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函数的概念及其基本性质苏教版(含答案)


专题二
考查内容 考查热度 命题 考查题型和 规律 分值 考纲要求 命题 中低档题; 趋势

函数的概念及其基本性质
【命题趋势探秘】
函数的图象 ☆☆☆☆☆ 填空题 5 分 B级 函数的性质 ☆☆☆ 填空题 5 分 B级

函数的概念 ☆☆☆☆☆ 填空题 5 分 B级

1. 高考主要考查二次函数、指数函数、对数函数等几种常见函数为主,属于

2. 高考主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性等;

【高频考点聚焦】
◇考点 1 【基础知识梳理】 1.函数的概念:设 A、B 是① 的数集,如果按照某种确定的对应关系 f , 确定的数 f ?x ? 和 函数的概念及其表示

使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有②

它对应,那么就称 f : A ? B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,记作: y ? f ?x ?, x ? A . 2.函数的定义域、值域 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的③ 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的④ 3.函数的三要素是:⑤ 个函数的定义域⑥ 4.函数的三种表示方法:⑦ 5.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上, 因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示, 这 种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的⑧ 于各段函数的值域的⑨ ,其值域等 、 、 . .如果两 ;与 x

,并且对应关系完全一致,则称这两个函数相等. 、 、 .

, 分段函数虽由几个部分组成, 但它表示的是一个函数.

【参考答案】①非空;② 惟一;③定义域;④值域;⑤定义域、对应关系、值域;⑥相同; ⑦ 解析法、图象法、列表法;⑧并集;⑨并集.

【核心考点讲练】 题型一:函数的定义域 【典例 1】 (1) (2014·山东卷)函数 f ( x) ?

1 (log 2 x) 2 ? 1

的定义域为

.

【解析】要使函数有意义,则 ? log 2 x ? ? 1 ? 0 ?log2 x ? 1 或?log2 x ? ?1 ? x ? 2 或
2

?0 ? x ?

1 . 2

【答案】 x ? 2 或 0 ? x ?

1 . 2

【技巧点拨】求出使分式、根式有意义的 x 的取值范围即可. (1)函数的定义域应使每个含有自变量的式子有意义. (2)若 f ? x ? 的定义域为 ? a, b? ,求 即解不等式 a ? g ? x ? ? b ; 若 f ?g x f ?g ?x ?? 的定义域, ? 定义域,即求 g ? x ? 在 ? a, b? 上的值域. (2) (扬州市 2015 届一模)设函数 f ( x) ? ? 的取值范围是____ 【答案】 ? ??, ?1? ? ?2, ? ?? .
x ? ? 2 ? a, x ? 2 ,若 f(x)的值域为 R,是实数 a 2 x ? a , x ? 2 ? ?

求 f ? x? 的 ?? 的定义域为 ? a, b? ,

2 2 2 【解析】由于 f(x)的值域为 R,则知 2 +a≤2+a ,整理有 a -a-2≥0,解得 a≤-1 或 a

≥2. 【技巧点拨】本题旨在考查分段函数,函数的解析式与函数的值域.根据条件借助于图象可 得 22+a≤2+a2,解一元二次不等式求解. 【典例 2】 (2014·江西卷)已知函数 f ( x) ? ?

?a ? 2 x , x ? 0
?x ? 2 ,x ?0

(a ? R) ,若 f [ f (?1)] ? 1,则

a?

.

【解析】∵ f [ f ( ?1)] ? 1 ,∴ f [ f ( ?1)] ? f 2 【答案】

?

?? ?1?

? ? f ? 2? ? a ? 2

2

? 4a ? 1 ∴ a ?

1 . 4

1 . 4

【技巧点拨】 (1)求 f g ? x ? 类型的函数值时,应遵循先内后外的原则,而对于分段函数 的求值问题, 则必须依据条件准确地确定要求值的自变量属于哪一段区间, 然后代入该段的

?

?

