中 AO=ABcos30°= 于是,在等腰 Rt△POA 中, PA= ,则 EF= . , =OP,

在正△ABD 和正△PBD 中,DE=DF=

cos∠FED=

=

20. (2013? 陕西)解: (Ⅰ)点 M(x,y)到直线 x=4 的距离是它到点 N(1,0) 的距离的 2 倍,则 |x﹣4|=2 ,即(x﹣4)2=4[(x﹣1)2+y2],

整理得



所以,动点 M 的轨迹是椭圆,方程为

; 分) (5

(Ⅱ)P(0,3) ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由 A 是 PB 的中点, 得 2x1=0+x2,2y1=3+y2. 椭圆的上下顶点坐标分别是 和 线 m 不经过这两点,即直线 m 的斜率 k 存在. 设直线 m 的方程为:y=kx+3. ,经检验直

联立



整理得: (3+4k2)x2+24kx+24=0. . 因为 2x1=x2. 则 ,得 ,

所以





,解得



所以,直线 m 的斜率

. (13 分)

∴异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦是

(12 分)

21、 (2013 浙江)解:(Ⅰ)当 a=1 时,f′(x)=6x2-12x+6,所以 f′(2)=6 ∵f(2)=4,∴曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=6x-8;(4 分)

(Ⅱ)记 g(a)为 f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值. f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a) 令 f′(x)=0,得到 x1=1,x2=a 当 a>1 时, x f′(x) 0 (0,1) + 1 0 (1,a) a 0 极小值 f(x) 0 单调递增 极大值 3a-1 单调递减 a (3-a)
2

(a,2a) +

2a

单调递增

4a3

比较 f(0)=0 和 f(a)=a2(3-a)的大小可得 g(a)= (9 分); 当 a<-1 时, X f′x) f(x) 0 0 (0,1) 单调递减 1 0 极小值 3a-1

{ a (3?a),a>3
2

0,1<a≤3

(1,-2a) + 单调递增

-2a

-28a3-24a2

∴g(a)=3a-1 ∴f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值为 g(a)= (14 分)

? 3a?1,a<?1 ? 0,1<a≤3 ? ? a2(3?a),a>3 ?


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