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2012届高三理科数学一轮总复习第五章 三角函数(教师用书)


第五章

三角函数

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考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制的概念,能进 行弧度与角度的互化. 2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义. 3.能 利 用 单 位 圆 中 的 三 角 函 数 线 推 导 出 π ? ? ,π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式, 2 能画出 y=sin x, y=cos x , y=tan x 的图象, 了解三角函数的周期性. 4.理解正弦函数、 余弦函数在[0,2π]上的性质 (如单调性、最大值和最小值、图象与 x 轴的交 π π 点等),理解正切函数在(- , )上的单调性. 2 2 5.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+ sin x cos2x=1 , =tan x. cos x 6.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义,能 画出函数 y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数 A, ω,φ 对函数图象变化的影响. 7.会用三角函数解决一些简单实际问题,体 会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模 型. 8.会用向量的数量积推导出两角差的余弦 公式, 会用两角差的余弦公式推导出两角和的正 弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正 切公式,了解它们的内在联系,能运用上述公式 进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差 化积、半角公式,但不要求记忆). 9.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些 简单的三角形度量问题,能够运用正弦定理、余 弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计 算有关的实际问题. 重难点击 本章重点: 1.角的推广,三 角函数的定义, 诱导公式的运 用;2.三角函数 的图象与性质, y =Asin(ωx+) (ω>0)的性质、 图象及变换;3. 用三角函数模型 解决实际问题; 4.以和、差、倍 角公式为依据, 提高推理、运算 能力;5.正、余 弦定理及应用. 本章难点:1. 任意角的三角函 数的几何表示, 图象变换与函数 解析式变换的内 在联系;2.灵活 运用三角公式化 3.三角函数的奇 偶性、单调性的 判断,最值的求 法;4.探索两角 差的余弦公式; 5.把实际问题转 化为三角函数问 题. 三角函数 是基本初等函 数,是描述周 期现象的重要 数学模型.三角 函数的概念、 图象和性质是 高考数学必考 的基础知识之 一.在高考中主 要考查对三角 函数概念的理 解;运用函数 公式进行恒等 变形、化简、 求值、证明三 角函数的图象 和性质以及图 象变换、 作图、 识图等.解三角 形的问题往往 与其他知识 解析几何、向 量等)相联系, 考查考生的数 学应用意识, 体现以能力立 意的高考命题 原则. 命题展望

简、 求值、 证明; (如立体几何、

知识网络

5.1 任意角的三角函数的概念
典例精析
题型一 象限角与终边相同的角 【例 1】若 α 是第二象限角,试分别确定 2α、 【解析】因为 α 是第二象限角, 所以 k ? 360° +90° <α<k ? 360° +180° (k∈Z). 因为 2k ? 360° +180° <2α<2k ? 360° +360° (k∈Z),故 2α 是第三或第四象限角,或角的终边在 y 轴的 负半轴上. α 因为 k ? 180° +45° <k ? 180° < +90° (k∈Z), 2 α 当 k=2n(n∈Z)时,n ? 360° +45° <n ? 360° < +90° , 2 α 当 k=2n+1(n∈Z)时,n ? 360° +225° <n ? 360° < +270° . 2 α 所以 是第一或第三象限角 . 2 α 【点拨】已知角 α 所在象限,应熟练地确定 所在象限. 2

? 的终边所在的象限. 2

α1 α2 α3 α4 如果用 α1、α2、α3、α4 分别表示第一、二、三、四象限角,则 、 、 、 2 2 2 2

分布如图,即第一象限角的半角是第一或第三 象限角(其余略),熟记右图,解有关问题就方便多了. 【变式训练 1】若角 2α 的终边在 x 轴上方,那么角 α 是( ) A.第一象限角 C.第一或第三象限角 B.第一或第二象限角 D.第一或第四象限角

【解析】由题意 2kπ<2α<2kπ+π,k∈Z, π 得 kπ<α<kπ+ ,k∈Z. 2 当 k 是奇数时,α 是第三象限角. 当 k 是偶数时,α 是第一象限角.故选 C. 题型二 弧长公式,面积公式的应用 【例 2】已知一扇形的中心角是 α,所在圆的半径是 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积; (2)若扇形的周长是一定值 C(C>0),当 α 为多少弧度时,该扇形的面积有最大值?并求出这个最大值. 【解析】(1)设弧长为 l,弓形面积为 S 弓, π 10π 因为 α=60° ,R=10 cm,所以 l= = cm, 3 3 1 10π 1 π 3 S 弓=S 扇-SΔ= × 10× - × 2× 60° 10 sin =50( - ) cm2. 2 3 2 3 2 C (2)因为 C=2R+l=2R+αR,所以 R= , 2+α 2 2 1 2 1 C 2 C α C 1 C2 S 扇= αR = α( )= ? 2 = ≤ , 2 2 2+α 2 α +4α+4 2 ? 4 16 α+ +4 α 4 C2 当且仅当 α= 时,即 α=2(α=-2 舍去)时,扇形的面积有最大值为 . α 16 1 1 2 【点拨】用弧长公式 l= |α| R 与扇形面积公式 S= lR= R |α|时,α 的单位必须是弧度. 2 2 【变式训练 2】已知一扇形的面积为定值 S,当圆心角 α 为多少弧度时,该扇形的周长 C 有最小值? 并求出最小值. 1 【解析】因为 S= Rl,所以 Rl=2S, 2 所以周长 C=l+2R≥2 2Rl=2 4S=4 S, 当且仅当 l=2R 时,C=4 S, l 所以当 α= =2 时,周长 C 有最小值 4 S. R

题型三 三角函数的定义,三角函数线的应用 【例 3】(1)已知角 α 的终边与函数 y=2x 的图象重合,求 sin α;(2)求满足 sin x≤ 3 的角 x 的集合. 2

? y ? 2x 5 2 5 5 2 5 【解析】(1)由 ? 2 ?交点为(- ,- )或( , ), 2 5 5 5 5 ?x ? y ? 1
2 5 所以 sin α=± . 5 (2)①找终边:在 y 轴正半轴上找出点(0, 3 ),过该点作平行于 x 轴的平行线与单位圆分别交于 P1、 2

P2 两点,连接 OP1、OP2,则为角 x 的终边,并写出对应的角. ②画区域:画出角 x 的终边所在位置的阴影部分.