解析式求值. (2)当给出函数值求自变量的值时,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然 后求出相应自变量的值, 切记要代入检验, 看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取 值范围.

专题热点集训 1

函数的概念及其表示

(时间:10 分钟)
2 1. (2014·江西卷) 函数 f ? x ? ? ln x ? x 的定义域为

?

?

. .

2. (常州市·2015 届一模)函数 f ( x) ? log2 x2 ? 6 的定义域为 3. (苏州市·2015 届一模)已知函数 f ( x) ? lg(1 ? 值为 .

?

?

1 a ) 的定义域是 ( , ??) ,则实数 a 的 x 2 2

4. (泰州市·2015 届一模)函数 f ( x) ?

2 x ? 4 的定义域为



5. (常州市 2015 届一模)已知函数 f ( x) ? 2x ? 2 ? x ? ? ?1, 2? ? ,则函数 y ? f ( x ? 1) 的值域 为 .

? x 2 ? 2 x ? 2, x ? 0 ? 6. (2014·浙江卷)设函数 f ( x) ? ? 2 ,若 f ( f (a)) ?2 ,则 a =_________. x?0 ? ?? x ,

参考答案与解析
1. 【答案】∵ x2 ? x ? 0, ∴ x ? 1 或 x ? 0 ,故 ? ??,0? ? ?1, ?? ? . 2. 【答案】 ??, ? 6 ? 3. 【答案】 2 . 4. 【答案】 [2, ??) . 5. 【答案】 ? 0, 2 ? . 【解析】由题可得 y=f(x-1)=|2x 1-2|,x∈(0,3) ,结合对应的图象可知当 x=2 时,取 3-1 得最小值为 0,而 f(3)=|2 -2|=2,故对应函数的值域为[0,2) . 【易错警示】注意函数图象的数形结合应用,这里综合指数函数的图象以及绝对值的含义,


?

? ?

6, ?? .

?

同时涉及给定的区间,以及函数在取得最值时的条件等,否则容易出错. 6. 【答案】设 t ? f ? a ? ,则 f ? t ? ? 2 .若 t ? 0 ,则 f ?t ? ?? t 2? 2 ,此时不成立.若 t ? 0 ,
2 2 由 f ? t ? ? 2 得, t ? 2t ? 2 ? 2 ,即 t ? 2t ? 0 ,解得 t ? 0 或 t ? ?2 ,即 f ? a ? ? 0 或 2 2 若a ? 0, 则 f ?a ? ?? 此时不成立. 或 f ? a ? ? ?a ? ?2 , 即a ? 2, f ? a ? ? ?2 . a 2? 0 ,

解得 a ?

2 .若 a ? 0 ,由 f ? a ? ? 0 得, a2 ? 2a ? 2 ? 0 ,此时无解.由 f ? a ? ? ?2 得,

a2 ? 2a ? 4 ? 0 ,此时无解,综上: a ? 2 ,故为: 2 .

◇考点 2 【基础知识梳理】 1.函数单调性的证明方法:

函数的单调性、奇偶性、周期性

(1)定义法:设 ? x1、x2 ? [a, b], x1 ? x2 ,那么 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是增 函数; f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是减函数. 步骤:① . 格式:解:设 x1 , x2 ? ?a, b? 且 x1 ? x 2 ,则: f ?x1 ? ? f ?x2 ? =? ,则 f ( x) 为增函数;若

(2)导数法:设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,若② ③ ,则 f ( x) 为减函数.

2.函数的奇偶性 (1)一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任意一个 x ,都有④ 数 f ?x ? 为⑤ .偶函数图象关于 y 轴对称. ,那么就称 ,那么就称函

(2)一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任意一个 x ,都有⑥ 函数 f ?x ? 为⑦ 3.函数的周期性 周期函数 f ? x ? 的最小周期 T 必须满足下列两个条件: (1)当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f ? x ? T ? ? f ? x ? ; (2) T 是不为零的最小正数. .奇函数图象关于原点对称.

