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湖南省宁远县第一中学2015-2016学年高二数学上学期11月月考试题 文


2015 年高二年级 11 月月考文科数学试卷
一、 选择题(每小题 5 分) 1.下列语句中是命题的是( ) B. sin45 =1 D 梯形是不是平面图形 ”是 “ ”是的( )


A.周期函数的和是周期函数吗 C 2.“

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.用 a,b,c 表示三条不同的直线, 表示平面,给出下列命题是 真命题的序号是( ) ①若 ②若 ③若

④若 A.①② B.②③ C.①④ D.③④

4.抛物线:

的焦点坐标是(



A.

B.

C.

D.

5.双曲线:

的渐近线方程和离心率分别是(



A.

B.

C. 6.函数 A. 7.函数 在点 B.

D. 处的切线方程是( C. 有极值的充要条件是 ( ) D. )

1

A.

B.

C.

D.

8.函数



)的最大值是(



A. 9.过点 A.4 条

B. -1 与抛物线 B.3 条

C.0

D.1 )

有且只有一个交点的直线有( C.2 条 D.1 条

10.函数 范围是( A.

,若 ) B. C.

的导函数

在 R 上是增函数,则实数 的取值

D.

11.若椭圆 和圆 不同的交点,则椭圆的离心率 的取值范围是(

为椭圆的半焦距),有四个 )

A. 12.已知抛物线 横坐标的取值范围( A.

B. 上一定点 ) B.

C. 和两动点 、

D. ,当 时,,点 的

C.

D.

二、填空题(每小题 5 分) 13.命题“ 14.函数 15.抛物线 为 . 16.对于函数 上一点 ”的否定形式为 在 到点 时取得极值,则实数 . _______. 的坐标

与焦点的距离之和最小,则点

有以下说法:
2

① ②当 ③

是 时,

的极值点. 在 上是减函数. 处的切线必相交于另一点.

的图像与

④若





有最小值是

.

其中说法正确的序号是_______________.

三、解答题(17 题 8 分,18-20 题 12 分,21-22 题 13 分) 17.下列命题中,判断条件 p 是条件 q 的什么条件: (1)p:|x|=|y|,q:x=y; (2)p:△ABC 是直角三角形,q:△ABC 是等腰三角形; (3)p:四边形的对角线互相平分,q:四边形是矩形; (4)p:p 且 q 是真命题,q:非 p 为假命题

18.如图:是 的简图,它与 轴的交点是(1,0)和(3,0)

=

的导函数

(1)求

的极小值点和单调减区间

(2)求实数 的值.

3

19. 如图,在底面是矩形的四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,PA=AB=1,BC=2.

(1)求证:平面 PDC⊥平面 PAD; (2)若 E 是 PD 的中点,求异面直线 AE 与 PC 所成角的余弦值;

20. 某汽车制造厂有一条价值为 60 万元的汽车生产线,现要通过技术改造来提高其生产能 力,进而提高产品的增加值.已知投入 万元用于技术改造,所获得的产品的增加值为 万元,并且技改投入比率 (Ⅰ)求技改投入 的取值范围; (Ⅱ)当技改投入多少万元时,所获得的产品的增加值为最大,其最大值为多少万元? .

4

21.已知椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长等于 12,离心率为 (Ⅰ)求椭圆的标准方程;

.

(Ⅱ)过椭圆左顶点作直线 l,若动点 M 到椭圆右焦点的距离比它到直线 l 的距离小 4,求 点 M 的轨迹方程.

22.设函数 (1)求函数 (2)若方程 的单调区间.



有且仅有三个实根,求实数 的取值范围.

2015 年高二年级 11 月月考文科数学参考答案 一、选择题(每小题 5 分) 1-5.BBCBD 6-10.CCDBA 11-12.AD 二、填空题(每小题 5 分)

5

13.

?x 0 ? R, x 0 ? 2x 0 ? 1 ? 0

2

14.-2 15.(1,2) 16.②③ 三、解答题(本大题共 70 分,17 题 8 分,18-20 题 12 分,21-22 题 13 分) 17.(1)必要不充分条件 (2)既不充分也不必要条件 (3)必要不充分条件 (4)充分不必要条件 18.(1) x ? 3 是极小值点-----3 分

?1,3? 是单调减区间-----6 分
(2)由图知 a ? 0 , f ' ( x) ? ax2 ? 4 x ? 3a 2
' ? ? f (1) ? 0 ? a ? 1 -------12 分 ? ' ? f ( 3 ) ? 0 ?