4π π ③写集合:所求角 x 的集合是{x|2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z}. 3 3 【点拨】三角函数是用角 α 的终边与单位圆交点的坐标来定义的,因此,用定义求值,转化为求交点 的问题.利用三角函数线证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观. 【变式训练 3】函数 y=lg sin x+ 【解析】 1 cos x- 的定义域为 2 .

π ?2kπ<x≤2kπ+ ,k∈Z. 3 π 所以函数的定义域为{x|2kπ<x≤2kπ+ ,k∈Z}. 3

总结提高
1.确定一个角的象限位置,不仅要看角的三角函数值的符号,还要考虑它的函数值的大小. π 2.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致,防止出现诸如 k·360° 的错误书写. + 3 3.三角函数线具有较好的几何直观性,是研究和理解三角函数的一把钥匙.

5.2 同角三角函数的关系、诱导公式
典例精析
题型一 三角函数式的化简问题

【点拨】运用诱导公式的关键是符号,前提是将 α 视为锐角后,再判断所求角的象限. 3π 【变式训练 1】已知 f(x)= 1-x,θ∈( ,π),则 f(sin 2θ)+f(-sin 2θ)= . 4 【解析】f(sin 2θ)+f(-sin 2θ)= 1-sin 2θ+ 1+sin 2θ= (sin θ-cos θ)2+ (sin θ+cos θ)2=|sin θ- cos θ|+|sin θ+cos θ|. 3π 因为 θ∈( ,π),所以 sin θ-cos θ>0,sin θ+cos θ<0. 4 所以|sin θ-cos θ|+|sin θ+cos θ|=sin θ-cos θ-sin θ-cos θ=-2cos θ. 题型二 三角函数式的求值问题 【例 2】已知向量 a=(sin θ,cos θ-2sin θ),b=(1,2). (1)若 a∥b,求 tan θ 的值; (2)若|a|=|b|,0<θ<π,求 θ 的值. 【解析】(1)因为 a∥b,所以 2sin θ=cos θ-2sin θ, 1 于是 4sin θ=cos θ,故 tan θ= . 4 (2)由|a|=|b|知,sin2θ+(cos θ-2sin θ)2=5, 所以 1-2sin 2θ+4sin2θ=5. 从而-2sin 2θ+2(1-cos 2θ)=4,即 sin 2θ+cos 2θ=-1, π 2 于是 sin(2θ+ )=- . 4 2 π π 9π 又由 0<θ<π 知, <2θ+ < , 4 4 4 π 5π π 7π 所以 2θ+ = 或 2θ+ = . 4 4 4 4 π 3π 因此 θ= 或 θ= . 2 4 1 【变式训练 2】已知 tan α= ,则 2sin αcos α+cos2α 等于( 2 4 A. 5 8 B. 5 6 C. 5

) D.2

2sin αcos α+cos2α 2tan α+1 8 【解析】原式= = = .故选 B. sin2α+cos2α 1+tan2α 5 题型三 三角函数式的简单应用问题 π 1 【例 3】已知- <x<0 且 sin x+cos x= ,求: 2 5 (1)sin x-cos x 的值;

π π (2)sin3( -x)+cos3( +x)的值. 2 2 24 【解析】(1)由已知得 2sin xcos x=- ,且 sin x<0<cos x, 25 所以 sin x-cos x=- (sin x-cos x)2=- 1-2sin xcos x=- 24 7 1+ =- . 25 5

π π (2)sin3( -x)+cos3( +x)=cos3x-sin3x=(cos x-sin x)(cos2x+cos xsin x+sin2x) 2 2 7 12 91 = × (1- )= . 5 25 125 【点拨】求形如 sin x± x 的值,一般先平方后利用基本关系式,再求 sin x± x 取值符号. cos cos 1-cos4α-sin4α 【变式训练 3】化简 . 1-cos6α-sin6α 1-[(cos2α+sin2α)2-2sin2αcos2α] 【解析】原式= 1-[(cos2α+sin2α)(cos4α+sin4α-sin2αcos2α)] = 2sin2αcos2α 2 = . 1-[(cos2α+sin2α)2-3sin2αcos2α] 3

总结提高
1.对于同角三角函数基本关系式中“同角”的含义,只要是“同一个角”,那么基本关系式就成立, 如:sin2(-2α)+cos2(-2α)=1 是恒成立的. 2.诱导公式的重要作用在于:它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数间的内在 联系,从而可化负为正,化复杂为简单.

5.3 两角和与差、二倍角的三角函数
典例精析
题型一 三角函数式的化简

(1 ? sin ? ? cos ? )(sin
【例 1】化简

?
2

? cos

?

2 ? 2 cos ?

) 2 (0<θ<π).