【参考答案】①取值—作差—变形—定号—判断;② f ?( x) ? 0 ;③ f ?( x) ? 0 ;④

f ?? x ? ? f ?x ? ;⑤偶函数;⑥ f ?? x ? ? ? f ?x ? ;⑦奇函数.
【核心考点讲练】 题型一:函数的单调性 【典例 1】 (1) (镇江市 2015 届一模)若函数 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时,

f ( x) ? x ln x ,则不等式 f ( x) ? ?e 的解集为
【答案】 ?? ?,?e ? .



【命题立意】本题旨在考查函数的基本性质,导数与函数的单调性的关系,考查数形结合思 维.

【解析】当 x<0 时,-x>0,则 f(x)=-f(-x)=-(-x)ln(-x)=xln(-x) ,则 f

? x ln x, x ? 0 ? 1 0, x ? 0 (x)= ? ,当 x>0 时,f′(x)=lnx+1,令 f′(x)=0,解得 x= ,则当 e ? x ln(? x ), x ? 0 ?
1 1 1 1 时,f′(x)<0;当 x> 时,f′(x)>0,则函数 f(x)在(0, )上递减,在( , e e e e 1 1 1 +∞)上递增,当 x= 时取得极小值 f( )=- >-e,结合函数 f(x)是 R 上的奇函数, e e e
0<x< 作出图象如下,由以上分析知不等式 f(x)<-e 在(0,+∞)上无解,而当 x<0 时,由于 f(-e)=-elne=-e,则不等式 f(x)<-e= f(-e) ,可得 x<-e.

(2)(2014·郑州模拟)函数 f(x)=

1

x-1

1 在区间[a,b]上的最大值是 1,最小值是 ,则 a+ 3

b=________.
【答案】6. 【解析】易知 f(x)在[a,b]上为减函数,

? 1 =1 ? f (a) ? a ?1 ? 1 ?a ? 2 ? ? ?? ? a?b ? 6. ∴? 1?? 1 1 ?b ? 4 f (b) ? ? ? ? 3 ? ? ?b ?1 3
【技巧点拔】函数单调性应用问题的常见类型有:(1)比较大小.比较函数值的大小,应将 自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.(2)解不等式.在求解与抽 象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不 等式求解.此时应特别注意函数的定义域.(3)利用单调性求最值.应先确定函数的单调性, 然后再由单调性求出最值. 题型二:函数的奇偶性 【典例 2】 (2014· 新课标全国卷Ⅰ) 设函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域都为 R,且 f ( x ) 时奇函

数, g ( x) 是偶函数,则下列结论正确的是( ) A. f ( x ) g ( x) 是偶函数 C. f ( x ) g ( x) 是奇函数 B. f ( x) g ( x) 是奇函数 D. f ( x) g ( x) 是奇函数

【解析】设 F ( x) ? f ( x) g ( x) ,则 F (? x) ? f (? x) g (? x) ,∵ f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是 偶函数,∴ F (? x) ? ? f ( x) g ( x) ? ?F ( x) , F ( x ) 为奇函数,选 C. 【答案】C. 【技巧点拔】 (1)判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于原点对称,若不对 称 , 则 函 数 是 非 奇 非 偶 函 数 . 若 对 称 , 再 进 一 步 判 断 是 否 满 足 f ? ? x? ? f ? x ?或 “函数定义域关于原点对称”是函数具有奇偶性的必要但不充分条件. f ? ?x ? ? ? f ? x ? . ( 2 ) 若 函 数 是 奇 ( 偶 ) 函 数 , 则 对 定 义 域 内 的 每 一 个 x , 均 有 f ? ? x? ? ? f ? x ? ( f ? ?x ? ? f ? x ? ),而不能说存在 x0 使 f ? ?x0 ? ? ? f ? x0 ? ( f ? ?x0 ? ? f ? x0 ? ) . 题型三:函数的周期性 【典例 3】 (2014·安徽文)若函数 f ?x ??x ? R ? 是周期为 4 的奇函数,且在 ?0,2? 上的解析式

? x(1 ? x),0 ? x ? 1 ? 29 ? ? 41? ,则 f ? f ?x ? ? ? ? ? f ? ? ? _______ ? 4? ?6? ?sin ?x, 1 ? x ? 2
【解析】通过函数的奇偶性以及函数的周期性,化简所求表达式,通过分段函数求解即可由 题易知 f ?

