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高中数学第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词学案含解析新人教A版选修2_10921222

1.4 全称量词与存在量词 全称量词和全称命题 [提出问题] 观察下列语句: (1)2x 是偶数; (2)对于任意一个 x∈Z,2x 都是偶数. (3)所有的三角函数都是周期函数. 问题 1:以上语句是命题吗? 提示:(1)不是命题,(2)(3)是命题. 问题 2:上述命题中强调的是什么? 提示:(2)强调“任意一个 x∈Z”,(3)强调“所有的三角形”. [导入新知] 全称量词和全称命题 全称量词 符号 全称命题 形式 [化解疑难] 全称命题是强调命题的一般性, 是对于某一个给定集合的所有元素是否具有某种性质来 说的. 存在量词与特称命题 [提出问题] 观察下列语句: (1)存在一个 x0∈R,使 2x0+2=10; (2)至少有一个 x0∈R,使 x0 能被 5 和 8 整除. 问题 1:以上语句是命题吗? 提示:都是命题. 问题 2:上述命题有什么特点? 提示:两命题中变量 x0 取值有限制,即“存在一个 x0∈R”,“至少有一个 x0∈R”. [导入新知] 1 所有的、任给、每一个、对一切 ? 含有全称量词的命题 “对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立”, 可用符号简记为? x∈M,p(x) 存在量词和特称命题 存在量词 符号表示 特称命题 形式 存在一个、至少有一个、有一个、对某个、有些 ? 含有存在量词的命题 “存在 M 中的元素 x0,使 p(x0)成立”, 可用符号简记为? x0∈M,p(x0) [化解疑难] 特称命题是强调命题的存在性, 是对于某一个给定集合的某些元素是否具有某种性质来 说的. 含有一个量词的命题的否定 [提出问题] 观察下列命题: (1)有的函数是偶函数; (2)三角形都有外接圆. 问题 1:上述命题是全称命题还是特称命题? 提示:(1)是特称命题,(2)是全称命题. 问题 2:上述命题的量词各是什么?其量词的“反面”是什么? 提示:有的;所有的.所有的;存在一个. [导入新知] 含有一个量词的命题的否定 [化解疑难] 一般命题的否定通常是保留条件否定其结论, 得到真假性完全相反的两个命题; 含有一 个量词的命题的否定,是在否定结论 p(x)的同时,改变量词的属性,即全称量词改为存在 量词,存在量词改为全称量词. 全称命题与特称命题 2 [例 1] 判断下列语句是全称命题,还是特称命题. (1)凸多边形的外角和等于 360°; (2)有的向量方向不定; (3)对任意角 α ,都有 sin α +cos α =1; (4)矩形的对角线不相等; (5)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直. 2 2 [解] (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于 360°,故为全称命题. (2)含有存在量词“有的”,故是特称命题. (3)含有全称量词“任意”,故是全称命题. (4)可以改为所有矩形的对角线不相等,故为全称命题. (5)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称命题. [类题通法] 判定命题是全称命题还是特称命题,主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量 词. 要注意的是有些全称命题并不含有全称量词, 这时我们就要根据命题涉及的意义去判断. [活学活用] 用全称量词或存在量词表示下列语句: (1)不等式 x +x+1>0 恒成立; 1 2 1 (2)当 x 为有理数时, x + x+1 也是有理数; 3 2 (3)等式 sin(α +β )=sin α +sin β 对有些角 α ,β 成立; (4)方程 3x-2y=10 有整数解. 解:(1)对任意实数 x,不等式 x +x+1>0 成立. 1 2 1 (2)对任意有理数 x, x + x+1 是有理数. 3 2 (3)存在角 α ,β ,使 sin(α +β )=sin α +sin β 成立. (4)存在一对整数 x,y,使 3x-2y=10 成立. 全称命题、特称命题的真假 [例 2] 指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断它们的真假. (1)? x∈N,2x+1 是奇数; (2)存在一个 x0∈R,使 1 =0; x0-1 2 2 (3)存在一组 m,n 的值,使 m-n=1; (4)至少有一个集合 A,满足 A {1,2,3}. [解] (1)是全称命题.因为对任意自然数 x,2x+1 都是奇数,所以该命题是真命题. 3 (2)是特称命题.因为不存在 x0∈R,使 1 =0 成立,所以该命题是假命题. x0-1 (3)是特称命题.当 m=4,n=3 时,m-n=1 成立,所以该命题是真命题. (4)是特称命题.存在 A={3},使 A {1,2,3}成立,所以该命题是真命题. [类题通法] (1)要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 p(x)成立; 但要判定全称命题是假命题, 只要能举出集合 M 中的一个 x0, 使得 p(x0)不成立即可(这就是 通常所说的“举出一个反例”). (2)要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合 M 中,能找到一个 x0 使 p(x0)成立 即可;否则,这个特称命题就是假命题. [活学活用] 判断下列命题的真假: (1)p:所有的单位向量都相等; (2)p:任一等比数列{an}的公比 q≠0; (3)p:? x0∈R,x0+2x0+3≤0. 解:(1)p 是全称命题,是假命题. 若两个单位向量 e1,e2 方向不相同,虽然有|e1|=|e2|=1,但 e1≠e2. (2)p 是全称命题,是真命题. 根据等比数列的定义知,任一等比数列中,其每一项 an≠0,所以其公比 q= =1,2,3,?). (3)p 是特称命题,是假命题. 因为对于綈 p:? x∈R,x +2x+3>0 是真命题,这是因为 x +2x+3=(x+1) +2≥2 >0 恒成立. 全称命题与特称命题的否定 2 2 2 2 an+1 ≠0(n an [例 3] 写出下列命题的否定,并判断其真假. 1 2 (1)p:? x

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