θ π 【解析】因为 0<θ<π,所以 0< < , 2 2

(2 sin
所以原式=

?
2

cos

?
2

? 2cos 2 2 cos 2

?
2

)(sin

?
2

? cos

?
2

)

?
2

2 sin


?
2

(sin 2

?
2

? cos 2

?

2 cos

?
2

) 2 =-cos θ.

θ θ θ 【点拨】先从角度统一入手,将 θ 化成 ,然后再观察结构特征,如此题中 sin2 -cos2 =-cos θ. 2 2 2 1 2cos4x-2cos2x+ 2 【变式训练 1】化简 . π 2 π 2tan( -x)sin ( +x) 4 4

1 (2cos2x-1)2 2 cos22x cos22x 1 【解析】原式= = = = cos 2x. π π π π π 2 2tan( -x)cos2( -x) 4cos( -x)sin( -x) 2sin( -2x) 4 4 4 4 2 题型二 三角函数式的求值 x x 【例 2】已知 sin -2cos =0. 2 2 (1)求 tan x 的值; cos 2x (2)求 的值. π 2cos( +x)sin x 4 x 2 tan x x x 2 2 = 2× =-4. 【解析】(1)由 sin -2cos =0?tan =2,所以 tan x= 2 2 2 3 1-22 x 1 ? tan 2 2 2 2 cos x-sin x (2)原式= 2 2 2( cos x- sin x)sin x 2 2 = (cos x-sin x)(cos x+sin x) cos x+sin x 1 3 1 = = +1=(- )+1= . sin x tan x 4 4 (cos x-sin x)sin x .

2cos 5° -sin 25° 【变式训练 2】 = sin 65°

2cos(30° -25° )-sin 25° 3cos 25° 【解析】原式= = = 3. cos 25° cos 25° 题型三 已知三角函数值求解 1 1 【例 3】已知 tan(α-β)= ,tan β=- ,且 α,β∈(0,π),求 2α-β 的值. 2 7 【解析】因为 tan 2(α-β)= 2tan(α-β) 4 = , 1-tan2(α-β) 3

tan2(α-β)+tan β 所以 tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β]= =1, 1-tan 2(α-β)tan β tan(α-β)+tan β 1 又 tan α=tan[(α-β)+β]= = , 1-tan(α-β)tan β 3 π 因为 α∈(0,π),所以 0<α< , 4 π 3π 又 <β<π,所以-π<2α-β<0,所以 2α-β=- . 2 4 【点拨】由三角函数值求角时,要注意角度范围,有时要根据三角函数值的符号和大小将角的范围适 当缩小. 【变式训练 3】若 α 与 β 是两锐角,且 sin(α+β)=2sin α,则 α 与 β 的大小关系是( A.α=β C.α>β B.α<β D.以上都有可能 )

1 【解析】方法一:因为 2sin α=sin(α+β)≤1,所以 sin α≤ ,又 α 是锐角,所以 α≤30° . 2 又当 α=30° ,β=60° 时符合题意,故选 B. 方法二:因为 2sin α=sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β<sin α+sin β,

所以 sin α<sin β. 又因为 α、β 是锐角,所以 α<β,故选 B.

总结提高
1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具. (1)它能够解答三类基本题型:求值题,化简题,证明题; (2)对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”; (3)掌握角的演变规律,如“2α=(α+β)+(α-β)”等. 2.通过运用公式,实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化,以达到求解的 目的,在运用公式时,注意公式成立的条件.

5.4 三角恒等变换
典例精析
题型一 三角函数的求值 π π α α 【例 1】已知 0<α< ,0<β< ,3sin β=sin(2α+β),4tan =1-tan2 ,求 α+β 的值. 4 4 2 2 α α 【解析】由 4tan =1-tan2 ,得 tan α= 2 2

? 2 =1. ? 2 1 ? tan 2 2
2 tan

由 3sin β=sin(2α+β)得 3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α], 所以 3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α, 即 2sin(α+β)cos α=4cos(α+β)sin α,所以 tan(α+β)=2 tan α=1. π π 又因为 α、β∈(0, ),所以 α+β= . 4 4 【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换,要善于抓住已知条件与目标之间的结构联 系,找到解题的突破口与方向. 3 π 1 π 【变式训练 1】如果 tan(α+β)= ,tan(β- )= ,那么 tan(α+ )等于( ) 5 4 4 4 13 13 7 3 A. B. C. D. 18 22 23 18 π π 【解析】因为 α+ =(α+β)-(β- ), 4 4 π tan(α+β)-tan(β- ) 4 π π 7 所以 tan(α+ )=tan[(α+β)-(β- )]= = . 4 4 π 23 1+tan(α+β)tan(β- ) 4 故选 C. 题型二 等式的证明 sin β sin(2α+β) 【例 2】求证: = -2co s(α+β). sin α sin α 【证明】证法一: sin [(α+β)+α]-2cos(α+β)sin α sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α 右边= = sin α sin α