? 29 ? ?? ? 4 ?
5 16 .

? 41 ? ? 3? f ? ? ? f ?? ?? ? 6? ? 4?

? 7? f ?? ? ? ? f ? 6?

?3? ? ?? ? 4?

3 ? 5 ?7? f ? ? ? ? ? sin ? . 16 6 16 ?6?

【答案】

【技巧点拔】 充分利用函数的奇偶性以及函数的周期性化简, 注意代入分段函数计算的准确 性.

专题热点集训 2 函数的单调性、奇偶性、周期性
(时间:10 分钟) 1. (2014·新课标全国卷Ⅱ) 已知偶函数 f ? x ? 在 ?0, ??? 单调递减, f ? 2? ? 0 .若

f ? x ?1? ? 0 ,则 x 的取值范围是_____.
2. (2014·福建卷) 已知函数 f ?x ? ? ? A. f ?x ? 是偶函数 C. f ?x ? 是周期函数 3. (泰州市 2015 届一模)已知函数 f ( x) ? ?

?x 2 ? 1, x ? 0 ?cos x, x?0

则下列结论正确的是(



B. f ?x ? 是增函数 D. f ?x ? 的值域为 ?? 1,???

?

x 2 ? sin x, x ? 0

2 ?? x ? cos( x ? ? ), x ? 0

是奇函数,则

sin ? ?



4. (淮、宿、连、徐四市 2015 届一模)已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时

f ( x) ? log2 (2 ? x) ,则 f (0) ? f (2) 的值为_____.
5. (南通市 2015 届一模)已知 y ? f ? x ? 是 R 上的奇函数,且 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 ,则不
2 等式 f x ? x ? f ? 0 ? 的解集为

?

?



6. (南京市、 盐城市 2015 届一模) 已 知 f ( x ) 是 定 义 在 [?2, 2] 上 的 奇 函 数 , 当 x ? (0, 2]
x 时 , f ( x )? 2 , 函 数 g ( x) ? x2 ? 2 x ? m . 如果对于 ?x1 ?[?2, 2] , ?x2 ?[?2, 2] , ? 1

使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ,则实数 m 的取值范围是



7. (2014·安徽卷)设函数 f ( x)(x ? R) 满足 f ( x ? ? ) ? f ( x) ? sin x. 当 0 ? x ? ? 时,

f ( x) ? 0 ,则 f (

23? )? 6



8. (2014·四川卷) 设 f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x ?[?1,1) 时,

??4 x 2 ? 2, ?1 ? x ? 0, 3 ,则 f ( ) ? f ( x) ? ? 2 0 ? x ? 1, ? x,



参考答案与解析
1. 【答案】 ∵ f ( x ) 是偶函数, ∴ f ( x ?1) ? 0 ? f ( x ?1) ? 0 ? f (2) , 又∵ f ( x ) 在 [0, ??) 单调递减,∴ x ? 1 ? 2 ,解之: ?1 ? x ? 3 . 2. 【答案】 由解析式可知当 x ? 0 时,f ? x ? ? cos x 为周期函数, 当 x ? 0 时,f ? x ? ? x2 ? 1 , 为二次函数的一部分,故 f ? x ? 不是单调函数,不是周期函数,也不具备奇偶性,故可排除 A、B、C,对于 D,当 x ? 0 时,函数的值域为 ??1,1? ,当 x ? 0 时,函数的值域为值域为

?1, ??? ,故函数 f ? x ? 的值域为 ??1, ??? ,故正确.故选 D.
3. 【答案】 ?1 . 4. 【答案】 ?2 . 5. 【答案】 ?0,1? . 6. 【答案】 [?5, ?2] . 7. 【答案】 f ?

