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第1部分 第一章 1.3 1.3.2 课时达标检测


[课时达标检测] 一、选择题 1.两个球的体积之比为 8∶27,那么这两个球的表面积之比为( A.2∶3 C. 2∶ 3 B.4∶9 D. 8∶ 27 )

V1 r3 8 r1 2 S1 r2 1 1 4 解析:选 B 设两个球的半径分别为 r1,r2,则 = 3= .∴ = , = 2= . V2 r2 27 r2 3 S2 r2 9 2.用与球心距离为 1 的平面去截球,所得截面圆的面积为 π,则球的表面积为( 8π A. 3 C.8π 解析: 选 C 32π B. 3 8 2π D. 3 设球的半径为 R,则截面圆的半径为 R2-1,∴截面圆的面积为 S = )

π( R2-1)2=(R2-1)π=π,∴R2=2,∴球的表面积 S=4πR2=8π. 3.设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积 为( ) A.3πa2 C.12πa2 解析: 选 B B.6πa2 D.24πa2 由于长方体的长、宽、高分别为 2a 、 a 、 a ,则长方体的体对角线为

?2a?2+a2+a2= 6a, 又长方体的外接球的直径 2R 等于长方体的体对角线, 所以 2R= 6a, 则 S 球=4πR2=4π? 6 ?2 =6πa2. ? 2 a?

4.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的 3 倍,则圆锥的侧面面积和球的表面 积之比为( A.4∶3 C.3∶2 ) B.3∶1 D.9∶4 3 PC 3

解析: 选 C 作轴截面如图, 则 PO=2OD, ∠CPB=30° , CB=

= 3r, PB=2 3r, 圆锥侧面积 S1=6πr2, 球的面积 S2=4πr2, S1∶S2=3∶ 2. 5.(2012· 新课标全国高考)平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1, 球心 O 到平面 α 的距离为 2,则此球的体积为( A. 6π C.4 6π )

B.4 3π D.6 3π

解析:选 B 利用截面圆的性质先求得球的半径长. 如图,设截面圆的圆心为 O′,M 为截面圆上任一点,则 OO′ = 2,O′M=1, ∴OM= ? 2?2+1= 3,即球的半径为 3,

4 ∴V= π( 3)3=4 3π. 3 二、填空题 6.(2012· 盐城模拟)圆柱形容器的内壁底半径是 10 cm,有一个实心铁球浸没于容器的 5 水中, 若取出这个铁球, 测得容器的水面下降了 cm, 则这个铁球的表面积为________ cm2. 3 4 5 解析:设该铁球的半径为 r,则由题意得 πr3=π×102× ,解得 r3=53,∴r=5,∴这 3 3 个铁球的表面积 S=4π×52=100π(cm2). 答案:100π 7.球内切于正方体的六个面,正方体的棱长为 a,则球的表面积为________. 解析:正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面(正方形)的中心,经过四个 切点及球心作截面,如图, a 2 所以有 2r1=a,r1= ,所以 S1=4πr2 1=πa . 2

答案:πa2 8 . (2012· 天津高考 ) 一个几何体的三视图如图所示 ( 单位: m) ,则该几何体的体积为 ________m3.

3 解析:由三视图知原几何体是两个半径为 的球体相切放置,上面放长、宽、高分别是 2 6、3、1 的长方体,直观图如图.

该几何体的体积 V=2V 球+V 长方体 4 3?3 =2× π? +6×1×3 3 ?2? =18+9π. 答案:18+9π 三、解答题 9.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中 r =1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.

解:该组合体的表面积 4 4 S = 4πr2 + 2πrl= 4π×12 + 2π×1×3 = 10π,该组合体的体积 V = πr3 + πr2l= π×13 + 3 3 13π π×12×3= . 3 10.(2012· 潍坊高一检测)用两个平行平面去截半径为 R 的球面,两个截面圆的半径为 r1=24 cm,r2=15 cm,两截面间的距离为 d=27 cm,求球的表面积. 解:设垂直于截面的大圆面交两截面圆于 A1B1、A2B2,上述大圆的垂直于 A1B1 的直径 d1+d2=27 ①, ? ? 2 2 2 交两截面圆于 O1、O2,设球心到两截面的距离分别为 d1、d2,则?d1+24 =R ②, 2 2 ? ③, ?d2 2+15 =R 得 R=25. 当|d1-d2|=27 时,其与②③组成的方程组无解. ∴S 球=4πR2=2 500π(cm2).




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