sin [(α+β)-α] sin β = = =左边. sin α sin α sin(2α+β) sin β sin(2α+β)-sin β 2cos(α+β)sin α 证法二: - = = =2cos(α+β), sin α sin α sin α sin α sin(2α+β) sin β 所以 -2cos(α+β)= . sin α sin α 【点拨】证法一将 2α+β 写成(α+β)+α,使右端的角形式上一致,易于共同运算;证法二把握结构特 征,用“变更问题法”证明,简捷而新颖. 【变式训练 2】已知 5sin α=3sin(α-2β),求证:tan(α-β)+4tan β=0. 【证明】因为 5sin α=3sin(α-2β),所以 5sin[(α-β)+β]=3sin[(α-β)-β], 所以 5sin(α-β)cos β+5cos(α-β)sin β=3sin(α-β)cos β-3cos(α-β)sin β, 所以 2sin(α-β)cos β+8cos(α-β)sin β=0. 即 tan(α-β)+4tan β=0. 题型三 三角恒等变换的应用 【例 3】已知△ABC 是非直角三角形. (1)求证:tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C; sin 2B (2)若 A>B 且 tan A=-2tan B,求证:tan C= ; 3-cos 2B (3)在(2)的条件下,求 tan C 的最大值. 【解析】(1)因为 C=π-(A+B), -(tan A+tan B) 所以 tan C=-tan(A+B)= , 1-tan Atan B 所以 tan C-tan Atan Btan C=-tan A-tan B, 即 tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C. -(tan A+tan B) tan B sin Bcos B (2)由(1)知 tan C= = = = 1-tan Atan B 1+2tan2B cos2B+2sin2B = sin 2B sin 2B = . 1+cos 2B 3-cos 2B 2(2- ) 2 1 2 ≤ = , 1 4 2 2 2tan B+ tan B 1

sin 2 B 2 ? (2 ? cos 2 B )

tan B (3)由(2)知 tan C= = 1+2tan2B

1 2 当且仅当 2tan B= ,即 tan B= 时,等号成立. tan B 2 所以 tan C 的最大值为 2 . 4

【点拨】熟练掌握三角变换公式并灵活地运用来解决与三角形有关的问题,要有较明确的目标意识. 【变式训练 3】在△ABC 中,tan B+tan C+ 3tan Btan C= 3, 3tan A+ 3tan B+1=tan Atan B,试 判断△ABC 的形状. 【解析】由已知得 tan B+tan C= 3(1-tan Btan C), 3(tan A+tan B)=-(1-tan Atan B),



tan B+tan C tan A+tan B 3 = 3, =- . 3 1-tan Btan C 1-tan Atan B 3 . 3

所以 tan(B+C)= 3,tan(A+B)=-

π 5π 因为 0<B+C<π,0<A+B<π,所以 B+C= ,A+B= . 3 6 2π π 又 A+B+C=π,故 A= ,B=C= . 3 6 2π 所以△ABC 是顶角为 的等腰三角形. 3

总结提高
三角恒等式的证明,一般考虑三个“统一”:①统一角度,即化为同一个角的三角函数;②统一名称, 即化为同一种三角函数;③统一结构形式.

5.5 三角函数的图象和性质
典例精析
题型一 三角函数的周期性与奇偶性 x x x 【例 1】已知函数 f(x)=2sin cos + 3cos . 4 4 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期; π (2)令 g(x)=f(x+ ),判断 g(x)的奇偶性. 3 x x x x x x π 【解析】(1)f(x)=2sin cos + 3cos =sin + 3cos =2sin( + ), 4 4 2 2 2 2 3 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =4π. 1 2 π 1 π π x π x (2)g(x)=f(x+ )=2sin[ (x+ )+ ]=2sin( + )=2cos . 3 2 3 3 2 2 2 所以 g(x)为偶函数. 【点拨】解决三角函数的有关性质问题,常常要化简三角函数. 【变式训练 1】函数 y=sin2x+sin xcos x 的最小正周期 T 等于( π A.2π B.π C. 2 1-cos 2x 1 2 2 2 1 【解析】y= + sin 2x= ( sin 2x- cos 2x)+ 2 2 2 2 2 2 = 2 π 1 2π sin(2x- )+ ,所以 T= =π.故选 B. 2 4 2 2 ) π D. 3

题型二 求函数的值域 【例 2】求下列函数的值域: sin 2xsin x (1)f(x)= ; 1-cos x π (2)f(x)=2cos( +x)+2cos x. 3

2 2sin xcos xsin x 2cos x(1-cos x) 【解析】(1)f(x)= = =2cos2x+2cos x 1-cos x 1-cos x

1 1 =2(cos x+ )2- , 2 2 当 cos x=1 时,f(x)max=4,但 cos x≠1,所以 f(x)<4, 1 1 1 当 cos x=- 时,f(x)min=- ,所以函数的值域为[- ,4). 2 2 2 π π (2)f(x)=2(cos cos x-sin sin x)+2cos x 3 3 π =3cos x- 3sin x=2 3cos(x+ ), 6 所以函数的值域为[-2 3,2 3]. 【点拨】求函数的值域是一个难点,分析函数式的特点,具体问题具体分析,是突破这一难点的关键. 【变式训练 2】求 y=sin x+cos x+sin xcos x 的值域. t2-1 【解析】令 t=sin x+cos x,则有 t2=1+2sin xcos x,即 sin xcos x= . 2 t2-1 1 所以 y=f(t)=t+ = (t+1)2-1. 2 2 π 又 t=sin x+cos x= 2sin(x+ ),所以- 2≤t≤ 2. 4 1 故 y=f(t)= (t+1)2-1(- 2≤t≤ 2), 2 1 从而 f(-1)≤y≤f( 2),即-1≤y≤ 2+ . 2 1 所以函数的值域为[-1, 2+ ]. 2 题型三 三角函数的单调性 【例 3】已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(φ>0,|φ|<π)的部分图象如图所示.

