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等比数列练习题(教师版)

家庭作业

等比数列练习题(一)
一、选择题 1.(2009 年广东卷文)已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 = A.
2

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2 【答案】B【解析】设公比为 q ,由已知得 a1q ? a1q ? 2 a1q
2 8

?

4 2

? ,即

q2 ? 2 ,又因为等比数列 {an } 的公比为正数,所以 q ? 2 ,故 a1 ?
2、如果 ?1, a, b, c, ?9 成等比数列,那么( ) A、 b ? 3, ac ? 9 B、 b ? ?3, ac ? 9
n

a2 1 2 ,选 B ? ? q 2 2
D、 b ? ?3, ac ? ?9

3、若数列 an ? 的通项公式是 an ? (1) (3n ? 2),则a1 ? a2 ? ? ? a10 ? (A)15 (B)12 (C) ??? D) ??? 答案:A 4.设{ an }为等差数列,公差 d = -2, Sn 为其前 n 项和.若 S10 ? S11 ,则 a1 =( A.18 B.20 C.22 D.24 答案:B 解析: )

?

C、 b ? 3, ac ? ?9

? S10 ? S11 ,? a11 ? 0 a11 ? a1 ? 10d ,? a1 ? 20

5.(2008 四川)已知等比数列 ? an ? 中 a2 ? 1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是() A. ? ??, ?1? B. ? ??,0? ? ?1, ??? C. ?3, ?? ?

D. ? ??, ?1? ? ?3, ???

答案 D 6.(2008 福建)设{an}是公比为正数的等比数列,若 n1=7,a5=16,则数列{an}前 7 项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 答案 C 7.(2007 重庆)在等比数列{an}中,a2=8,a5=64, ,则公比 q 为( ) A.2 B.3 C.4 D.8 答案 A 8.若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为 A.2 B.4 C.8 D.16 答案:B 9.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1 =3Sn(n ≥1) ,则 a6= (A)3 × 44 (B)3 × 44+1 (C)44 (D)44+1 答案:A 解析: an+1 =3Sn, an =3Sn-1 由 得 (n ≥ 2) 相减得 an+1-an =3(Sn-Sn-1)= 3an, an+1=4an , 则 (n ≥ 2) a1=1, , a2=3,则 a6= a2·44=3× 4,选 A. 4 10.(2007 湖南) 在等比数列 {an } ( n ? N * )中,若 a1 ? 1 , a4 ? A. 2 ?

1 24

B. 2 ?

1 22

C. 2 ?

1 210

1 ,则该数列的前 10 项和为( 8 1 D. 2 ? 11 2



答案 B

c 11.(2006湖北)若互不相等的实数a, b, c 成等差数列, , a, b 成等比数列,且 a ? 3b ? c ? 10 ,则 a ? A.4 B.2 C.-2 D.-4 答案 D
解析 由互不相等的实数 a, b, c 成等差数列可设a=b-d,c=b+d,由 a ? 3b ? c ? 10 可得b=2,所以a= 2-d,c=2+d,又 c, a, b 成等比数列可得d=6,所以a=-4,选D 12.(2008 浙江)已知 ?an ? 是等比数列, a 2 ? 2,a 5 ? A.16( 1 ? 4
?n

1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 =( 4





B.6( 1 ? 2

?n



32 ?n C. (1 ? 4 ) 3

32 ?n D. (1 ? 2 ) 3
1

家庭作业

答案 C 二、填空题: 三、13.(2009 浙江理)设等比数列 {an } 的公比 q ? 答案:15 解析 对于 s4 ?

1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? 2 a4



a1 (1 ? q 4 ) s 1 ? q4 , a4 ? a1q3 ,? 4 ? 3 ? 15 1? q a4 q (1 ? q) 14.(2009 全国卷Ⅱ文)设等比数列{ an }的前 n 项和为 sn 。若 a1 ? 1, s6 ? 4s3 ,则 a4 =
答案:3 3 3 解析:本题考查等比数列的性质及求和运算,由 a1 ? 1, s6 ? 4s3 得 q =3 故 a4=a1q =3

15.(2007 全国 I) 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , 2S 2 , 3S3 成等差数列,则 ?an ? 的公比 为 .答案

1 3

16.已知等差数列 {an } 的公差 d ? 0 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列,则 答案

a1 ? a3 ? a9 的值为 a2 ? a 4 ? a10



13 16

三、解答题 17.(本小题满分 12 分)
已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (I)求数列{an}的通项公式; (II)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值.

