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【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题4 第19练 解三角形问题 理


第 19 练

解三角形问题

[题型分析·高考展望] 正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,而解三角形问题是高考每 年必考的热点问题之一.命题的重点主要有三个方面: 一是以斜三角形为背景求三角形的基本 量、求三角形的面积、周长、判断三角形形状等;二是以实际生活为背景,考查解三角形问 题;三是与其他知识的交汇性问题,此类试题一直是命题的重点和热点. 常考题型精析 题型一 活用正弦、余弦定理求解三角形问题 例 1 (1)(2015·广东)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a=2,c=2 3, cos A= A.3 C.2 3 且 b<c,则 b 等于( 2 ) B.2 2 D. 3 6 ,B 3

(2)(2014·山东)△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=3,cos A= π =A+ . 2 ①求 b 的值; ②求△ABC 的面积.

点评 在根据正弦、余弦定理解三角形问题中,要结合大边对大角进行判断.一般地,斜三角

1

形中,用正弦定理求角时,若已知小角求大角,有两解,已知大角求小角有一解;在解三角 形问题中,三角形内角和定理起着重要作用,在解题中要注意根据这个定理确定角的范围, 确定三角函数值的符号,防止增解等扩大范围的现象发生. 变式训练 1 (2015·课标全国Ⅱ)△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC. sin B (1)求 ; sin C (2)若∠BAC=60°,求 B.

题型二 正弦、余弦定理的实际应用 例 2 如图, 游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到

C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A
处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min,山路 AC 12 3 长为 1 260 m,经测量 cos A= ,cos C= . 13 5

(1)求索道 AB 的长;
2

(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟, 乙步行的速度应控制在什么范围内?

点评 解三角形中的实际问题四步骤: (1)分析题意, 准确理解题意, 分清已知与所求, 尤其要理解题中的有关名词、 术语, 如坡度、 仰角、俯角、方位角等; (2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出; (3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中, 通过合理运用正弦定理、 余弦定理等有关知 识正确求解;
3

(4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案. 变式训练 2 (2014·四川)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 67°,30°,此时气球的高是 46 m,则河流的宽度 BC 约等于________m.(用四舍五入法将结 果精确到个位.参考数据: sin 67°≈0.92, cos 67°≈0.39, sin 37°≈0.60, cos 37°≈0.80, 3≈1.73)

题型三 解三角形与其他知识的交汇 1? ? 例 3 (2015·长春模拟)已知向量 m=(cos x,-1),n=? 3sin x,- ?,函数 f(x)=(m 2 ? ? +n)·m. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,A 为锐角,a=1,c= 3,且 f(A)恰是

? π? 函数 f(x)在?0, ?上的最大值,求 A,b 和△ABC 的面积. 2? ?

4

点评 解三角形问题与三角函数性质、向量、不等式、立体几何、数列等知识结合交汇,是 近年来高考的新题型,对于这种问题要细心读题,弄清问题实质,一般都以其他知识为载体, 主体还是利用正弦、余弦定理解三角形,所以将问题转化为解三角形是关键. 变式训练 3 (2015·陕西)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.向量 m=(a, 3

b)与 n=(cos A,sin B)平行.
(1)求 A; (2)若 a= 7,b=2,求△ABC 的面积.

高考题型精练 sin 2A 1.(2015·北京改编)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则 等于( sin C A. 1 2 B.2 D. 3
5

)

C.1

1 2.(2015·重庆改编)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=2,cos C=- , 4 3sin A=2sin B,则 c 等于( A.2 C. 3 2 ) B.3 D.4

3 3.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 C=2A,cos A= ,b=5,则△ABC 4 的面积为( A. C. 15 7 4 5 7 4 ) B. D. 15 7 2 5 7 2
2 2

2sin B-sin A 4.(2014·江西)在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c.若 3a=2b, 则 2 sin A 的值为( A. 1 9 ) B. D. 1 3 7 2 )

C.1

1 5.(2014·课标全国Ⅱ)钝角三角形 ABC 的面积是 ,AB=1,BC= 2,则 AC 等于( 2 A.5 C.2 B. 5 D.1 )

→ → → → 6.在△ABC 中,AC·AB=|AC-AB|=3,则△ABC 面积的最大值为( A. 21 C. 21 2 B. 3 21 4

D.3 21

1 7.(2014·天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 b-c= a,2sin B 4 =3sin C,则 cos A 的值为________.

kπ kπ ? ? kπ 8.(2015·江苏)设向量 ak=?cos ,sin +cos ?(k=0,1,2,?,12),则? (ak·ak+ 6 6 6 ? ? k=0
11 1

)的值为________.

9.(2014·课标全国Ⅰ)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且 (2+b)(sin A-sin B)=(c-b)·sin C,则△ABC 面积的最大值为________.