19. 以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴, AP 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0), B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1), 1 E(0,1, ). 2 P E A D C

B ??? ? ???? ??? ? ∴CD =(-1,0,0), AD =(0,2,0), AP =(0,0,1), ??? ? ??? ? 1 AE =(0,1, ) , PC =(1,2,-1), 2 ??? ? ???? ? CD ?AD ? 0 ? CD ? AD ? ??? ? ??? ? ? ? CD ? 平面PAD ? 平面 PDC⊥平面 PAD. (1) CD ?AP ? 0 ? CD ? AP ? ? ?? CD ? 平面PDC ? ? AP ? AD ? A ? ? 1 ??? ? ??? ? 2- ??? ? ??? ? 2 30 AE?PC ? ??? ? = (2)∵cos ? AE, PC? ? ??? = , 10 1 | AE |? | PC | 1+ · 6 4 ∴所求角的余弦值为 30 . 10

?x ? 0 x ? ?5 ? ?0 ? x ? 60 ?0 ? ?? ? 0 ? x ? 50 . (3 分) 20.(Ⅰ)由 ? ? ?60 ? x ? 0 60 ? x x ? 50 ? ? ? ?x ? 0 ? x ? (60 ? x) ? 5

6

故技改投入 x 的取值范围是(0,50]. (Ⅱ)设 f ( x) ? (60 ? x) x2 ? 60 x2 ? x3 , x ? (0, 50] . 则

(4 分)

f ?( x) ? 120x ? 3x2 ? ?3x( x ? 40) .
由 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 40 ;由 f ?( x) ? 0 ,得 40 ? x ? 50 .

(5 分) (6 分)

所以 f ( x ) 在区间(0,40]内是增函数,在区间[40,50]内是减函数,从而当 x=40 时 f ( x ) 取最大值. (7 分)

又 f (40) ? (60 ? 40) ? 402 ? 32000 , 故当技改投入 40 万元时, 所获得的产品的增加值为最 大,其最大值为 32000 万元. 21(Ⅰ)设椭圆的半长轴长为 a,半短轴长为 b,半焦距为 c. 由已知,2a=12,所以 a=6. (12 分)

(2 分)

c 1 又 = ,即 a=3c,所以 3c=6,即 c=2. a 3
于是 b =a -c =36-4=32. 因为椭圆的焦点在 x 轴上,故椭圆的标准方程是
2 2 2

(4 分)

x y + = 1. 36 32

2

2

(6 分)

(Ⅱ)法一:因为 a=6,所以直线 l 的方程为 x=-6,又 c=2,所以右焦点为 F2(2,0). 过点 M 作直线 l 的垂线,垂足为 H,由题设,|MF2|=|MH|-4. 设点 M(x,y),则 (x - 2)2 + y 2 = (x + 6) - 4 = x + 2 . 两边平方, 得 (x - 2)2 + y 2 = (x + 2)2 , 即 y =8x. 2 故点 M 的轨迹方程是 y =8x.
2

(9 分) (13 分)

法二:因为 a=6,c=2,所以 a-c=4,从而椭圆左焦点 F1 到直线 l 的距离为 4. 由题设, 动点 M 到椭圆右焦点的距离与它到直线 x=-2 的距离相等, 所以点 M 的轨迹是 以右焦点为 F2(2,0)为焦点,直线 x=-2 为准线的抛物线. 显然抛物线的顶点在坐标原点,且 p=|F1F2|=4,故点 M 的轨迹方程是 y =8
2

(13 分)

22. (1) f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c ,由已知 f ?(0) ? f ?(1) ? 0 ,
2

?c ? 0, ?c ? 0, ? 即? 解得 ? 3 ?3a ? 2b ? c ? 0, ?b ? ? a. ? 2 ? 1 ? 3a 3a 3 ? f ?( x) ? 3ax2 ? 3ax ? f ?? ? ? ? ? ?2? 4 2 2 ? f ( x) ? ?2 x3 ? 3x2 . 3 2 (2)令 f ( x) ≤ x ,即 ?2 x ? 3x ? x ≤ 0 ,

? a ? ?2



--------------6 分

7

? x(2 x ? 1)( x ? 1) ≥ 0 ,? 0 ≤ x ≤

1 或 x ≥1. 2

又 f ( x) ≤ x 在区间 ? 0,m? 上恒成立,? 0 ? m ≤

1 2

--------13 分

8


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