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2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算


2.2.2

向量的正交分解与向量的 直角坐标运算

平面向量基本定理:
如果 e1 和 e2是一平面内的两个不平行的向量, 那么该平面内的任一向量a,存在唯一的一对实数 a1 , a2 使a=a1 e1+ a2 e2. 向量的基底: 不共线向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有

向量的一组基底记为{e1 , e2 } .

类似地,由平面向量的分解定理,对于平面上的 → → λ 任意向量 a ,均可以分解为不共线的两个向量 1a 1 → → → → λ a λ + a 和λ ,使得 a = 1 1 2 a2 . 2 2

1.掌握平面向量正交分解及其坐标表示 .

2.会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.
(重点、难点)

探究点1

平面向量的直角坐标

思考:我们知道,在平面直角坐标系中,每一

个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示,
直角坐标平面内的每一个向量,如何表示?

探索1: 以点O为始点, 点P为终点的向量能否 用坐标表示?如何表示?

y

a

P
x

o

(3, 2) P

e2
O
e1

OP ? 3e1 ? 2e2 ? (3,2)

y
4

向量的坐标表示
3

OP ? xe1 ? ye2 ? ( x, y )
( x , y) P

2

1

e2
-2

O
-1 -2

2

4

6

e1

x

向量

OP

一一对应 P(x ,y)

-3

探索2:
在平面直角坐标系内,始点不在坐标原点O y 的向量如何用坐标来表示? 解决方案: 可通过向量的平移,将 向量的始点移到坐标的 原点o处.

a
o

a
x

y

y
e2 O e 1

A

a

x

x

a ? xe1 +ye2, OA ? xe1 +ye2 .

平面向量的坐标表示
分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量
作为基底,在坐标平面xOy内,对任一向量a ,

e1 ,e2

有且只有一对实数 ,使 (a1, a2)

y A( , a ) a1 2

a ? a1 e1 ? a2 e2
a2 (a1 , )叫做向量a的坐标.
平面向量的坐标表示:

e2

a x

O e 1


a =( a1 , a2) .

其中,a1 叫做 a在x轴上的坐标分量, a2 叫做 a 在y轴上的 坐标分量,①式叫做向量的坐标表示. 如图,在直角坐标平面内,以原

y
y
e2

点O为始点作OA = a ,则点A的位 置由 a 唯一确定.

A(x,y)
a
e1

O

x

x

设 OA=x e1 +ye2 ,则向量 OA的坐标 (x,y)就是点A的坐标;反过来,点A 的坐标(x,y)也就是向量 OA的坐标. 因此,在平面直角坐标系内,每一 个平面向量都可以用一对实数唯一 表示.

探究点2

平面向量的直角坐标运算

设 a ? (a1 , a2 ),b ? (b1 , b2 ) ,则
a+b= (a1 e1 ? a2 e2 ) ? (b1 e1 ? b2 e2 )

? (a1 ? b1 )e1 ? (a2 ? b 2 )e2 .
a + b ? ( a1 ? b1 , a 2 ? b2 ). a - b ? ( a1 ? b1 , a 2 ? b2 ). 两个向量和与差的坐标 分别等于这两个向量相 应坐标的和与差

? a ? ? ( a1 , a2 ) ? (? a1 , ? a2 ).
数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相
应坐标的积.

例 1. 在直角坐标系xOy中,向量a , b , c 的方向和 长度如图所示.分别求它们的坐标.

解:设a =(a1 ,a2 ),b =(b1 ,b2 ),c =(c1 ,c2 ),则 2 a1 = a cos45° = 2× = 2, 2 2 a2 = a sin45° = 2× = 2; 2 1 3 b1 = b cos120° = 3× (- )= - , 2 2
b
y

a
30
0

45 0

O

30 0

x
c

3 3 3 b 2 ? b sin120? ? 3 ? ? ; 2 2 3 c1 ? c cos(?30?) ? 4 ? ? 2 3, 2 1 c 2 ? c sin( ?30?) ? 4 ? (? ) ? ?2. 2 3 3 3 因此a ? ( 2, 2), b ? ( ? , ), c ? (2 3, ?2). 2 2

例2.已知A(x1,y1),B(x2,y2),求向量 AB 坐标 (如图).

解: AB ? OB ? OA ? (x2 , y2 ) ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ).
结论:一个向量的坐标等于向量终点的坐标减

去始点的坐标.

