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必修二2.3.1 直线与平面垂直的判定


一.回顾复习:
1.直线和平面的位置关系 :
(1)直线在平面内 (2)直线和平面平行
王新敞
奎屯 新疆

a ??
a // ?
a ?? ? A

(3)直线和平面相交

垂直是一 种特殊的 相交

l

o
?

A B E C

m

1.直线与平面垂直的定义:
l 与平面 就说直线 l 和平面
如果直线 ? 内的任意一条直线都垂直,我们

? 互相垂直。记作:l ? ?

l

平面的垂线

?

A
垂足

直线的垂面

2.直线与平面垂直的画法:

直线与平面的 一条边垂直

l
?

P

除定义外,如何判断一条直线与平面垂直呢?
空间问题 平面问题

线面平行的判定: 线线平行

线面平行

能不能把线面垂直问题转化为线线垂直问题?

先试一条
l l

a a
? ?

图1

图2

再试两条平行直线
l l

a ? b ?

a b

图1

图2

那么两条相交直线呢?

探究

直线与平面垂直
A
C
D

A A B B
D D

如图,准备一块三角形的纸片,做一个试验:

l
C
P

?

?
C

A B

D

C

?

B

当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时,AD所在直 过 ?ABC 的顶点 A翻折纸片,得到折痕AD,将翻 ? 线与桌面所在平面 垂直. 折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触)

3. 直线与平面垂直的判定定理:
如果直线 l 和平面 ? 内的两条相交直线 m,n都垂直,那么直线 l垂直平面?。 即:

l

m ? ? , n ? ? , m ? n ? P? ??l ?? l ? m, l ? n ?

?

m

P

n

例1 . 如图,已知a // b, a ? ? ,求证 b ? ? . 证明:在平面 ? 内作 两条相交直线m,n. 因为直线 a ? ? , 根据直线与平面垂直的定义知
a ? m, a ? n.

a

b
n

A 又因为 b // a 所以 b ? m, b ? n. ? m 又 m ? ? , n ? ? , m, n 是两条相交直线, 所以 b ? ? .

例2:如图,点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,O 是对角线AC与 BD的交点,且PA =PC PB =PD . 求证:PO⊥平面ABCD

P

A O B C

D

证明 Q PA ? PC,点O是AC的中点 \ PO ? AC
又Q PB ? PD,点O是BD的中点 \ PO ? BD 又Q AC ? BD ? O \ PO ? 平面 ABCD

三.随堂练习:
1.如图,直四棱柱A?B?C?D? ? ABCD (侧棱与底面垂直 的棱柱称为直棱柱)中,底面四边形 ABCD 满足什么 条件时A?C ? B ?D ? ?
A? D?

底面四边形 ABCD 对角 线相互垂直.

B?

C?

A D B
C

2. 在空间四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,
求证:对角线AC ? BD。
A

证明

:取BD的中点 E , 连接AE , CE
Q AB ? AD ,\ AE ? BD ,

,

D E B C

Q BC ? DC ,\ CE ? BD ,
CE ? E , 又 Q AE ?? \ BD ? 平面ACE , Q AC ? 平面 ACE ,\ BD ? AC

3.如图,圆O所在一平面为 ? , AB是圆O 的直径,C 是圆周上一点, 且PA ? AC, PA ?AB, 求证:(1)PA ? BC (2)BC ? 平面PAC
解:(1) ? AB ? ? , AC ? ? , 且AB ? AC ? A PA ? AC , PA ? AB \ PA ? ? 又 ? BC ? ? \ PA ? BC
A
C

P

O

B

(2) Q C为圆O上一点,AB 为直径 \ BC ? AC

?1?得BC ? PA, 又Q PA ? AC ? A 由 \ BC ? 面PAC

四.知识小结:
(1)
判定定理 如果一条直 线垂直于一个 平面内的两条 相交直线,那 么此直线垂直 于这个平面。 如果一条直线垂于一个 平面内的任何一条直线

直接法

直线与平面 垂直的判定

间接法
如果两条 平行直线中的 一条垂直于一 个平面,那么 另一条也垂直 于同一个平面。

定义法

此直线垂直于这个平面

(2)数学思想方法:转化的思想

空间问题

平面问题


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