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高中数学重要解题方法与技巧


高中数学重要解题方法与技巧

1 解决绝对值问题(化简、求值、方程、不等式、函数)的基本思路是:把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。 具体转化方法有: ①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。 ②零点分段讨论法:适用于含一个字母的多个绝对值的情况。 ③两边平方法:适用于两边非负的方程或不等式。 ④几何意义法:适用于有明显几何意义的情况。 2 根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。因式分解的一般步骤是: 提取公因式 ? 选择用公式 ? 十字相乘法 ? 分组分解法 ? 拆项添项法 3 利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法,它是数学中的重要方法和技巧。配方法的主要根 据有: ① a ? 2 ab ? b ? ?a ? b ?
2 2 2 2 2 2

② a ? b ? c ? 2 ab ? 2 bc ? 2 ca ? ? a ? b ? c ? ③ a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ?
2 2 2

2

1 2

??a ? b ?
2

2

? ?b ? c ? ? ? c ? a ?
2

2

?
b 2a ) ?
2

④ax2+bx+c=a(x2+

b a

x )+c=a(x +

b a

x+

b

2 2

)+c-

b

2

? a(x ?

b ? 4ac
2

4a

4a

4a

4 解某些复杂的特型方程要用到‘换元法’ 。换元法解方程的一般步骤是:设元 ? 换元 ? 解元 ? 还元 5 待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。适用于求点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的 解决。其解题步骤是: (1)设(2)列(3)解(4)写 6 复杂代数等式型条件的使用技巧:左边化零,右边变形。 ①因式分解型: ?- - - - ??- - - - - ? ? 0 ②配成平方型: ? - - - - ? ? ?- - - - - ? ? 0
2 2

两种情况为或型 两种情况为且型

7 数学中两个最伟大的解题思路: (1)求值的思路 ? ? ? ? ? ?
方程思想与方法

列欲求值字母的方程或方程组

? (2)求取值范围的思路 ? ? ? ? ? ? 列欲求范围字母的不等式或不等式组
? 8 化简二次根式 m 的基本思路是:把 m 化成完全平方式。即: m ? ? ?
m ?a
2

不等式思想与方法

a

2

= a ? ? ? ? ? ? ? 结果

按 a 的情况分类讨论

9 化简 a ? 2 b 的方法是观察法:a ?

b =(x ? y )

2

其中,xy=b, x+y=a 且 x>y>0

10 代数式求值的方法有: (1)直接代入法 (2)化简代入法 3)适当变形法(和积代入法) 注意:当求值的代数式是字母的“对称式”时,通常可以化为字母‘和与积’的形式,从而用‘和积代入法’求值。 11 方程中除过未知数以外,含有的其它字母叫参数,这种方程叫含参方程。解含参方程一般要用‘分类讨论法’ ,其原 则是: ①按照类型求解, ②根据需要讨论, ③分类写出结论。 12 恒相等成立的有用条件: (1)ax+b=0 对于任意 x 都成立 ? 关于 x 的方程 ax+b=0 有无数个解 ? a=0 且 b=0。 (2)ax2+bx+c=0 对于任意 x 都成立 ? 关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有无数解 ? a=0、b=0、c=0。

高中数学重要解题方法与技巧

13 由一元二次不等式解集为 R 的有关结论容易得到下列恒不等成立的条件: (1) ax2+bx+c>0(a ? 0)对一切 x 恒成立 ? ?
?a ? 0 ?? ? 0 ?a ? 0 ?? ? 0

(2) ax2+bx+c<0(a ? 0)对一切 x 恒成立 ? ?

?a ? 0 ?? ? 0

(3) ax2+bx+c ? 0(a ? 0)对一切 x 恒成立 ? ?

(4) ax2+bx+c ? 0(a ? 0)对一切 x 恒成立 ? ?

?a ? 0 ?? ? 0

14 图像的平移规律是研究复杂函数的重要方法。平移规律是:
y ? f ( x ) ? k ? 0 ,? ? 单 位?k ? 0 , 下 移 k? 单 位 。 y ? f ( x ? h ) ? k ? 上 移 k个 ? ; ? ? 个 ? ? ?
h ? 0 ,左 移 h个 单 位 ; h ? 0 ,右 移 h 个 单 位 。

15 讨论函数性质的重要方法是图像法——看图像、得性质。
?① 定 义 域 ? ?② 值 域 ? ? ?③ 单 调 性 ? ? ?④ 最 值 ?⑤ 奇 偶 性 ? ?⑥ 周 期 性 ? 图 像 在 x轴 上 对 应 的 部 分 图 像 在 y轴 上 对 应 的 部 分 ?从 左 向 右 看 , 连 续 上 升 的 一 段 在 x 轴 上 对 应 的 区 间 是 增 区 间 ? ?从 左 向 右 看 , 连 续 下 降 的 一 段 在 x 轴 上 对 应 的 区 间 是 减 区 间 图像最高点处有最大值,图像最低点处有最小值。 图 像 关 于 y轴 对 称 是 偶 函 数 ; 图 像 关 于 原 点 对 称 是 奇 函 数 图像每隔定长重复出现是周期函数。

16 函数、方程、不等式间的重要关系: 方程的根 ? 函数图像与 x 轴交点横坐标 ? 不等式解集端点 17 一元二次不等式的解法 一元二次不等式可以用因式分解转化为二元一次不等式组去解,但比较复杂;它的简便的 实用解法是根据‘三个二次’间的关系,利用二次函数的图像去解。具体步骤如下: 二次化为正

?

判别且求根

?

画出示意图

?

解集横轴中

18 一元二次方程根的讨论 一元二次方程根的符号问题或 m 型问题可以利用根的判别式和根与系数的关系来解决,但 根的一般问题、特别是区间根的问题要根据‘三个二次’间的关系,利用二次函数的图像来解决。 ‘图像法’解决一
? a 的符号 ? ? ? 的情况 不等式组 ? ? 对称轴的位置 ?区间端点函数值的符号 ?

元二次方程根的问题的一般思路是:题意 ? 二次函数图像

?

19 基本函数在区间上的值域 我们学过的一次函数、反比例函数、二次函数等有名称的函数是基本函数。基本函数求 值域或最值有两种情况: (1)定义域没有特别限制时---记忆法或结论法; (2)定义域有特别限制时---图像截断法, 一般思路是 : 画出图像

?

截出一断

?

得出结论

20 最值型应用题的解法 应用题中,涉及‘一个变量取什么值时另一个变量取得最大值或最小值’的问题是最值型应 用题。解决最值型应用题的基本思路是函数思想法,其解题步骤是: 设变量

?

列函数

?

求最值

? ?

写结论

21 穿线法是解高次不等式和分式不等式的最好方法。其一般思路是: 首项化正

?

求根标根

?

右上起穿

奇穿偶回

注意:①高次不等式首先要用移项和因式分解的方法化为“左边乘积、右边是零”的形式。②分式不等式一般不能用 两边都乘去分母的方法来解,要通过移项、通分合并、因式分解的方法化为“商零式” ,用穿线法解。


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