? 23? ? 6

? ? 17? ?? f ? ? ? 6

17? ? ? 11? ? f? ? ? sin 6 ? ? 6

11? 1 ? ? 5? ? ? f? ? ? sin 6 2 ? ? 6

5? ? ? ? sin 6 ?

?

1 . 2 3 2 1 2 1 2
2

8. 【答案】 ∵ f ? x ? 是定义在 R 上的周期为 2 的函数∴ f ( ) ? f (? ) ? ?4 ? (? ) ? 2 ? 1 , 故答案为:1.

2015 届江苏省高三一、二、三模数学试题
1. (常州市 2015 届一模)函数 f ( x) ? log2 x2 ? 6 的定义域为 【答案】 ??, ? 6 ?

?

?



?

? ?

6, ?? .

?

2. (泰州市 2015 届一模)函数 f ( x) ? 【答案】 [2, ??) .

2 x ? 4 的定义域为



3. (苏锡常镇市 2015 届调研一)函数 y ? ln( x2 ? 2) 的定义域为 【答案】 ??, ? 2 ?



?

? ?

2, ??

?
? ? ?
2, ?? .

【命题立意】本题考查了函数定义域. 【解析】依题意得, x 2 ? 2 ? 0 ,解得 x ? ??, ? 2 ? 4. (泰州市 2015 届二模)已知函数 y ? 数 a 的取值集合为 【答案】 {1} . 【命题立意】本题考查了函数的定义域,值域,恒成立的问题. 【解析】问题可以转化为对于定义域为 R , x ? 2 x ? a ? 0 恒成立,且值域为 [0,??) ,故
2

?

x2 ? 2x ? a 的定义域为 R ,值域为 [0,??) ,则实



? ? 4 ? 4a ? 0 ,解得 a=1.
5. (苏州市 2015 届一模)已知函数 f ( x) ? lg(1 ? 为 .

1 a ) 的定义域是 ( , ??) ,则实数 a 的值 x 2 2

【答案】 2 .

? ?log2 x, x ? 0, 6. (徐州、 连云港、 宿迁市 2015 届三模) 设函数 f ( x ) ? ? x , 则 f ( f ( ?1)) 的值为 ? ?4 ,  x ? 0
【答案】-2 【命题立意】本题旨在考查分段函数,函数值的求解.

.

1 1 1 ,故 f(f(-1) )=f( )=log2 =-2. 4 4 4 x ? ? 2 ? a, x ? 2 7. (扬州市 2015 届一模)设函数 f ( x) ? ? ,若 f(x)的值域为 R,是实数 a 2 ? ?x ? a , x ? 2
【解析】由于 f(-1)=4 1=


的取值范围是____ 【答案】 (-∞,-1]∪[2,+∞) . 【命题立意】本题旨在考查分段函数,函数的解析式与函数的值域. 【解析】由于 f(x)的值域为 R,则知 22+a≤2+a2,整理有 a2-a-2≥0,解得 a≤-1 或 a ≥2. 8. (常州市 2015 届一模)已知函数 f ( x) ? 2x ? 2 ? x ? ? ?1, 2? ? ,则函数 y ? f ( x ? 1) 的值域 为 .

【答案】 ? 0, 2 ? 9. (淮、宿、连、徐四市 2015 届一模)已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时

f ( x) ? log2 (2 ? x) ,则 f (0) ? f (2) 的值为_____.
【答案】 ?2 . 10. (南通市 2015 届一模)已知 y ? f ? x ? 是 R 上的奇函数,且 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 ,则不
2 等式 f x ? x ? f ? 0 ? 的解集为

?

?