18:①已知等比数列 ?an ? , a1 ? a2 ? a3 ? 7, a1a2 a3 ? 8 ,则 an ? ②已知数列 ?an ? 是等比数列,且 Sm ? 10, S2m ? 30 ,则 S3m = ④在等比数列 ?an ? 中,若 a3 ? 4, a9 ? 1 ,则 a6 ? ③在等比数列 ?an ? 中,公比 q ? 2 ,前 99 项的和 S99 ? 56 ,则 a3 ? a6 ? a9 ? ??? ? a99 ? ;若 a3 ? 4, a11 ? 1 ,则 a7 ? ⑤在等比数列 ?an ? 中, a5 ? a6 ? a ? a ? 0? , a15 ? a16 ? b ,则 a25 ? a26 ?
2 解:① a1a2a3 ? a2 ? 8

?a1 ? 4 ?a1 ? a3 ? 5 ? a1 ? 1 或 ? ?? ? a3 ? 1 ? a1 ? a3 ? 4 ?a3 ? 4 n ?1 当 a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 4 时, q ? 2, an ? 2
∴ a2 ? 2 ∴?

1 ?1? 当 a1 ? 4, a2 ? 2, a3 ? 1 时, q ? , an ? 4 ? ? ? 2 ?2?
② ? S 2 m ? S m ? ? S m ? ? S3m ? S 2 m ? ? S3m ? 70
2

n ?1

b1 ? a1 ? a4 ? a7 ? ??? ? a97
③设 b2 ? a2 ? a5 ? a8 ? ??? ? a98 则 b1q ? b2 , b2 q ? b3 ,且 b1 ? b2 ? b3 ? 56

b3 ? a3 ? a6 ? a9 ? ??? ? a99
2 ∴ b1 ? 1 ? q ? q ? 56

?

?

2 ④ a6 ? a3 ? a9

a6 ? ?2

56 ? 8 ∴ b3 ? b1q2 ? 32 1? 2 ? 4 2 a7 ? a3? a1 1 a7 ? 2 (-2 舍去)
即 b1 ?

∵当 a7 ? ?2 时, a7 ? a3q4 ? 4q4 ? 0

2

家庭作业



a15 ? a16 a25 ? a26 ? ? q10 a5 ? a6 a15 ? a16

∴ a25 ? a26 ?

? a15 ? a16 ?
a5 ? a6

2

?

b a

2

19. (本小题满分 12 分)

1 1 ,公比 q ? . 3 3 1 ? an (I) Sn 为 {an } 的前 n 项和,证明: S n ? 2 (II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an ,求数列 {bn} 的通项公式.
已知等比数列 {an } 中, a1 ? 20、某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M 的价值在使用过程中逐年减少,从第 2 年 到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始,每年初 M 的价值为上年初的 75%. (I)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; (II)设 An ?

a1 ? a2 ? ? ? an , 若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则须在第 n 年初对 M 更新,证明: n

须在第 9 年初对 M 更新. 解析: (I)当 n ? 6 时,数列 {an } 是首项为 120,公差为 ?10 的等差数列.