(1)求 ω,φ 的值; π (2)设 g(x)=f(x)f(x- ),求函数 g(x)的单调递增区间. 4 π π 2π 【解析】(1)由图可知,T=4( - )=π,ω= =2. 2 4 T π 又由 f( )=1 知,sin(π+φ)=1,又 f(0)=-1,所以 sin φ=-1. 2 π 因为|φ|<π,所以 φ=- . 2 π (2)f(x)=sin(2x- )=-cos 2x. 2

π 1 所以 g(x)=(-cos 2x)[-cos(2x- )]=cos 2xsin 2x= sin 4x. 2 2 π π kπ π kπ π 所以当 2kπ- ≤4x≤2kπ+ ,即 - ≤x≤ + (k∈Z)时 g(x)单调递增. 2 2 2 8 2 8 kπ π kπ π 故函数 g(x)的单调增区间为[ - , + ](k∈Z). 2 8 2 8 【点拨】观察图象,获得 T 的值,然后再确定 φ 的值,体现了数形结合的思想与方法. π 【变式训练 3】使函数 y=sin( -2x)(x∈[0,π])为增函数的区间是( 6 π A.[0, ] 3 π 5π C.[ , ] 3 6 π 7π B.[ , ] 12 12 5π D.[ ,π] 6 )

【解析】利用复合函数单调性“同增异减”的原则判定,选 C.

总结提高
1.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象. 2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的,因而特别要注意题设中所给的区间. 3.求三角函数的最小正周期时,要尽可能地化为三角函数的一般形式,要注意绝对值、定义域对周期 的影响. 4.判断三角函数的奇偶性,应先判定函数定义域的对称性.

5.6 函数 y=Asin(ωx+ ? )的图象和性质
典例精析
题型一 “五点法”作函数图象 【例 1】设函数 f(x)=sin ωx+ 3cos ωx(ω>0)的周期为 π. (1)求它的振幅、初相; (2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换得到. 1 3 π 【解析】(1)f(x)=sin ωx+ 3cos ωx=2( sin ωx+ cos ωx)=2sin(ωx+ ), 2 2 3 2π π 又因为 T=π,所以 =π,即 ω=2,所以 f(x)=2sin(2x+ ), ω 3 π 所以函数 f(x)=sin ωx+ 3cos ωx(ω>0)的振幅为 2,初相为 . 3 (2)列出下表,并描点画出图象如图所示.

π π (3)把 y=sin x 图象上的所有点向左平移 个单位,得到 y=sin(x+ )的图象,再把 3 3 π 1 π y=sin(x+ )的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),得到 y=sin(2x+ )的图象,然后把 y 3 2 3 π π =sin(2x+ )的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),即可得到 y=2sin(2x+ )的图象. 3 3 π 【点拨】用“五点法”作图,先将原函数化为 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)形式,再令 ωx+φ=0, , 2 3π π, ,2π 求出相应的 x 值及相应的 y 值,就可以得到函数图象上一个周期内的五个点,用平滑的曲线连 2 接五个点,再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象.

【变式训练 1】函数 的图象如图所示,则( )

1 1 π A.k= ,ω= ,φ= 2 2 6 1 1 π B.k= ,ω= ,φ= 2 2 3 1 π C.k= ,ω=2,φ= 2 6 1 π D.k=-2,ω= ,φ= 2 3 【解析】本题的函数是一个分段函数,其中一个是一次函数,其图象是一条直线,由图象可判断该直 1 线的斜率 k= .另一个函数是三角函数,三角函数解析式中的参数 ω 由三角函数的周期决定,由图象可知 2 8π 5π 1 5π 1 1 5π 函数的周期为 T=4× - )=4π,故 ω= .将点( ,0)代入解析式 y=2sin( x+φ),得 × +φ=kπ,k∈ ( 3 3 2 3 2 2 3 5π Z,所以 φ=kπ- ,k∈Z.结合各选项可知,选项 A 正确. 6 题型二 三角函数的单调性与值域 π 【例 2】已知函数 f(x)=sin2ωx+ 3sin ωxsin(ωx+ )+2cos2ωx,x∈R(ω>0)在 y 轴右侧的第一个最高 2 π 点的横坐标为 . 6 (1)求 ω 的值; π (2)若将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后, 再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的 4 倍, 纵坐标 6 不变,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)的最大值及单调递减区间. 【解析】(1)f(x)= 3 1 3 π 3 sin 2ωx+ cos 2ωx+ =sin(2ωx+ )+ . 2 2 2 6 2

π π π 令 2ωx+ = ,将 x= 代入可得 ω=1. 6 2 6 π 3 1 π 3 (2)由(1)得 f(x)=sin(2x+ )+ ,经过题设的变化得到函数 g(x)=sin( x- )+ , 6 2 2 6 2 4 5 当 x=4kπ+ π,k∈Z 时,函数 g(x)取得最大值 . 3 2 π 1 π 3 令 2kπ+ ≤ x- ≤2kπ+ π, 2 2 6 2 4π 10 即[4kπ+ ,4kπ+ π](k∈Z)为函数的单调递减区间. 3 3 【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换. π π 【变式训练 2】若将函数 y=2sin(3x+φ)的图象向右平移 个单位后得到的图象关于点( ,0)对称,则|φ| 4 3 的最小值是( ) π π π 3π A. B. C. D. 4 3 2 4 π π 3π 【解析】将函数 y=2sin(3x+φ)的图象向右平移 个单位后得到 y=2sin[3(x- )+φ]=2sin(3x- +φ) 4 4 4