6

π 2 2 10.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 A= ,a= 3,则 b +c 的取值范 3 围为________. 11.(2014·重庆)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+b+c=8. 5 (1)若 a=2,b= ,求 cos C 的值; 2 9 2B 2A (2)若 sin Acos +sin Bcos =2sin C,且△ABC 的面积 S= sin C,求 a 和 b 的值. 2 2 2

12.(2015·南京模拟)如图所示,某小区准备将闲置的一直角三角形(其中∠B=

π ,AB=a, 2

BC= 3a)地块开发成公共绿地,设计时,要求绿地部分有公共绿地走道 MN,且两边是两个
关于走道 MN 对称的三角形(△AMN 和△A′MN), 现考虑方便和绿地最大化原则, 要求 M 点与 B 点不重合,A′落在边 BC 上,设∠AMN=θ .

π (1)若 θ = 时,绿地“最美”,求最美绿地的面积; 3 (2)为方便小区居民的行走,设计时要求将 AN,A′N 的值设计最短,求此时绿地公共走道的 长度.

7

答案精析 第 19 练 解三角形问题 常考题型精析 例 1 (1)C [由余弦定理 a =b +c -2bccos A,得 4=b +12-2×b×2 3× +8=0,∴b=4 或 b=2, 又 b<c,∴b=2.] (2)解 ①在△ABC 中,由题意知,sin A= 1-cos A= π 又因为 B=A+ , 2 6 ? π? 所以 sin B=sin?A+ ?=cos A= . 2 3 ? ? 6 3× 3 asin B 由正弦定理,得 b= = =3 2. sin A 3 3 π ②由 B=A+ 得 2 3 ? π? cos B=cos?A+ ?=-sin A=- . 2 3 ? ? 由 A+B+C=π ,得 C=π -(A+B). 所以 sin C=sin[π -(A+B)] =sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B = 3 ? 6 6 1 3? ×?- ?+ × = . 3 ? 3? 3 3 3
2 2 2 2 2

3 2 ,即 b -6b 2

3 , 3

因此△ABC 的面积

S= absin C= ×3×3 2× =

1 2

1 2

1 3 2 . 3 2

变式训练 1 解 (1)由正弦定理得

= , = . sin B sin∠BAD sin C sin∠CAD 因为 AD 平分∠BAC,BD=2DC,所以 sin B DC 1 = = . sin C BD 2
8

AD

BD

AD

DC

(2)因为 C=180°-(∠BAC+B),∠BAC=60°, 所以 sin C=sin(∠BAC+B)= 3 1 cos B+ sin B. 2 2 3 , 3

由(1)知 2sin B=sin C,所以 tan B= 即 B=30°.

12 3 例 2 解 (1)在△ABC 中,因为 cos A= ,cos C= , 13 5 5 4 所以 sin A= ,sin C= . 13 5 从而 sin B=sin[π -(A+C)]=sin(A+C) =sin Acos C+cos Asin C 5 3 12 4 63 AB AC = × + × = .由正弦定理 = ,得 13 5 13 5 65 sin C sin B

AB=

1 260 4 ×sin C= × =1 040(m). sin B 63 5 65

AC

所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)假设乙出发 t 分钟后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离 A 处 130t m, 所以由余弦定理得

d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×

12 13

1 040 2 =200(37t -70t+50),由于 0≤t≤ ,即 0≤t≤8, 130 35 故当 t= min 时,甲、乙两游客距离最短. 37 (3)由正弦定理 = , sin A sin B

BC

AC

AC 1 260 5 得 BC= ×sin A= × =500(m). sin B 63 13 65
乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C. 500 710 1 250 625 设乙步行的速度为 v m/min,由题意得-3≤ - ≤3,解得 ≤v≤ , v 50 43 14 所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min, 乙步行的速度应控制在? (单位:m/min)范围内.
9

?1 250,625? 14 ? ? 43 ?

变式训练 2 60 46 解析 根据已知的图形可得 AB= .在△ABC 中,∠BCA=30°,∠BAC=37°,由正弦 sin 67°

AB BC 46 定理,得 = ,所以 BC≈2× ×0.60=60(m). sin 30° sin 37° 0.92
例 3 解 (1)f(x)=(m+n)·m 3 2 =cos x+ 3sin xcos x+ 2 = 1+cos 2x 3 3 + sin 2x+ 2 2 2

1 3 = cos 2x+ sin 2x+2 2 2 π? ? =sin?2x+ ?+2. 6? ? 2π 因为 ω =2,所以最小正周期 T= =π . 2 π? ? (2)由(1)知 f(x)=sin?2x+ ?+2, 6? ? π π 7π ? π? 当 x∈?0, ?时, ≤2x+ ≤ . 2? 6 6 6 ? π π 由正弦函数图象可知,当 2x+ = 时,f(x)取得最大值 3,又 A 为锐角, 6 2 π π π 所以 2A+ = ,A= . 6 2 6 由余弦定理 a =b +c -2bccos A, 得 1=b +3-2× 3×b×cos
2 2 2 2

