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2012高考数学试题分类汇编:极坐标与参数方程[1]


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极坐标与参数方程
考试大纲要求:
1. 理解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况; 2. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示 点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化; 3. 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方 程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时 选择适当坐标系的意义; ⒋ 了解参数方程,了解参数的意义,能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参 数方程; 1. 理解参数方程的概念, 了解常用参数方程中参数的意义, 掌握参数方程与普通方程的互 化。2.理解极坐标的概念,掌握极坐标与直角坐标的互化;直线和圆的极坐标方程。 【知识要点梳理】:

重点、难点:

知识点一:极坐标 1.极坐标系:平面内的一条规定有单位长度的射线
, 为极点, 为极轴,选

定一个长度单位和角的正方向(通常取逆时针方向) ,这就构成了极坐标系。

2. 极坐标系内一点


的极坐标: 平面上一点 到极点
就叫做点 表示非负数;

的距离 的极坐标。

称为极径



轴的夹角 称为极角,有序实数对

(1) 一般情况下,不特别加以说明时 (2) 当 (3) 当 时表示极点; 时,点

的位置这样确定:作射线 ,使得 ( ,点

,使 即为所求的点。

,在

的反向延长线上取一点 (4) 点 与点

)所表示的是同一个点,即角 与

的终边是相同的。综上所述,在极坐标系中,点与其点的极坐标之间不是一一 对应而是一对多的对应,即 一个点. , , 均表示同

3. 极坐标与直角坐标的互化:当极坐标系与直角坐标系在特定条件下(①极点与
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原点重合;②极轴与 轴正半轴重合;③长度单位相同) ,平面上一个点

的极坐标

和直角坐标 直角坐标化极坐标:

有如下

关系:

;极坐标化直角坐标: 此即在两个坐标系下,同一个点的两种坐标间的互化关系.

.

4. 直线的极坐标方程:
(1)过极点倾斜角为 (2)过 的直线: 或写成 及 .

垂直于极轴的直线:

5. 圆的极坐标方程:
(1)以极点 (2)若 为圆心, , 为半径的圆: ,以 .

为直径的圆:

知识点二:参数方程:
1. 概念:一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 数 的函数: 都是某个变

, 并且对于 的每一个允许值, 方程所确定的点 那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系 数).

都在这条曲线上,

间的关系的变数 叫做参变数(简称参

相对于参数方程来说,前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程 ,叫做曲线的普通方程。

知识点三:常见曲线的参数方程 1.直线的参数方程
为: (1)经过定点 ,倾斜角为 的直线 的参数方程

( 为参数) ;

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其中参数 的几何意义: 到定点 的距离。 (当 在

,有 上方时, , 在

,即

表示直线上任一点 M )。

下方时,

(2)过定点

,且其斜率为

的直线 的参数方程为:

( 为参数, 其中 的几何意义为:若

为为常数, 是直线上一点,则

) ; 。

2.圆的参数方程
(1)已知圆心为 ,半径为 的圆 的参数方程为:

( 是参数,

) ;

特别地当圆心在原点时,其参数方程为

( 是参数) 。

(2)参数 的几何意义为:由 轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所 成的角。

(3)圆的标准方程明确地指出圆心和半径,圆的一般方程突出方程形式上的特点, 圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。

3. 椭圆的参数方程

(1)椭圆



)的参数方程



为参数) 。

3

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(2)参数 的几何意义是椭圆上某一点的离心角。 如图中,点 交大圆即以 对应的角为 为直径的圆于 (过 作 轴, 。

) ,切不可认为是

(3)从数的角度理解,椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。

椭圆

上任意一点可设成



为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。

4. 双曲线的参数方程

双曲线



,

)的参数方程为

( 为参数) 。

5. 抛物线的参数方程
参数) 。

抛物线

(

)的参数方程为

( 是

参数 的几何意义为:抛物线上一点与其顶点

连线的斜率的倒数,即



规律方法指导:

1、把参数方程化为普通方程,需要根据其结构特征,选取适当 的消参方法. 常见的消参方法有:代入消法 ;加减消参;平方和(差)消参法;乘法 消参法;比值消参法;利用恒等式消参法;混合消参法等. 2、把曲线 的普通方程 化为参数方程的关键:一是适当选取参数;二

是确保互化前后方程的等价性, 注意方程中的参数的变化范围。

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2012 高考数学分类汇编-极坐标与参数方程
1. (安徽)在极坐标系中,圆 ? ? 4sin ? 的圆心到直线 ? ?

?
6

( ? ? R) 的距离是 _____ 。

2.(北京)直线 ?

?x ? 2 ? t ? x ? 3 cos? (t 为参数)与曲线 ? (? 为参数)的交点个数为______。 ? y ? ?1 ? t ? y ? 3 sin ?

3.(福建) 在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为几点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 已 知 直 线 l 上 两 点 M, N 的 极 坐 标 分 别 为 ( 2,0), (

2 3 ? , ) ,圆 C 的参数方程 3 2

? x ? 2 ? 2 cos? (? 为参数) 。 ? ? y ? ? 3 ? 2 sin ?
(Ⅰ)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线 l 与圆 C 的位置关系。 4.( 广东) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为

? x ? 2 cos ? ?x ? t ? ? (? 是参数) C1 : ? (t 是参数) 和 C2 : ? ,它们的交点坐标为_______. ?y ? t ? y ? 2 sin ? ? ?
5.(湖北)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴 ? x ? t ? 1, π 建立极坐标系. 已知射线 ? ? 与曲线 ? (t 为参数) 2 4 ? y ? (t ? 1) 相交于 A,B 两点,则线段 AB 的中点的直角坐标为 .

6.(湖南)在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : ?

? x ? t ? 1, (t 为参数)与曲线 C2 : ? y ? 1 ? 2t

? x ? a sin ? , ( ? 为参数, a ? 0 ) 有一个公共点在 X 轴上,则 a ? __ . ? ? y ? 3cos ?

7.(江苏)在极坐标中,已知圆 C 经过点 P 的交点,求圆 C 的极坐标方程.

?

2,

? ? ,圆心为直线 ? sin ? ? ? 4 ?

?

?? 3 ?? 与极轴 3? 2 ?

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8(江西)曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立 积坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为___________。
2 2 9(辽宁)在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x +y =4 ,圆 C2 : ? x -2 ? +y =4
2 2

(1)在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1 ,C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1 ,C2 的交点坐标(用极坐标表示) (2)求圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程。 10(陕西)直线 2 ? cos ? ? 1与圆 ? ? 2cos ? 相交的弦长为



11(上海)如图,在极坐标系中,过点 M (2,0) 的直线 l 与极轴的夹角 ? ? 若将 l 的极坐标方程写成 ? ? f (? ) 的形式,则 f (? ) ? .

?
6



12(新课标)

已知曲线 C1 的参数方程是 ?

?x ? 2cos? (?为参数) ,以坐标原点为极点, ? y ? 3sin?

x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点都
在 C 2 上,且 A, B, C, D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (2, (1)求点 A, B, C, D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围。
2 2 2 2

?
3

)

6


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