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安徽省肥东县高级中学2019届高三数学5月模拟考试试题理

2019 届高三下学期 5 月份高考模拟卷

理科数学

考试时间 120 分钟 ,满分 150 分。仅在答题卷上作答。 第 I 卷 选择题(共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。)

1.设集合

,集合

,则 等于

A.

B.

C.

D.

2.若复数 z 满足 z(1 ? i) ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则 z 的共轭复数为

A.? i

B.? 2i

C.i

D. 2i

3.某柱体的三视图如图所示(单位: ),则该几何体的侧面积(单位: )是

A. 6

B.

C.

D.

4.执行如图所示的程序框图,输出 的值为

A.

B.

C.

D.

5.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说,书中有这样一个情节:一座阁楼到处挂满 了五彩缤纷的大小灯球,灯球有两种,一种是大灯下缀 2 个小灯,另一种是大灯下缀 4 个小 灯,大灯共 360 个,小灯共 1200 个.若在这座楼阁的灯球中,随机选取两个灯球,则至少有 一个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率为

A.

B.

C.

D.

6.设函数 A. 1
C. 4 7.已知函数

,若角 的终边经过点

,则

,则函数

B. 3 D. 9 的图像大致是

的值为

A.

B.

C.

D.

8.设双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1? a

?

0,b ?

0? 的渐近线与圆 x2

? ? y ? 2?2

? 3 相切,则该双曲线的离

心率为

A. 4 3 3
3
9.已知函数

B. 2 3

C.

3

D. 2 3

的最大值为 ,最小值为 .两条对称轴间最短距离为 ,直线

是其图象的一条对称轴,则符合条件的函数解析式为

A.

B.

C.

D.

10.已知正实数 , , 满足

,则当 取得最大值时,

的最大值为

A.

B.

C.

D. 11.已知函数

,若函数



有相同的值域,则 的取值范围是

A.

B.

C.

D.
12.已知圆 C : x2 ? y2 ? 2x ? 2 3y ? 3 ? 0 ,点 A?0,m? (m? 0), A、B 两点关于 x 轴对

称.若圆 C 上存在点 M ,使得 AM ? BM ? 0 ,则当 m 取得最大值时,点 M 的坐标是

A.

? ???

3 2

,

3

2 2

? ???

B.

? ???

3

2 2

,

3 2

? ???

C.

? ???

3 2

,

3

3 2

? ???

D.

? ???

3

3 2

,

3 2

? ???

第 II 卷 非选择题(共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题--第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答。第 22 题--第 23 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.若 , 满足约束条件

则 的最小值为__________.

14.

的展开式中的含 的系数为__________ (用数字填写作答).

15.若随机变量

,则



.已

知随机变量

,则

__________.

16.已知

分别是定义在 上的奇函数和偶函数,且

,当 时,

( 为常数),则

____________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17. (本题 12 分)

已知等比数列 的前 项和为 ,且



).

(1)求 的值及数列 的通项公式;

(2)若

,求数列 的前 项和 .

18. (本题 12 分)

某中学为了解中学生的课外阅读时间,决定在该中学的 1200 名男生和 800 名女生中按分

层抽样的方法抽取 20 名学生,对他们的课外阅读时间进行问卷调查。现在按课外阅读时间的

情况将学生分成三类:A 类(不参加课外阅读),B 类(参加课外阅读,但平均每周参加课外

阅读的时间不超过 3 小时),C 类(参加课外阅读,且平均每周参加课外阅读的时间超过 3 小

时)。调查结果如下表:

A类

B类

C类

男生

x

5

3

女生

y

3

3

(I)求出表中 x,y 的值; (II)根据表中的统计数据,完成下面的列联表,并判断是否有 90%的把握认为“参加课外阅 读与否”与性别有关;

男生

女生

总计

不参加课外阅读

参加课外阅读 总计

(III)从抽出的女生中再随机抽取 3 人进一步了解情况,记 X 为抽取的这 3 名女生中 A 类人 数和 C 类人数差的绝对值,求 X 的数学期望。

附:K2=

)

P(K2≥k0)

0.10

0.05

0.01

k0

2.706

3.841

6.635

19. (本题 12 分) 如图,在三棱台 ABC﹣A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,AC 的中点,B1E⊥平面 ABC,△AB1C 是等
边三角形,AB=2A1B1,AC=2BC,∠ACB=90°.