π , 6

所以 b=1 或 b=2,经检验均符合题意. 从而当 b=1 时,△ABC 的面积

S= × 3×1×sin

1 2

π 3 = ; 6 4

当 b=2 时,△ABC 的面积

S= × 3×2×sin

1 2

π 3 = . 6 2

变式训练 3 解 (1)因为 m∥n,所以 asin B- 3bcos A=0, 由正弦定理,得 sin Asin B- 3sin Bcos A=0, 又 sin B≠0,从而 tan A= 3,

10

π 由于 0<A<π ,所以 A= . 3 (2)方法一 由余弦定理,得 a =b +c -2bccos A, π 而由 a= 7,b=2,A= , 3 得 7=4+c -2c,即 c -2c-3=0, 因为 c>0,所以 c=3, 1 3 3 故△ABC 的面积为 S= bcsin A= . 2 2 方法二 由正弦定理,得 7 2 = , π sin B sin 3
2 2 2 2 2

从而 sin B=

21 , 7

2 7 又由 a>b,知 A>B,所以 cos B= , 7

? π? 故 sin C=sin(A+B)=sin?B+ ? 3? ?
=sin Bcos π π 3 21 +cos Bsin = . 3 3 14

1 3 3 所以△ABC 的面积为 S= absin C= . 2 2 高考题型精练 1.C [由余弦定理:cos A= ∴sin A= cos C= 7 , 4

b2+c2-a2 25+36-16 3 = = , 2bc 2×5×6 4

a2+b2-c2 16+25-36 1 3 7 = = ,∴sin C= , 2ab 2×4×5 8 8

3 7 2× × 4 4 sin 2A ∴ = =1.] sin C 3 7 8 3 3 2 2.D [由 3sin A=2sin B,得 3a=2b,∴b= a= ×2=3,在△ABC 中,由余弦定理,得 c 2 2

? 1? 2 2 2 2 =a +b -2abcos C=2 +3 -2×2×3×?- ?=16,解得 c=4.] ? 4?

11

3 1 2 3.A [cos A= ,cos C=2cos A-1= , 4 8 3 7 sin C= ,tan C=3 7, 8 如图,设 AD=3x,AB=4x,CD=5-3x,BD= 7x.

BD 7x 在 Rt△DBC 中,tan C= = =3 7, CD 5-3x
3 7 1 15 7 解之得:BD= 7x= ,S△ABC= BD·AC= .] 2 2 4

a b sin B b 4.D [∵ = ,∴ = . sin A sin B sin A a b 3 ∵3a=2b,∴ = . a 2
∴ ∴ sin B 3 = . sin A 2 2sin B-sin A sin B 2 3 2 =2( ) -1=2×( ) -1 2 sin A sin A 2
2 2

9 7 = -1= .] 2 2 1 1 1 5.B [∵S= AB·BCsin B= ×1× 2sin B= , 2 2 2 ∴sin B= 2 π 3π ,∴B= 或 . 2 4 4

3π 2 2 2 当 B= 时,根据余弦定理有 AC =AB +BC -2AB·BCcos B=1+2+2=5,∴AC= 5,此 4 时△ABC 为钝角三角形,符合题意; π 2 2 2 当 B= 时,根据余弦定理有 AC =AB +BC -2AB·BCcos B=1+2-2=1,∴AC=1,此时 4

AB2+AC2=BC2,△ABC 为直角三角形,不符合题意.故 AC= 5.]
6.B [设角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, → → → → ∵AC·AB=|AC-AB|=3, 又 cos A=

b2+c2-a2 9 3cos A ≥1- =1- , 2bc 2bc 2

2 21 ∴cos A≥ ,∴0<sin A≤ , 5 5 1 3 3 21 3 21 3 21 ∴△ABC 的面积 S= bcsin A= tan A≤ × = ,故△ABC 面积的最大值为 .] 2 2 2 2 4 4

12

1 7.- 4 解析 由 2sin B=3sin C 及正弦定理得 2b=3c, 3 1 1 1 即 b= c.又 b-c= a,∴ c= a,即 a=2c. 2 4 2 4 9

b2+c2-a2 4 由余弦定理得 cos A= = 2bc
3 2 - c 4 1 = 2 =- . 3c 4 8.9 3 解析 ∵ak=?cos ∴ak·ak+1=?cos

c2+c2-4c2
3 2 2× c 2

? ?


6 6

,sin


6 6

+cos

kπ ?