例 3 .在直角坐标系 xOy中,已知点A (x1 , y1 ), 点B(x2 , y2 ), 求线段 AB 中点的坐标 .
解:设点M(x,y)是线段AB的中点(如图), 1 则OM = (OA + OB). 2 上式换用向量的坐标,得 1 (x,y) = (x ,即 ? ? 1 ,y1 )+(x2 ,y 2 ) 2 x1 + x2 y1 + y 2 x= ,y = . 2 2

线段中点的坐标计 算公式(简称中点 公式)

例4.在直角坐标系xOy 中,已知点 A ( (- 2,4 3,2 ),点 B ),

求向量 OA ? OB 的方向和长度 (如图).

解:由已知可得OA =(3,2),OB =(-2,4). 设OC = OA + OB,则 OC = OA + OB =(3,2)+(-2,4)=(1,6). 由两点的距离公式,得 OC = 12 + 62 = 37.

设OC的相对x轴正向的转角为 α,则 6 tanα= = 6,得 1 α = arctan6. 因此,向量OA + OB的方向偏离x轴正方向为 arctan6,长度等于 37.

例5.已知

ABCD的三个顶点A(-2,1),B(-1,3),

C(3,4),求顶点D的坐标(如图).

解:由平行四边形法则可得

y B D O

C

BD ? BA ? BC ? ( ?2 ? ( ?1),1 ? 3) ? (3 ? ( ?1), 4 ? 3) A ? (3, ?1),
而 OD ? OB ? BD

x

? ( ?1,3) ? (3, ?1) ? (2, 2), 所以顶点D的坐标为(2,2).

),B(1,3), 求线段 AB 中点 M 和三等分点 例 6 .已知 A ( -2,1 P , Q 的坐标(如图).

解:因为AB = OB - OA =(1,3)-(-2,1)=(3,2), 1 1 1 所以OM = (OA + OB)= ?(-2,1)+(1,3)? =(- ,2); 2 2 2 1 1 5 0P = OA + AB =(-2,1)+ (3,2)=(-1, ); 3 3 3 2 2 7 OQ = OA + AB =(-2,1)+ (3,2)=(0, ). 3 3 3 1 5 7 因此M(- ,2),P(-1, ),Q(0, ) . 2 3 3

r r 1r 3r 1.a ? ?1,1? , b ? ?1, -1? , 则向量 a - b ? ? D 2 2 A. ? -2, -1? B. ? -2,1? C. ? -1, 0 ?
则点P的坐标为? A A. ? -2,11?

?
D. ? -1, 2 ?

uuu r uuu r 2.已知P PP ? 2 PP2 , 1 ? 2, -1? , P 2 ? 0,5 ? 且点P在PP 1 2的延长线上, 1

?
2 C ( . ,3) D. ? 2, -7 ? 3

4 B ( . ,3) 3

? 2 ), N ( ?5 , ? 1 ) ,且 MP ? 3 . 已知 M ( 3 ,
则点 P 的坐标为( C ) A .( ?8 ,1 ) 3 B .( 1, ) 2 ? 3) C .( ?1, 2

1

2

MN ,

? 1) D .( 8 ,

4 . 设 a ? ( 4 , ?3 ), b ? ( x , 5 ), c ? ( ?1 , y ), a ? b ? c , 则 (-5,2) . ( x , y ) ? __________

5.已知点O ? 0, 0 ? , A ?1, 2 ? , B ? 4,5 ? ,以及OP ? OA ? t AB, 试问:

?1?当t为何值时,P在x轴上?P在y轴上?P在第三象限? ? 2 ?四边形OABP是否可能为平行四边形?若能,则求出t的值;
若不能,请说明理由.

解: ?1?因为O ? 0, 0 ? , A ?1, 2 ? , B ? 4,5 ? . 所以OA ? ?1, 2 ? , AB ? ? 3,3? . OP ? OA ? t AB ? ?1 ? 3t , 2 ? 3t ? , 则P ?1 ? 3t , 2 ? 3t ? , 2 若P在x轴上,则2 ? 3t ? 0, 所以t ? - ; 3 1 若P在y轴上,则1 ? 3t ? 0, 所以t ? - ; 3 ?1 ? 3t ? 0 2 若P在第三象限,则 ? , 所以t ? - . 3 ?2 ? 3t ? 0

? 2 ? 不能,理由如下: 因为OA ? ?1, 2 ? , PB ? PO ? OB ? ? 3 - 3t ,3 - 3t ? .
若四边形OABP是平行四边形,则OA ? PB, ?3 - 3t ? 1, 即? 此方程组无解. ?3 - 3t ? 2, 所以四边形OABP不可能为平行四边形.

1.向量正交分解
2.平面向量的坐标表示

即a = a1 e1 + a2 e2

向量坐标与表示向量的 有向线段的始点、终点 的坐标之间的关系

向量加法与减法
3.平面向量的

坐标运算

实数与向量的积

过去的事已经一去不复返.聪明的人是考虑现 在和未来,根本无暇去想过去的事. ——培根


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