【答案】 ?0,1? . 11. (镇江市 2015 届一模) 若函数 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时,f ( x) ? x ln x , 则不等式 f ( x) ? ?e 的解集为 【答案】 ?? ?,?e ? . 【命题立意】本题旨在考查函数的基本性质,导数与函数的单调性的关系,考查数形结合思 维. 【解析】当 x<0 时,-x>0,则 f(x)=-f(-x)=-(-x)ln(-x)=xln(-x) ,则 f .

? x ln x, x ? 0 ? 1 0, x ? 0 (x)= ? ,当 x>0 时,f′(x)=lnx+1,令 f′(x)=0,解得 x= ,则当 e ? x ln(? x ), x ? 0 ?
1 1 1 1 时,f′(x)<0;当 x> 时,f′(x)>0,则函数 f(x)在(0, )上递减,在( , e e e e 1 1 1 +∞)上递增,当 x= 时取得极小值 f( )=- >-e,结合函数 f(x)是 R 上的奇函数, e e e
0<x< 作出图象如下,由以上分析知不等式 f(x)<-e 在(0,+∞)上无解,而当 x<0 时,由于

f(-e)=-elne=-e,则不等式 f(x)<-e= f(-e) ,可得 x<-e.

12 . ( 南京 市、 盐城市 2015 届 二模 )已知 知函数 f ( x) ?

x ?1 , x ? R , 则不等 式 | x | ?1

f ( x2 ? 2x) ? f (3x ? 4) 的解集是
【答案】(1,2)



【命题立意】本题旨在考查函数的性质及解不等式.

?1, x ? 0 x ?1 x ?1 ? 【解析】由 f ( x) ? ,当 x<0 时 f ( x) ? 为增函数, ?? 2 | x | ?1 | x | ?1 ?? ? 1, x ? 0 ? x ?1
? x 2 ? 2 x ? 3x ? 4 ? ∴ ?3 x ? 4 ? 0 ,解得 1<x<2. ? x2 ? 2 x ? 0 ?
13. (淮、宿、连、徐四市 2015 届一模)已知函数 f ? x ? ? ?

? ? x2
2 ?x ? 2x

x?0 x?0

,则不等式

f ( f ( x)) ? 3 的解集为______.
【答案】 (??, 3] . 【命题立意】本题旨在考查分段函数的解析式,不等式的解法. 【解析】当 x≥0 时,f(f(x) )=f(-x2)=(-x2)2+2(-x2)=x4-2x2≤3,解得 0≤x ≤ 3 ;当-2<x<0 时,f(f(x) )=f(x2+2x)=(x2+2x)2+2(x2+2x)≤3,解得-2<x<0; 当 x≤-2 时,f(f(x) ) =f (x2+2x) =-(x2+2x)2≤3,解得 x≤-2;综上所述可得 x≤ 3 . 【举一反三】涉及分段函数的问题,其处理的原理就是进行分类讨论,这也是解决问题的关 键. 14 . (南京市、盐城市 2015 届一模)已 知 f ( x ) 是 定 义 在 [?2, 2] 上 的 奇 函 数 , 当

x ? (0, 2] 时 , f ( x )? x 2? , 1 函 数 g ( x)? 2x ? 2 x? . m 如 果 对 于 ?x1 ?[?2, 2] ,

?x2 ?[?2, 2] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ,则实数 m 的取值范围是
【答案】 [?5, ?2] .



【命题立意】本题旨在考查函数的基本性质,函数的解析式以及函数最值之间的关系. 【解析】由于 f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,则有 f(0)=0,而当 x∈(0,2]时,f (x) =2x-1∈ (0, 3], 则当 x∈[-2, 2]时, ( f x) ∈[-3, 3], 若对于 ?x1 ?[?2, 2] , ?x2 ?[?2, 2] , 使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ,则等价于 g(x)max≥3 且 g(x)min≤-3,而 g(x)=x2-2x+m=(x -1)2+m-1,x∈[-2,2],则有 g(x)max=g(-2)=8+m 且 g(x)min=g(1)=m-1, 则满足 8+m≥3 且 m-1≤-3,解得 m≥-5 且 m≤-2,故-5≤m≤-2. 15 . ( 泰 州 市 2015 届 一 模 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ?