, 6 ? ?

? ?



,sin



+cos

kπ ?

· 6 ? ?

?cosk+1π ,sink+1π +cosk+1π ? ? ? 6 6 6 ? ?
=cos


6

·cos

k+1
6

π +?sin

? ?


6

+cos

kπ ?
6 ?



?sink+1π +cosk+1π ? ? ? 6 6 ? ?
3 π 1 2k+1 2k+1 = cos + cos π +sin π. 2 6 2 6 6 故 ? ak·ak+1
k=0
11

11 ?3 π 1 2k+1π +sin2k+1π ? = ? ? cos + cos ? 2 6 2 6 6 ? k=0 ?

11 3 11 π 1 11 2k+1 2k+1 = ?cos + ?cos π + ?sin π. 2k=0 6 2k=0 6 6 k=0

11 11 2k+1 2k+1 由 ?cos π =0, ?sin π =0,得 6 6 k=0 k=0

k=0

? ak·ak+1=2cos 6 ×12=9

11

3

π

3.

13

9. 3 解析 ∵ = = =2R,a=2, sin A sin B sin C 又(2+b)(sin A-sin B) =(c-b)sin C 可化为(a+b)(a-b)=(c-b)·c, ∴a -b =c -bc,∴b +c -a =bc.
2 2 2 2 2 2

a

b

c

b2+c2-a2 bc 1 ∴ = = =cos A,∴A=60°. 2bc 2bc 2
∵△ABC 中,4=a =b +c -2bc·cos 60° =b +c -bc≥2bc-bc=bc(“=”当且仅当 b=c 时取得), 1 1 3 ∴S△ABC= ·bc·sin A≤ ×4× = 3. 2 2 2 10.(3,6] 解析 由正弦定理,得 = = =2, sin A sin B sin C
2 2 2 2 2

a

b

c

b=2sin B,c=2sin C,
所以 b +c =4(sin B+sin C) =2(1-cos 2B+1-cos 2C) 2π =4-2cos 2B-2cos 2( -B) 3 =4+ 3sin 2B-cos 2B π =4+2sin(2B- ). 6 2π 又 0<B< , 3 π π 7π 所以- <2B- < . 6 6 6 π 所以-1<2sin(2B- )≤2. 6 所以 3<b +c ≤6. 7 11.解 (1)由题意可知 c=8-(a+b)= . 2 由余弦定理得
2 2 2 2 2 2

a2+b2-c2 cos C= = 2ab

5 2 7 2 2 2 +? ? -? ? 2 2 1 =- . 5 5 2×2× 2

14

(2)由 sin Acos +sin Bcos =2sin C,可得 2 2 1+cos B 1+cos A sin A· +sin B· =2sin C, 2 2 化简得 sin A+sin Acos B+sin B+sin Bcos A=4sin C. 因为 sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C, 所以 sin A+sin B=3sin C. 由正弦定理可知 a+b=3c. 又因为 a+b+c=8,故 a+b=6. 1 9 由于 S= absin C= sin C,所以 ab=9, 2 2 从而 a -6a+9=0,解得 a=3,b=3. π 12.解 (1)由∠B= ,AB=a,BC= 3a, 2 π 所以∠BAC= . 3 设 MA=MA′=xa(0<x<1),则 MB=a-xa, 所以在 Rt△MBA′中,cos(π -2θ )= 2 所以 x= . 3 由于△AMN 为等边三角形, 所以绿地的面积
2

2

B

2

A

a-xa 1 = , xa 2

S=2× × a× a×sin

1 2 2 3

2 3

π 2 3 2 = a. 3 9

π (2)因为在 Rt△ABC 中,∠B= ,AB=a,BC= 3a, 2 π 2π 所以∠BAC= ,所以在△AMN 中,∠ANM= -θ , 3 3 由正弦定理得 = sin θ ? 2π sin? -θ ? 3

AN

AM

? ? ?



设 AM=ax(0<x<1),则 A′M=ax,BM=a-ax, 所以在 Rt△MBA′中,cos(π -2θ )= 1 a 所以 x= ,即 AM= , 2 2 2sin θ 2sin θ

a-ax 1-x = , ax x

15

所以 AN= ?2π 2sin θ sin? -θ ? 3 2sin θ sin?

a

? ? ?

.

?2π -θ ?=sin2θ + 3sin θ cos θ ? ? 3 ?

1 3 1 1 π = + sin 2θ - cos 2θ = +sin(2θ - ), 2 2 2 2 6 π π π π 5π 因为 <θ < ,所以 <2θ - < , 4 2 3 6 6 π π π 2 所以当且仅当 2θ - = ,即 θ = 时,AN 的值最小,且 AN= a,此时绿地公共走道的长 6 2 3 3 2 度 MN= a. 3

16


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