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高考数学重点难点14数列综合应用问题


重点难点 14 数列综合应用问题 纵观近几年的高考,在解答题中,有关数列的试题出现的频率较高,不仅可与函数、方程、 不等式、复数相联系,而且还与三角、立体几何密切相关;数列作为特殊的函数,在实际问 题中有着广泛的应用,如增长率,减薄率,银行信贷,浓度匹配,养老保险,圆钢堆垒等问 题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外,还要善于观察题设的特征,联想有关数学知 识和方法,迅速确定解题的方向,以提高解数列题的速度. ●难点磁场 (★★★★★)已知二次函数 y=f(x)在 x= 处取得最小值- (t>0),f(1)=0. (1)求 y=f(x)的表达式; (2)若任意实数 x 都满足等式 f(x)?g(x)+anx+bn=xn+1[g(x)]为多项式,n∈N*),试用 t 表示 an 和 bn; (3)设圆 Cn 的方程为(x-an)2+(y-bn)2=rn2, Cn 与 Cn+1 外切(n=1,2,3,?);{rn}是各项都是 圆 正数的等比数列,记 Sn 为前 n 个圆的面积之和,求 rn、Sn. ●案例探究 [例 1]从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产 业,根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少 ,本年度当地旅游业收 入估计为 400 万元, 由于该项建设对旅游业的促进作用, 预计今后的旅游业收入每年会比上 年增加 . (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元,写出 an,bn 的表 达式; (2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入? 命题意图:本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识;考查综合运用数 学知识解决实际问题的能力,本题有很强的区分度,属于应用题型,正是近几年高考的热点 和重点题型,属★★★★★级题目. 知识依托:本题以函数思想为指导,以数列知识为工具,涉及函数建模、数列求和、不等式 的解法等知识点. 错解分析:(1)问 an、bn 实际上是两个数列的前 n 项和,易与“通项”混淆;(2)问是既解一 元二次不等式又解指数不等式,易出现偏差. 技巧与方法:正确审题、深刻挖掘数量关系,建立数量模型是本题的灵魂,(2)问中指数不 等式采用了换元法,是解不等式常用的技巧. 解:(1)第 1 年投入为 800 万元,第 2 年投入为 800×(1- )万元,?第 n 年投入为 800×(1 - )n-1 万元,所以,n 年内的总投入为 an=800+800×(1- )+?+800×(1- )n-1= 800×(1- )k-1 =4000×[1-( )n] 第 1 年旅游业收入为 400 万元, 2 年旅游业收入为 400×(1+ ), 第 n 年旅游业收入 400 第 ?, ×(1+ )n-1 万元.所以,n 年内的旅游业总收入为 bn=400+400×(1+ )+?+400×(1+ )k-1= 400×( )k-1. =1600×[( )n-1] (2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此 bn-an>0,即: 1600×[( )n-1]-4000×[1-( )n]>0,令 x=( )n,代入上式得:5x2-7x+2>0.解此不 等式,得 x< ,或 x>1(舍去).即( )n< ,由此得 n≥5. ∴至少经过 5 年,旅游业的总收入才能超过总投入. [例 2]已知 Sn=1+ +?+ ,(n∈N*)设 f(n)=S2n+1-Sn+1,试确定实数 m 的取值范围,使得对 于一切大于 1 的自然数 n,不等式:f(n)>[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2 恒成立.