?

x 2 ? si nx ,x ? 0

2 ?? x ? cos( x ? ? ), x ? 0

是奇函数,则

sin ? ?
【答案】 ?1 .



16. (泰州市 2015 届二模) 若函数 f ( x) ? ( x ? 2) x ? a 在区间 [2, 4] 上单调递增, 则实数 a
2

的取值范围是 【答案】 (??, 2] ? [5, ??)



【命题立意】本题主要考查了根据函数的单调性求出参数的取值范围的问题,属于基础题
2 ? ?? x ? 2? ? x ? a ?? x ? a ? 【 解 析 】 根 据 题 意 可 得 : f ( x) ? ( x ? 2) x ? a ? ? ,∴ 2 ? ?? x ? 2? ? a ? x ?? x ? a ? 2

x? a 2 ? ?? 2x ? a ? ? ?? x ? 2 ?? 3 2 f ?( x) ? ? , 函数 f ( x) ? ( x ? 2) x ? a 在区间 [2, 4] 上单调递 ? ?? x ? 2 ?? ?3x ? 2a ? 2 ?? x ? a ?
增等价于 f ? ? x ? ? 0 在区间 [2, 4] 上成立,当 x ? a 时,要满足 f ? ? x ? ? 0 在区间 [2, 4] 上成 立 , 即 是 要 保 证 3x ? 2a ? 2 ? 0 在 区 间 [ 2, 4]上 成 立 , 令 g ? x ? ? 3x ? 2a ? 2 , 等 价 于

g ? 2? ? 0 ,解得 a ? 2 ,同理,当 x ? a 时, ?3x ? 2a ? 2 ? 0 在区间 [2, 4] 上成立,等价于 g ? 4? ? 0 ,解得 a ? 5 ,综上:实数 a 的取值范围是 (??, 2] ? [5, ??) .
17. (南京市 2015 届三模)已知 a,t 为正实数,函数 f(x)=x2-2x+a,且对任意的 x∈[0, t],都有 f(x)∈[-a,a].若对每一个正实数 a,记 t 的最大值为 g(a),则函数 g(a)的值

域为



【答案】(0,1)∪{2} 【命题立意】本题旨在考查二次函数的图象与性质,分类讨论. 【解析】由于 f(x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1,而 f(0)=a,f(x)min=f(1)=a-1, 1 1 由 a+(a-1)=0 可得 a= ,当 0<a< 时,此时 a-1<-a,那么 t 的最大值 g(a)<1,即 0<g 2 2 1 (a)<1;当 a≥ 时,此时 a-1≥-a,那么 t 的最大值 g(a)=2;综合可知函数 g(a)的值 2 域为(0,1)∪{2}.

江苏五年高考真题
1. (2010·江苏)设函数 f(x)=x(e +ae ),(x∈R)是偶函数,则实数 a=_______. 【答案】-1. 【解析】由偶函数?f(-x)=f(x) ?x(e +ae )=-x(e +ae ) ?x(e +e )(1+a)=0 x ? R ? a=
x -x -x x x -x x -x

-1. 2. (2010·江苏)已知函数 f ? x ? ? ? 围是_______. 【答案】(-1, 2-1). 【解析】设 t=1-x ,当 x<-1 时,t<0,2x<-2;f(1-x )=1,f(2x)=1? f(1-x )= f(2x);
2 2 2

? x 2 ? 1, x ? 0 ? 1, x ? 0

,则满足不等式 f(1-x )>f(2x)的 x 的范

2

当 x>1 时,t<0,2x>2,f(1-x )=1,f(2x)=(2x) +1>5,显然不满足 f(1-x )>f(2x);当- 1?x<0 时,t?0,2x<0,所以 f(1-x )=(1-x ) +1?1,f(2x)=1,?f(1-x )>f(2x) (x?-1);
2 2 2 2