的图象. π π 3π π 因为该函数的图象关于点( ,0)对称,所以 2sin(3× - +φ)=2sin( +φ)=0, 3 3 4 4 π π 故有 +φ=kπ(k∈Z),解得 φ=kπ- (k∈Z). 4 4 π 当 k=0 时,|φ|取得最小值 ,故选 A. 4 题型三 三角函数的综合应用 π 【例 3】已知函数 y=f(x)=Asin2(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ< )的最大值为 2,其图象相邻两对称轴间 2 的距离为 2,并过点(1,2). (1)求 φ 的值; (2)求 f(1)+f(2)+?+f(2 008). A A 【解析】(1)y=Asin2(ωx+φ)= - cos(2ωx+2φ), 2 2 因为 y=f(x)的最大值为 2,又 A>0, A A 所以 + =2,所以 A=2, 2 2 又因为其图象相邻两对称轴间的距离为 2,ω>0, 1 2π π 所以 × =2,所以 ω= . 2 2ω 4 2 2 π π 所以 f(x)= - cos( x+2φ)=1-cos( x+2φ), 2 2 2 2 π 因为 y=f(x)过点(1,2),所以 cos( +2φ)=-1. 2 π 所以 +2φ=2kπ+π(k∈Z), 2 π 解得 φ=kπ+ (k∈Z), 4 π π 又因为 0<φ< ,所以 φ= . 2 4 π (2)方法一:因为 φ= , 4 π π π 所以 y=1-cos( x+ )=1+sin x, 2 2 2 所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4, 又因为 y=f(x)的周期为 4,2 008=4× 502. 所以 f(1)+f(2)+?+f(2 008)=4× 502=2 008. π 方法二:因为 f(x)=2sin2( x+φ), 4 π 3π 所以 f(1)+f(3)=2sin2( +φ)+2sin2( +φ)=2, 4 4 π f(2)+f(4)=2sin2( +φ)+2sin2(π+φ)=2, 2 所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4,

又因为 y=f(x)的周期为 4,2 008=4× 502. 所以 f(1)+f(2)+?+f(2 008)=4× 502=2 008. kπ-φ 【点拨】函数 y=Acos(ωx+φ)的对称轴由 ωx+φ=kπ,可得 x= ,两相邻对称轴间的距离为周期 ω 的一半,解决该类问题可画出相应的三角函数的图象,借助数形结合的思想解决. 【变式训练 3】已知函数 f(x)=Acos2 ωx+2(A>0,ω>0)的最大值为 6,其相邻两条对称轴间的距离为 4,则 f(2)+f(4)+f(6)+?+f(20)= .

1+cos 2ωx Acos 2ωx A 2π 【解析】f(x)=Acos2ωx+2=A× +2= + +2,则由题意知 A+2=6, =8,所以 2 2 2 2ω π π A=4,ω= ,所以 f(x)=2cos x+4,所以 f(2)=4,f(4)=2,f(6)=4,f(8)=6,f(10)=4,?观察周期性规 8 4 律可知 f(2)+f(4)+?+f(20)=2× (4+2+4+6)+4+2=38.

总结提高
π 3π 1.用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的图象,关键是五个点的选取,一般令 ωx+φ=0, ,π, ,2π, 2 2 即可得到作图所需的五个点的坐标,同时,若要求画出给定区间上的函数图象时,应适当调整 ωx+φ 的取 值,以便列表时能使 x 在给定的区间内取值. 2.在图象变换时,要注意相位变换与周期变换的先后顺序改变后,图象平移的长度单位是不同的,这 是因为变换总是对字母 x 本身而言的,无论沿 x 轴平移还是伸缩,变化的总是 x. 3.在解决 y=Asin(ωx+φ)的有关性质时,应将 ωx+φ 视为一个整体 x 后再与基本函数 y=sin x 的性质对应求解.

5.7 正弦定理和余弦定理 典例精析
题型一 利用正、余弦定理解三角形 3 【例 1】在△ABC 中,AB= 2,BC=1,cos C= . 4 (1)求 sin A 的值;(2)求 BC ? CA 的值. 3 7 【解析】(1)由 cos C= 得 sin C= . 4 4 7 1× 4 BC sin C 14 所以 sin A= = = . AB 8 2 5 2 (2)由(1)知,cos A= . 8 所以 cos B=-cos(A+C)=-cos Acos C+sin Asin C 15 2 7 2 2 =- + =- . 32 32 4 所以 BC · CA = BC ·( CB + BA )= BC ? CB + BC ? BA 1 3 =-1+1× 2× B=-1- =- . cos 2 2 【点拨】在解三角形时,要注意灵活应用三角函数公式及正弦定理、余弦定理等有关知识. a2+b2-c2 【变式训练 1】 在△ABC 中, 已知 a、 c 为它的三边, b、 且三角形的面积为 , 则∠C= 4

.

a2+b2-c2 1 【解析】S= = absin C. 4 2 2 2 2 a +b -c 所以 sin C= =cos C.所以 tan C=1, 2ab π 又∠C∈(0,π),所以∠C= . 4 题型二 利用正、余弦定理解三角形中的三角函数问题 π π 【例 2】 设△ABC 是锐角三角形,a、b、c 分别是内角 A、 B、C 所对的边长,并且 sin2A=sin( +B)sin( 3 3 -B)+sin2B. (1)求角 A 的值; (2)若 AB ? AC =12,a=2 7,求 b,c(其中 b<c). 【解析】(1)因为 sin2A=( 3 1 3 1 3 1 3 cos B+ sin B)( cos B- sin B)+sin2B= cos2 B- sin2B+sin2B= ,所以 2 2 2 2 4 4 4