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命题意图:本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题,需较强的综合分析问题、 解决问题的能力.属★★★★★级题目. 知识依托:本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起,构思巧妙. 错解分析:本题学生很容易求 f(n)的和,但由于无法求和,故对不等式难以处理. 技巧与方法:解决本题的关键是把 f(n)(n∈N*)看作是 n 的函数,此时不等式的恒成立就转 化为:函数 f(n)的最小值大于[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2. 解:∵Sn=1+ +?+ .(n∈N*) ∴f(n+1)>f(n) ∴f(n)是关于 n 的增函数 ∴f(n) min=f(2)= ∴要使一切大于 1 的自然数 n,不等式 f(n)>[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2 恒成立 只要 >[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2 成立即可 由 得 m>1 且 m≠2 此时设[logm(m-1)]2=t 则 t>0 于是 解得 0<t<1 由此得 0<[logm(m-1)]2<1 解得 m> 且 m≠2. ●锦囊妙计 1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、 解决 问题的能力;解答应用性问题,应充分运用观察、归纳、猜想的手段,建立出有关等差(比) 数列、递推数列模型,再综合其他相关知识来解决问题. 2.纵观近几年高考应用题看,解决一个应用题,重点过三关: (1)事理关:需要读懂题意,明确问题的实际背景,即需要一定的阅读能力. (2)文理关:需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言,用数学式子表达数学关系. (3)事理关:在构建数学模型的过程中;要求考生对数学知识的检索能力,认定或构建相应 的数学模型,完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后,要正确得到问题的解, 还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★★)已知二次函数 y=a(a+1)x2-(2a+1)x+1,当 a=1,2,?,n,?时,其抛物线 在 x 轴上截得的线段长依次为 d1,d2,?,dn,?,则 (d1+d2+?+dn)的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 2.(★★★★★)在直角坐标系中,O 是坐标原点,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是第一象限的两个 点,若 1,x1,x2,4 依次成等差数列,而 1,y1,y2,8 依次成等比数列,则△OP1P2 的 面积是_________. 3.(★★★★)从盛满 a 升酒精的容器里倒出 b 升,然后再用水加满,再倒出 b 升,再用水加 满;这样倒了 n 次,则容器中有纯酒精_________升. 4.(★★★★★)据 2000 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》:“2001 年国内生 产总值达到 95933 亿元,比上年增长 7.3%,”如果“十?五”期间(2001 年~2005 年)每年的 国内生产总值都按此年增长率增长,那么到“十?五”末我国国内年生产总值约为_________ 亿元.

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三、解答题 5.(★★★★★)已知数列{an}满足条件:a1=1,a2=r(r>0),且{anan+1}是公比为 q(q>0)的等比 数列,设 bn=a2n-1+a2n(n=1,2,?). (1)求出使不等式 anan+1+an+1an+2>an+2an+3(n∈N*)成立的 q 的取值范围; (2)求 bn 和 ,其中 Sn=b1+b2+?+bn; (3)设 r=219.2-1,q= ,求数列{ }的最大项和最小项的值. 6.(★★★★★)某公司全年的利润为 b 元,其中一部分作为奖金发给 n 位职工,奖金分配方 案如下:首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小,由 1 到 n 排序,第 1 位职工 得奖金 元,然后再将余额除以 n 发给第 2 位职工,按此方法将奖金逐一发给每位职工,并 将最后剩余部分作为公司发展基金. (1)设 ak(1≤k≤n)为第 k 位职工所得奖金金额, 试求 a2,a3, 并用 k、 和 b 表示 ak(不必证明); n (2)证明 ak>ak+1(k=1,2,?,n-1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义; (3)发展基金与 n 和 b 有关,记为 Pn(b),对常数 b,当 n 变化时,求 Pn(b). 7.(★★★★)据有关资料, 1995 年我国工业废弃垃圾达到 7.4×108 吨, 占地 562.4 平方公里, 若环保部门每年回收或处理 1 吨旧物资, 则相当于处理和减少 4 吨工业废弃垃圾, 并可节约 开采各种矿石 20 吨,设环保部门 1996 年回收 10 万吨废旧物资,计划以后每年递增 20%的 回收量,试问: (1)2001 年回收废旧物资多少吨? (2)从 1996 年至 2001 年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)? (3)从 1996 年至 2001 年可节约多少平方公里土地? 8.(★★★★★)已知点的序列 An(xn, 0),n∈N,其中 x1=0,x2=a(a>0),A3 是线段 A1A2 的中点, A4 是线段 A2A3 的中点,?,An 是线段 An-2An-1 的中点,?. (1)写出 xn 与 xn-1、xn-2 之间关系式(n≥3); (2)设 an=xn+1-xn,计算 a1,a2,a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加以证明; (3)求 xn. 参考答案 难点磁场 解:(1)设 f(x)=a(x- )2- ,由 f(1)=0 得 a=1. ∴f(x)=x2-(t+2)x+t+1. (2)将 f(x)=(x-1)[x-(t+1)]代入已知得: (x-1)[x-(t+1)]g(x)+anx+bn=xn+1,上式对任意的 x∈R 都成立,取 x=1 和 x=t+1 分别代 入上式得: 且 t≠0,解得 an= [(t+1)n+1-1],bn= [1-(t+1 n) (3)由于圆的方程为(x-an)2+(y-bn)2=rn2,又由(2)知 an+bn=1,故圆 Cn 的圆心 On 在直线 x+y=1 上,又圆 Cn 与圆 Cn+1 相切,故有 rn+rn+1= |an+1-an|= (t+1)n+1 ? 设{rn}的公比为 q,则 ②÷①得 q= =t+1,代入①得 rn= ∴Sn=π (r12+r22+?+rn2)= [(t+1)2n-1] 歼灭难点训练 一、1.解析:当 a=n 时 y=n(n+1)x2-(2n+1)x+1 由|x1-x2|= ,得 dn= ,∴d1+d2+?+dn