an ? 120 ?10(n ?1) ? 130 ?10n;
当 n ? 6 时,数列 {an } 是以 a6 为首项,公比为

3 为等比数列,又 a6 ? 70 ,所以 4

3 an ? 70 ? ( ) n ? 6 ; 4

?120 ? 10(n ? 1) ? 130 ? 10n, n ? 6 ? 因此,第 n 年初,M 的价值 an 的表达式为 an ? ? 3 an ? 70 ? ( ) n ?6 , n ? 7 ? ? 4 (II)设 Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公式得 当 1 ? n ? 6 时, Sn ? 120n ? 5n(n ?1), An ? 120 ? 5(n ?1) ? 125 ? 5n; 3 3 3 Sn ? S6 ? (a7 ? a8 ? ? ? an ) ? 570 ? 70 ? ? 4 ? [1 ? ( ) n ?6 ] ? 780 ? 210 ? ( ) n ?6 4 4 4 当 n ? 7 时, 3 780 ? 210 ? ( ) n ?6 4 An ? . n 因为 {an } 是递减数列,所以 { An } 是递减数列,又

3 3 780 ? 210 ? ( )8?6 780 ? 210 ? ( )9?6 47 79 4 4 A8 ? ? 82 ? 80, A9 ? ? 76 ? 80, 8 64 9 96 20 21:①已知 ?an ? 等比数列, a3 ? 2, a2 ? a4 ? ,求 ?an ? 的通项公式。 3 ②设等比数列 ?an ? 的公比为 q ? q ? 0? ,它的前 n 项和为 40,前 2n 项和为 3280,且前 n 项和中最
③设等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,已知 a3 ? 2, S4 ? 5S2 ,求 ?an ? 的通项公式。 解:① q ? 大项为 27,求数列的第 2n 项。

1 或q ? 3 an ? 2 ? 33?n 3 ? Sn ? na1 ? 40 ②当 q ? 1 时 ? ?S2n ? 2na1 ? 3280

或 无解

an ? 2 ? 3n?3

3

当 q ? 1时

? a1 ?1 ? q ? ? Sn ? ? 40 1? q ? ? a1 ?1 ? q 2 n ? ? ? 3280 ? S2 n ? 1? q ?
n

家庭作业

S2 n ? 1 ?q n ?8 2 ∴ q n ? 81 ∴ Sn

a1 1 ?? 1? q 2 ∵ q ? 0 即 q n ? 81 ? 1

∴q ?1

∴ a1 ? 0

∴数列 ?an ? 为递增数列

? a1 1 ? q ?3 a1 ? n ?1 ∴ an ? 27 ? a1q ? ? 81 解方程组 ? q ? a1 ? ? 1 ?1 ? q 2 ? 2 n?1 2 n?1 a2n ? a1q ?3
③由已知 a1 ? 0, Sn ?
4 2 得1 ? q ? 5 1 ? q

得?

?a1 ? 1 ∴ ?q ? 3

a1 ?1 ? q 1? q

n

?



?

?

? a1q 2 ? 2 ? a1 ?1 ? q 2 ? ? a1 ?1 ? q 4 ? ? 5? ? 1? q ? 1? q
∴ q ? ?1 或

∵q ?1

q ? ?2

当 q ? ?1 时, a1 ? 2, an ? 2 ? ?1? 当 q ? ?2 时, a1 ?

n ?1

1 1 n ?1 n ?1 , an ? ? ?2 ? ? ? ?1? 2n ? 2 2 2 22.数列 {an } 为等差数列, an 为正整数,其前 n 项和为 Sn ,数列 {bn } 为等比数列,且 a1 ? 3, b1 ? 1 ,数列

{ban } 是公比为 64 的等比数列, b2 S2 ? 64 .
1 1 1 3 ? ?? ? ? . S1 S2 Sn 4 解: (1)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d 为正整数,
(1)求 an , bn ; (2)求证

an ? 3 ? (n ? 1)d , bn ? qn?1
? ban?1 q 3? nd ? 3? ( n ?1) d ? q d ? 64 ? 26 ? q 依题意有 ? ban ① ? S2b2 ? (6 ? d )q ? 64 ? 由 (6 ? d )q ? 64 知 q 为正有理数,故 d 为 6 的因子 1, 2,3, 6 之一, 解①得 d ? 2, q ? 8
故 an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ?1, bn ? 8
n?1

(2) Sn ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n(n ? 2) ∴

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ??? S1 S2 S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2) 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n n?2 1 1 1 1 3 ? (1 ? ? ? )? 2 2 n ?1 n ? 2 4

4


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