3 π sin A=± .又 A 为锐角,所以 A= . 2 3 (2)由 AB ? AC =12 可得 cbcos A=12.① π 由( 1)知 A= ,所以 cb=24.② 3 由余弦定理知 a2=c2+b2-2cbcos A,将 a=2 7及①代入得 c2+b2=52.③ ③+②× 2,得(c+b)2=100,所以 c+b=10. 因此,c,b 是一元二次方程 t2-10t+24=0 的两个根. 又 b<c,所以 b=4,c=6. 【点拨】本小题考查两角和与差的正弦公式,同角三角函数的基本关系,特殊角的三角函数值,向量 的数量积,利用余弦定理解三角形等有关知识,考查综合运算求解能力. 【变式训练 2】在△ABC 中,a、b、c 分别是 A、B、C 的对边,且满足(2a-c)cos B= bcos C. (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 7,a+c=4,求△ABC 的面积. 【解析】(1)在△ABC 中,由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, 代入(2a-c)cos B=bcos C, 整理得 2sin Acos B=sin Bcos C+sin C ? cos B, 即 2sin Acos B=sin(B+C)=sin A, 在△ABC 中,sin A>0,2cos B=1, 因为∠B 是三角形的内角,所以 B=60° . (2)在△ABC 中,由余弦定理得 b2=a2+c2-2ac ? cos B =(a+c)2-2ac-2ac ? cos B, 将 b= 7,a+c=4 代入整理,得 ac=3. 1 3 3 3 故 S△ABC= acsin B= sin 60° = . 2 2 4

题型三 正、余弦定理在实际问题中的应用 【例 3】(2010 陕西)如图所示,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测点.现位于 A 点北偏东 45° 点北偏西 60° D 点有一艘轮船发出求救信号, ,B 的 南偏西 60° 且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救 援船立即前往营 行速度为 30 海里/小时,则该救援船到达 D 点需要多长时间? 【解析】由题意知 AB=5(3+ 3)(海里),∠DBA=90° -60° DAB=90° -45° =45° ,所以∠ADB=180° -(45° +30° )=105° . 在△DAB 中,由正弦定理得 所以 DB= = DB AB = , sin∠DAB sin∠ADB =30° ∠ , 位于 B 点 救,其航

AB ? sin ?DAB 5(3 ? 3 ) ? sin 45? = sin 105? sin ?ADB

5 3( 3+1) 5(3 ? 3 ) ? sin 45? = =10 3(海里). 3+1 sin 45? cos 60? ? cos 45? sin 60? 2

又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30° +(90° -60° )=60° ,BC=20 3海里, 在△DBC 中,由余弦定理得 1 CD2=BD2+BC2-2BD ? BC ? cos∠DBC=300+1 200-2× 3× 10 20 3× =900, 2 30 所以 CD=30(海里),则需要的时间 t= =1(小时). 30 所以,救援船到达 D 点需要 1 小时. 【点拨】应用解三角形知识解决实际问题的基本步骤是: (1)根据题意,抽象地构造出三角形; (2)确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边与角的对应关系; (3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求解; (4)给出结论. 【变式训练 3】如图,一船在海上由西向东航行,在 A 处测得 方位角为北偏东 α 角,前进 m km 后在 B 处测得该岛的方位角为北 已知该岛周围 n km 范围内(包括边界)有暗礁,现该船继续东行,当 条件 时,该船没有触礁危险. m , sin(α-β) 某岛 M 的 偏东 β 角, α 与 β 满足

BM 【解析】 由题可知, 在△ABM 中, 根据正弦定理得 = sin(90° -α)

mcos α mcos αcos β 解得 BM= , 要使船 没有触礁危险需要 BMsin(90° -β)= >n.所以 α 与 β 的关系满足 mcos sin(α-β) sin(α-β) αcos β>nsin(α-β)时,船没有触礁危险.

总结提高
1.正弦定理、余弦定理体现了三角形中角与边存在的一种内在联系,如证明两内角 A>B 与 sin A>sin B 是一种等价关系.

2.在判断三角形的形状时,一般将已知条件中的边角关系转化,统一转化为边的关系或统一转化为角 的关系,再用恒等变形(如因式分解、配方)求解,注意等式两边的公因式不要随意约掉,否则会漏解. 3.用正弦定理求角的大小一定要根据题中所给的条件判断角的范围,以免增解或漏解.

5.8
典例精析 题型一 利用三角函数的性质解应用题

三角函数的综合应用

【例 1】如图,ABCD 是一块边长为 100 m 的正方形地皮,其中 AST 是一半径为 90 m 的扇形小山,其 余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形 停车场,使矩形的一个顶点 P 在 CR 分别落在正方形的边 BC、CD 上,求矩形停车场 PQCR 面积的最大值和最小值. 【解析】如图,连接 AP,过 P 作 PM⊥AB 于 M. π 设∠PAM=α,0≤α≤ , 2 则 PM=90sin α,AM=90cos α, 所以 PQ=100-90cos α,PR=100-90sin α, 于是 S 四边形 PQCR=PQ·PR =(100-90cos α)(100-90sin α) =8 100sin αcos α-9 000(sin α+cos α)+10 000. t2-1 设 t=sin α+cos α,则 1≤t≤ 2,sin αcos α= . 2 t2-1 S 四边形 PQCR=8 100· -9 000t+10 000 2 10 =4 050(t- )2+950 (1≤t≤ 2). 9 当 t= 2时,(S 四边形 PQCR)max=14 050-9 000 2 m2; 10 当 t= 时,(S 四边形 PQCR)min=950 m2. 9 【点拨】同时含有 sin θcos θ,sin θ± θ 的函数求最值时,可设 sin θ± θ=t,把 sin θcos θ 用 t 表示, cos cos 从而把问题转化成关于 t 的二次函数的最值问题.注意 t 的取值范围. π 【变式训练 1】若 0<x< ,则 4x 与 sin 3x 的大小关系是( ) 2 A.4x>sin 3x C.4x≥sin 3x B.4x<sin 3x D.与 x 的值有关 上,相邻两边 CQ、