(1)证明:B1C∥平面 A1DE; (2)求二面角 A﹣BB1﹣C 的正弦值. 20. (本题 12 分)

已知椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 的离心率为

2 2

,且椭圆 C

? 过点 ???

3, ?

2 2

? ???

.过

点 ?1,0? 做两条相互垂直的直线 l1 、 l2 分别与椭圆 C 交于 P 、 Q 、 M 、 N 四点.

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

(Ⅱ)若 MS ? SN , PT ? TQ ,探究:直线 ST 是否过定点?若是,请求出定点坐标;若

不是,请说明理由. 21. (本题 12 分)

已知函数



,m 是实数.

(1)若 在区间(2,+∞)为增函数,求 m 的取值范围;

(2)在(1)的条件下,函数

有三个零点,求 m 的取值范围.

请考生在第 22、23 题中任选一题作答。注意:只能做选定的题目,如果多做,则按所做

的第一题计分,解答时请写清题号。

22. [选修 4-4:坐标系与参数方程](本题 10 分)

在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为

( 为参数),直线 的参数方程为

( 为参数).

(Ⅰ)若 ,求直线 被曲线 截得的线段的长度;

(Ⅱ)若 ,在曲线 上求一点 ,使得点 到直线 的距离最小,并求出最小距离.

23.[选修 4-5:不等式选讲](本题 10 分)

已知函数

.

(1)解不等式



(2)记函数 的最小值为 ,若 , , 均为正实数,且

,求

的最

小值.

参考答案

1.D 2.C 3.C 4.D 5.C 6.B 7.A

8.B

12.C

13.

14. 11

15.0.8185

16.

9.B 10.C 11.A

17.(1)

;(2)

解:(1)∵



),

∴当 时,



当 时,

,即

∵ 为等比数列,

∴ ,则

,,

∴ 的通项公式为



(2)由(1)得














, ,

18.(1) ; (2)没有 90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关; (3) .

解析:(1)设抽取的 20 人中,男、女生人数分别为 ,则

所以





(2)列联表如下:

不参加课外阅读 参加课外阅读 总计

男生 4 8 12

女生 2 6 8

,
总计 6 14 20

的观测值



所以没有 90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关. (3) 的可能取值为 0,1,2,3,











所以



19. (Ⅰ)证明:因为 A1B1∥AB,AB=2A1B1,D 为棱 AB 的中点,所以 A1B1∥BD,A1B1=BD, 所以四边形 A1B1BD 为平行四边形,从而 BB1∥A1D. 又 BB1?平面 A1DE,A1D? 平面 A1DE,所以 B1B∥平面 A1DE, 因为 DE 是△ABC 的中位线,所以 DE∥BC, 同理可证,BC∥平面 A1DE. 因为 BB1∩BC=B,所以平面 B1BC∥平面 A1DE, 又 B1C? 平面 B1BC,所以 B1C∥平面 A1DE. (Ⅱ)以 ED,EC,EB1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 E ﹣xyz, 设 BC=a,则 A(0,﹣a,0),B(a,a,0),C(0,a,0), =(0,0, ),

则 =(0,a, ), =(a,2a,0).

设平面 ABB1 的一个法向量 =(x1,y1,z1),



,即

,取 z1=1,得 =( , ,1).

同理,设平面 BB1C 的一个法向量 =(x,y,z), 又 =(0,-a, ), =(-a,0,0),



,得

,取 z=﹣1,得 =(0, ,-1),

所以

= =,

故二面角 A﹣BB1﹣C 的余弦值为: .