2

2

2

当 0?x?1 时, t?0, 2x?0, 所以 f(1-x )=(1-x ) +1?1, f(2x)=(2x) +1, 由 f(1-x )>f(2x)?
2 2 2 2 2

(1-x ) +1>(2x) +1?x -6x +1>0?0?x< 2-1 综上,x?(-1, 2-1).
2 2 2 4 2

3. (2011·江苏)2、函数 f ( x) ? log5 (2 x ? 1) 的单调增区间是__________.

(- , +? ) 【答案】 .
4. (2011· 江苏) 11、 已知实数 a ? 0 , 函数 f ( x) ? ? 则 a 的值为________ 【答案】 a ? ?

1 2

?2 x ? a, x ? 1 , 若 f (1 ? a) ? f (1 ? a) , ?? x ? 2a, x ? 1

3 . 4 3 , 2

【解析】 考察函数性质, 含参的分类讨论, 中档题。a ? 0, 2 ? 2a ? a ? ?1 ? a ? 2a, a ? ? 不符合; a ? 0, ?1 ? a ? 2a ? 2 ? 2a ? a, a ? ?

3 . 4

1] 上 , 5. ( 2012 · 江 苏 ) 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 2 的 函 数 , 在 区 间 [?1,

? 1≤ x ? 0 , ? ax ? 1, ? f ( x ) ? ? bx ? 2 b ? R .若 其中 a , , 0 ≤ x ≤ 1, ? ? x ?1
【答案】-10.

?1? ?3? f ? ? ? f ? ? ,则 a ? 3b 的值为 ?2? ?2?



? ?) ,若关于 x 的不等 6. (2012·江苏)已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b(a, b ? R) 的值域为 [0 , m ? 6) ,则实数 c 的值为 式 f ( x) ? c 的解集为 (m ,
【答案】9. 7. (2013·江苏)已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数.当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 4x ,则不 等式 f ( x) ? x 的解集用区间表示为 【答案】(﹣5,0) ∪(5,﹢∞) 【解析】做出 f ( x) ? x2 ? 4 x ( x ? 0 )的图像,如下图所示。由于 f ( x) 是定义在 R 上的奇 函数, 利用奇函数图像关于原点对称做出 x<0 的图像。 不等式 f ( x) ? x , 表示函数 y= f ( x) 的图像在 y=x 的上方,观察图像易得:解集为(﹣5,0) ∪(5,﹢∞). y P(5,5) y=x y=x2—4 x x Q(﹣5, ﹣5) . .

8. (2014·江苏)已知函数 f ( x) ? x ? mx ? 1,若对于任意 x ?[m, m ? 1] ,都有 f ( x) ? 0
2

成立,则实数 m 的取值范围是 【答案】 ( ?



2 ,0 ) 2

【命题立意】 本题主要考查二次函数含参数问题, 将区间上恒成立转化为只需区间端点处成 立. 【解析】二次函数开口向上,在区间 [m, m ? 1] 上始终满足 f ( x) ? 0 ,只需 ?

? f (m) ? 0 即 ? f (m ? 1) ? 0

? 2 2 ? ?m? ? ? ? 2 ?m ? m ? 1 ? 0 2 ,则 m ? (? 2 ,0) . 可, ? ,解得 ? 2 2 ? ?(m ? 1) ? m(m ? 1) ? 1 ? 0 ?? 3 ? m ? 0 ? ? 2
2 2

9. (2015·江苏)不等式 2 【答案】 (-1,2)

x2 ? x

? 4 的解集为



【命题立意】本题考查指数不等式,不等式的求解,同时考查运算能力。难度为简单。 【解题思路】由 2
x2 ?x

<4=22,可得 x2-x<2,即(x+1) (x-2)<0,解得-1<x<2。


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