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江苏省2015学年高二数学文科5月检测试题

东台 2015 学年度第二学期 5 月份月检测 高二数学(文科)试卷 一、填充题(每题 5 分,计 70 分) 1. 函数 f ( x) ? log 2 ? x ? 1? 的定义域为 . 2. 椭圆 x2 y2 ? ? 1 的两条准线之间的距离是 4 3 . . 3. 抛物线 y ? 2x2 的焦点坐标是 x≥1 ? ? 4. 已知变量 x,y 满足?y≤2 ? ?x-y≤0 5. 不等式 ),则 x+y 的最小值是________. 1 ? 1 的解集是 x . . 6. 已知正实数 x,y 满足 x+y=1,则 xy 的最大值是 7. 设向量 a=(3, 3),b 为单位向量,a∥b 且同向,则 b=________. 2 2 x y 8 设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线的渐近线方程为________. a b 9 → → → 已知 A、B 是以原点 O 为圆心的单位圆上两点,且|AB|=1,则AB·OA=________. . x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 ,则 m 的值为 m m ?4 2 11.函数 f(x)=(2-a )x+a 在区间[0,1]上恒为正,则实数 a 的取值范围是________. 10. 在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 ?2 x ? y ? 4 n ?1 ? 12. 若 动 点 P(m, n) 在 不 等 式 组 ? x ? 0 表示的平面区域内的动点,则 z ? 的取值范围 m ?1 ?y ? 0 ? 是 . x y 13. 已知向量 a=(x-1,2),b=(4,y),若 a⊥b,则 9 +3 的最小值为________. → → 14. 给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB,它们的夹角为 120°.如图所示, → → → 点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动.若OC=xOA+yOB,其中 x,y∈R, 则 x+y 的最大值是________. 二、解答题(满分共 90 分) {x | 15. (本题满分 14 分)不等式 ax +5x-2>0 的解集是 2 1 ? x ? 2} 2 2 (1) 求实数 a 的值; (2) 求不等式 ax -5x+a -1>0 的解集. 2 ? π π? 16. (本题满分 14 分)已知向量 a=(sinθ , 3),b=(1,cosθ ),θ ∈?- , ?. ? 2 2? 1 (1) 求 a⊥b,求 θ ; (2) 求|a+b|的最大值. 17. (本题满分 15 分) (4,- 10). (1) 求双曲线方程; 已知双曲线的中心在原点,焦点 F1、F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点 → → (2) 若点 M(3,m)在双曲线上,求证:MF1·MF2=0; 18. (本题满分 15 分)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD,公园由长方形的休 2 闲区 A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成.已知休闲区 A1B1C1D1 的面积为 4000m ,人行道的宽分别为 4m 和 10m.求: (1) 若设休闲区的长 A1B1=xm,求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S(x)的解析式; (2) 要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计? 2 x y 19. (本题满分 16 分) 如图,在直角坐标系 xOy 中,设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左右两个焦点分别 a b 为 F1、F2. 过右焦点 F2 且与 x 轴垂直的直线 l 与椭圆 C 相交,其中一个交点为 M( 2,1). (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 设椭圆 C 的一个顶点为 B(0,-b),直线 BF2 交椭圆 C 于另一点 N,求△F1BN 的面积. 2 2 20. (本小题满分 16 分)已知函数 g ? x ? ? a ln x, f ? x ? ? x ? x ? bx . 3 2 (1)若 f ? x ? 在区间 ?1, 2? 上不是单调函数,求实数 b 的范围; (2)若对任意 x ??1, e? ,都有 g ? x ? ? ? x ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2 (3)当 b ? 0 时,设 F ? x ? ? ? ? f (? x) x ? 1 ,对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F ? x ? 上是否存在两点 g ( x ) x ? 1 ? P, Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上? 请说明理由 3

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