【解析】令 f(x)=4x-sin 3x,则 f′(x)=4-3cos 3x.因为 f′(x)=4-3cos 3x>0,所以 f(x)为增函数.又 0< π x< ,所以 f(x)>f(0)=0,即得 4x-sin 3x>0.所以 4x>sin 3x.故选 A. 2 题型二 函数 y=Asin(ωx+φ)模型的应用 【例 2】已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作 y=f(t).下表是

某日各时的浪花高度数据.

经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数 y=Acos ωt+b. (1)根据以上数据,求出函数 y=Acos ωt+b 的最小正周期 T、振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放. 请依据(1)的结论,判断一天内的上午 8: 00 至晚上 20:00 之间,有多少时间可供冲浪者进行运动? 2π 2π π 【解析】(1)由表中数据知,周期 T=12,所以 ω= = = . T 12 6 由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5,由 t=3,y=1.0,得 b=1.0, 1 1 π 所以 A=0.5,b=1,所以振幅为 .所以 y= cos t+1. 2 2 6 (2)由题知,当 y>1 时才可对冲浪者开放, 1 π π 所以 cos t+1>1,所以 cos t>0, 2 6 6 π π π 所以 2kπ- < t<2kπ+ ,即 12k-3<t<12k+3.① 2 6 2 因为 0≤t≤24,故可令①中 k 分别为 0,1,2,得 0≤t<3 或 9<t<15 或 21<t≤24. 故在规定时间上午 8:00 至晚上 20:00 之间,有 6 个小时时间可供冲浪者运动,即上午 9:00 至下 午 15:00. 【点拨】用 y=Asin(ωx+φ)模型解实际问题,关键在于根据题目所给数据准确求出函数解析式. 【变 式训练 2】如图,一个半径为 10 m 的水轮按逆时针方向每分钟转 4 圈,记水轮上的点 P 到水面 的距离为 d m(P 在水面下则 d 为负数), d(m)与时间 t(s)之间满足关系式: 则 π π d=Asin(ωt+φ)+k(A>0,ω>0,- <φ< ),且当点 P 从水面上浮现时 2 2 2π π 开始计算时间,有以下四个结论:①A=10;②ω= ;③φ= ;④k=5. 15 6 其中正确结论的序号是 【解析】①②④. 题型三 正、余弦定理的应用 【例 3】为了测量两山顶 M、N 间的距离,飞机沿水平方向在 A、B 两点进行测量,A、B、M、N 在 同一个铅垂平面内(如图所示),飞机 能测量的数据有俯角和 A、B 之间的距离,请设计一个方案,包括:(1) 指出需测量的数据(用字母表示,并在图中标示);(2)用文字和公式写出计算 M、N 间距离的步骤. .

【解析】(1)如图所示:①测 AB 间的距离 a;②测俯角∠MAB=φ,

∠ NAB =

θ,∠MBA=β,∠NBA=γ.(2)在△ABM 中 ,∠AMB=π-φ-β,由正弦定理得 ABsin φ asin φ BM= = , sin∠AMB sin(φ+β) ABsin θ asin θ 同理在△BAN 中,BN= = , sin∠ANB sin(θ+γ) 所以在△BMN 中,由余弦定理得 MN= BM 2 ? BN 2 ? 2 BM ? BN cos ?MBN 2a sin θsin φcos(γ-β) a2sin2φ a2sin2θ + 2 - . 2 sin (φ+β) sin (θ+γ) sin(φ+β)sin(θ+γ) 【变式训练 3】一船向正北方向匀速行驶,看见正西方向两座相距 10 海里的灯塔恰好与该船在同一直 = 线上,继续航行半小时后,看见其中一座灯塔在南偏西 60° 方向上,另一灯塔在南偏西 75° 方向上,则该船 的速度是 海里/小时.
2

【解析】本题考查实际模型中的解三角形问题.依题意作出简图,易知 AB=10,∠OCB=60° ,∠OCA =75° .我们只需计算出 OC 的长, 即可得出船速.在直角三角形 OCA 和 OCB 中, 显然有 60° 且 OA =tan∠OCA=tan 75° , OC OB =tan∠OCB=tan OC

因此易得 AB=OA-OB=OC(tan 75° -tan 60° ),即有 AB 10 OC= = tan 75° -tan 60° tan 75° -tan 60° = = 10 tan(30° +45° )-tan 60° 10 10 = =5. 1 tan 30° +tan 45° +1 -tan 60° 3 1-tan 30° 45° tan - 3 1 1- 3

由此可得船的速度为 5 海里÷ 小时=10 海里/小时. 0.5

总结提高
1.解三角形的应用题时应注意: (1)生活中的常用名词,如仰角,俯角,方位角,坡比等; (2)将所有已知条件化入同一个三角形中求解; (3)方程思想在解题中的运用. 2.解三角函数的综合题时应注意: (1)与已知基本函数对应求解,即将 ωx+φ 视为一个整体 X; (2)将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数,如 y=Asin(ωx+φ)+B 或 y=asin2x+bsin x+c;

(3)换元方法在解题中的运用.


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