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答案:A 二、 2.解析: 1,x1,x2,4 依次成等差数列得: 由 2x1=x2+1,x1+x2=5 解得 x1=2,x2=3.又由 1, y1,y2,8 依次成等比数列,得 y12=y2,y1y2=8,解得 y1=2,y2=4, ∴P1(2,2),P2(3,4).∴ =(3,4) ∴ 答案:1 3.解析: 第一次容器中有纯酒精 a-b 即 a(1- )升, 第二次有纯酒精 a(1- )- , a(1- )2 即 升,故第 n 次有纯酒精 a(1- )n 升. 答案:a(1- )n 4.解析:从 2001 年到 2005 年每年的国内生产总值构成以 95933 为首项,以 7.3%为公比的 等比数列,∴a5=95933(1+7.3%)4≈120000(亿元). 答案:120000 三、 5.解:(1)由题意得 rqn-1+rqn>rqn+1.由题设 r>0,q>0,故从上式可得:q2-q-1<0,解得 <q< ,因 q>0,故 0<q< ; (2)∵ .b1=1+r≠0,所以{bn}是首项为 1+r,公比为 q 的等比数列,从而 bn=(1+r)qn-1. 当 q=1 时,Sn=n(1+r),

,从上式可知,当 n-20.2>0,即 n≥21(n∈N*)时,Cn 随 n 的增大而减小,故 1<Cn≤C21=1+ =2.25 ① 当 n-20.2<0,即 n≤20(n∈N*)时,Cn 也随 n 的增大而减小,故 1>Cn≥C20=1+ =-4 ② 综合①②两式知,对任意的自然数 n 有 C20≤Cn≤C21,故{Cn}的最大项 C21=2.25,最小项 C20=-4. 6.解: (1)第 1 位职工的奖金 a1= , 2 位职工的奖金 a2= (1- )b, 3 位职工的奖金 a3= (1 第 第 - )2b,?,第 k 位职工的奖金 ak= (1- )k-1b; (2)ak-ak+1= (1- )k-1b>0,此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原 则. (3)设 fk(b)表示奖金发给第 k 位职工后所剩余数, f1(b)=(1- )b,f2(b)=(1- )2b,?,fk(b)=(1 则 - )kb.得 Pn(b)=fn(b)=(1- )nb, 故 . 7.解:设 an 表示第 n 年的废旧物资回收量,Sn 表示前 n 年废旧物资回收总量,则数列{an} 是以 10 为首项,1+20%为公比的等比数列. (1)a6=10(1+20%)5=10×1.25=24.8832≈25(万吨) (2)S6= =99.2992≈99.3(万吨) ∴从 1996 年到 2000 年共节约开采矿石 20×99.3≈1986(万吨) (3)由于从 1996 年到 2001 年共减少工业废弃垃圾 4×99.3=397.2(万吨), ∴从 1996 年到 2001 年共节约: ≈3 平方公里. 8.解:(1)当 n≥3 时,xn= ; 由此推测 an=(- )n-1a(n∈N)

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证法一:因为 a1=a>0,且 (n≥2) 所以 an=(- )n-1a. 证法二:用数学归纳法证明: (ⅰ)当 n=1 时,a1=x2-x1=a=(- )0a,公式成立; (ⅱ)假设当 n=k 时,公式成立,即 ak=(- )k-1a 成立. 那么当 n=k+1 时, ak+1=xk+2-xk+1= 据(ⅰ)(ⅱ)可知,对任意 n∈N,公式 an=(- )n-1a 成立. (3)当 n≥3 时,有 xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+?+(x2-x1)+x1 =an-1+an-2+?+a1, 由(2)知{an}是公比为- 的等比数列,所以 a.

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