kl800.com省心范文网

18、正弦定理(1)教学案例

高中数学教学案例 设计获奖汇编 18、正弦定理(1) 一、教学内容分析: “解三角形”既是高中数学的基本内容,又有较强的应用性,在这次课程 改革中,被保留下来,并独立成为一章。解三角形作为几何度量问题,应突出几 何的作用和数量化的思想,为学生进一步学习数学奠定基础。本课“正弦定理” , 作为单元的起始课, 为后续内容作知识与方法的准备,是在学生已有的三角函数 及向量知识的基础上, 通过对三角形边角关系作量化探究,发现并掌握正弦定理 (重要的解三角形工具) ,解决简单的三角形度量问题。教学过程中,应发挥学 生的主动性, 通过探索发现、 合情推理与演绎证明的过程, 提高学生的思辨能力。 二、学生学习情况分析: 由于本课内容和一些与测量、几何计算有关的实际问题相关,教学中若能注 意课程与生活实际的联系,注重知识的发生过程,定能激起学生的学习兴趣。当 然本课涉及代数推理,定理证明中可能涉及多方面的知识方法,综合性强,学生 学习方面有一定困难。 三、设计思想: 定理教学中有一种简陋的处理方式:简单直接的定理呈现、照本宣科的定理 证明,然后是大剂量的“复制例题”式的应用练习。本课采用实验探究、自主学 习、合作交流的研究性学习方式,重点放在定理的形成、证明的探究及定理基本 应用上, 努力挖掘定理教学中蕴涵的思维价值。 从实际问题出发, 引入数学课题, 最后把所学知识应用于实际问题。 四、教学目标: 让学生从已有的知识经验出发,通过对特殊三角形边角间数量关系的探求, 发现正弦定理;再由特殊到一般,从定性到定量,探究在任意三角形中,边与其 对角的关系,引导学生通过观察,猜想,比较,推导正弦定理,由此培养学生合 情推理探索数学规律的数学思考能力;培养学生联想与引申的能力,探索的精神 与创新的意识, 同时通过三角函数、向量与正弦定理等知识间的联系来帮助学生 初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的唯物主义观点。 五、教学重点与难点: 本节课的重点是正弦定理的探索、证明及其基本应用;难点是正弦定理应用 中“已知两边和其中一边的对角解三角形,判断解的个数” ,以及逻辑思维能力 的培养。 六、教学过程设计: (一)创设情境: 问题 1、 在建设水口电站闽江桥时,需预 先测量桥长 AB,于是在江边选取一个测量 点 C,测得 CB=435m,∠CBA= 880 ,∠BCA= 420 。 由以上数据,能测算出桥长 AB 吗?这是一 个什么数学问题? 引出: 解三角形——已知三角形的某些边 和角,求其他的边和角的过程。 [设计意图:从实际问题出发,引入数学 A 880 420 B 435m C 课题。] 师:解三角形,需要用到许多三角形的知识,你对三角形中的边角知识知多 少? 生: · · · · · · , “大角对大边,大边对大角” 师: “a>b>c ←→ A>B>C” ,这是定性地研究三角形中的边角关系,我 们能否更深刻地、从定量的角度研究三角形中的边角关系? 引出课题: “正弦定理 [设计意图:从联系的观点,从新的角度看过去的问题,使学生对于过去的 知识有了新的认识,同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上,形成良好的 知识结构。] (二)猜想、实验: 1、发散思维,提出猜想:从定量的角度考察三角形中的边角关系,猜想可 能存在哪些关系? [学情预设:此处,学生根据已有知识“a>b>c ←→ A>B>C” ,可能 出现以 下答案情形。如 a/A=b/B=c/C,a/sinA=b/sinB=c/sinC, a/cosA=b/cosB=c/cosC,a/tanA=b/tanB=c/tanC, 〃 〃 〃 〃 〃 〃等等。] [设计意图:培养学生的发散思维,猜想也是一种数学能力] 2、研究特例,提炼猜想:考察等边三角形、特殊直角三角形的边角关系, 提炼出 a\sinA=b\sinB=c\sinC。 3、实验验证,完善猜想:这一关系式在任一三角形中是否成立呢? 请学生以量角器、刻度尺、计算器为工具,对一般三角形的上述关系式进 行验证,教师用几何画板演示。在此基础上,师生一起得出猜想,即在任意三 角形中,有 a\sinA=b\sinB=c\sinC。 [设计意图:着重培养学生对问题的探究意识和动手实践能力] (三)证明探究: 对此猜想,据以上直观考察,我们感情上是完全可以接受的,但数学需要 理性思维。如何通过严格的数学推理,证明正弦定理呢? 1、 特殊入手,探究证明 : 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中, 角与边的等式关系。在 Rt ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, ?C ? 90 0 , 根据锐角 a b c ? sin A ? sin B s iC n ? ?1 c c c , 的正弦函数的定义,有 , ,又 则 a sin A ? b sin B ? c sinC ?c a ,从而在直角三角形 ABC 中, sin A ? b sin B ? c sinC 。 2、推广拓展,探究证明 : 问题 2:在锐角三角形 ABC 中,如何构造、表示 “a 与 sin A 、 b 与 sinB” 的关系呢? 探究 1:能否构造直角三角形,将问题化归为已知问题? [学情预设:此处,学生可能出现以下答案情形。学生对直角三角形中证 明定理的方法记忆犹新,可能通过以下三种方法构造直角三角形。 生 1:如图 1,过 C 作 BC 边上的线 CD,交 BA 的延长线于 D,得到直 角三角形 DBC。 生 2:如图 2,过 A 作 BC 边上的高线 AD,化归为两个直角三角形问题。 生 3:如图 3,分别过 B、C 作 AB、AC 边上的垂线,交于 D,连接 AD, 也得到两个直角三角形〃 〃 〃 〃 〃 〃] 经过师生讨论指出:方法 2,简单明了,容易得到“c 与 sin C 、 b 与 sinB” 的关系式。 [知识链接:根据化归——这一解决数学问题的重