20.(1)

x2 4

?

y2 2

?

1

(2)

? ??

2 3

,

0

? ??

3 a2

?

1 2b2

?1

a?2

解:(Ⅰ)由题意知, { a2 ? b2 ? c2 ,解得{b ? 2 ,

c? 2 a2

c? 2

故椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1 . 42

(Ⅱ)∵ MS ? SN , PT ? TQ ,∴ S 、T 分别为 MN 、 PQ 的中点.

当两直线的斜率都存在且不为 0 时,设直线 l1 的方程为 y ? k ? x ?1? ,

则直线

l2

的方程为

y

?

?

1 k

?

x

?1?



P? x1, y1 ? ,

Q? x2, y2 ? ,

M ? x3, y3 ? ,

N ? x4, y4 ? ,

? ? x2 ? y2 ? 1
联立{ 4 2

,得

2k2 ?1

x2 ? 4k2x ? 2k 2 ? 4 ? 0 ,∴ ? ? 24k 2 ?16 ? 0 ,

y ? k ? x ?1?



x1

?

x2

?

4k 2 2k 2 ?1



x1x2

?

2k 2 2k 2

?4 ?1

,∴

PQ 中点T

? 的坐标为 ?
?

2k 2 2k 2 ?1,

?k ?

2k

2

?1

? ?



? ? 同理,

MN

中点 S

的坐标为

? ??

k

2

2 ?

2

,

k

2

k ?

2

? ??

,∴

kST

?

2

?3k k2 ?1



? ? ∴直线

ST

的方程为

y

?

2k

k
2

?

1

?

2

?3k k2 ?1

? ? ?

x

?

2k 2k 2

2
?

1

? ? ?



? ? 即 y ?

2

?3k k2 ?1

? ??

x

?

2 3

? ??

,∴直线

ST

过定点

? ??

2 3

,

0

? ??



当两直线的斜率分别为

0

和不存在时,则直线

ST

的方程为

y

?

0

,也过点

? ??

2 3

,

0

? ??



综上所述,直线

ST

过定点

? ??

2 3

,

0

? ??

.

21.(1)

;(2)

解:(1)由



在区间

恒成立,即

恒成

立,由 ,得 .

(2)先求出

,讨论 和 时的情况,进而求出 的范围.

(1)

,因为 在区间

为增函数,

所以

在区间

恒成立,

所以

,即

恒成立,由 ,得 .

所以 的取值范围是

.

(2)



所以 时, 时,令
所以 在

,令

,解得 或 ,

, 在 上是增函数,不合题意,

,解得 或 ,令

,解得

,

递增,在 递减,

所以 极大值为

, 极小值为

,

要使

有 3 个零点,需

,解得

.

所以 的取值范围是

.

22.(Ⅰ) ;(Ⅱ)

.

解:

(Ⅰ)曲线 的普通方程为

.

当 时,直线 的普通方程为

.



.解得





直线 被曲线 截得的线段的长度为

(Ⅱ)解法一: 时,直线 的普通方程为

由点到直线的距离公式,椭圆

上的点

. .
到直线 :

的距离为



其中 满足



.

由三角函数性质知,当

时, 取最小值

.

此时,



.

因此,当点 位于

时,点 到 的距离取最小值

.

解法二:当 时,直线 的普通方程为

.

设与 平行,且与椭圆

相切的直线 的方程为

.



消去 并整理得

.

由判别式

,解得

.

所以,直线 的方程为

,或

.

要使两平行直线 与 间的距离最小,则直线 的方程为

.

这时, 与 间的距离

.

此时点 的坐标为方程组

的解

.

因此,当点 位于

时,点 到直线 的距离取最小值

.

23.(1) 解:

.(2) .

(1)

.



等价于





.

解得 或 .

∴原不等式的解集为

.

(2)由(1),可知当 时, 取最小值 ,即 .



.

由柯西不等式,有

.



.

当且仅当

,即 , , 时,等号成立.



的最小值为 .