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【人教A版】高中数学 2.4.2等比数列的性质练习 新人教A版必修5


2.4.2 等比数列的性质练习 新人教 A 版必修 5
?基础梳理 1.(1)等比数列的通项公式: ________________________________________________________________________. 等比数列的通项推广公式: ________________________________________________________________________. (2)已知等比数列{an}中 a3=6,公比 q=3,则其通项公式为____________. 2.(1)既是等差又是等比数列的数列是____________. (2)写出一个既是等差又是等比数列的数列:________________. 3.(1)若{an},{bn}是项数相同的等比数列,则{an·bn}、? ?是__________.
?bn? ?an?

(2)已知等比数列{an}的通项公式为 an=3

n-1

,等比数列{bn}的通项公式为 bn=2
?an? ?bn?

n-1

,则

数列{an·bn}的通项公式为 kn=__________,数列? ?的通项公式为 cn=________,它们都 是__________. 4.(1)等比数列的性质:若 m+n=p+k,则________;若 2n=p+k,则____________. 2 (2)已知等比数列{an}中,a3a5=12,则 a2a6=______,a4=______. 基础梳理 n-1 n-m 1.(1)an=a1·q (a1·q≠0) an=am·q (a1·q≠0) n-3 (2)an=6·3 2.(1)非零常数列 (2)2,2,2,2,2,…(答案不唯一) 3.(1)等比数列 (2)6
n-1

?3? ?2? ? ?

n-1
等比数列
2

4.(1)aman=apak an=apak (2)12 12 ?自测自评 1.如果数列{an}是等比数列,那么( ) 2 A.数列{an}是等比数列 B.数列{2an}是等比数列 C.数列{lg an}是等比数列 D.数列{nan}是等比数列 2.已知{an}是等比数列,且 an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么 a3+a5 的值等于( A.5 B.10 C.15 D.20 3.在等比数列{an}中,若 6a4=a6-a5,则公比 q 是________. 自测自评 1.解析:利用等比数列的定义验证即可. 答案:A 2 2 2 2.解析:a2a4=a3,a4a6=a5,故得(a3+a5) =25, ∴a3+a5=±5,又 an>0,即 a3+a5=5.

)

答案:A 3 5 4 2 3.解析:方法一 由已知得 6a1q =a1q -a1q ,即 6=q -q, ∴q=3 或 q=-2. 2 方法二 ∵a5=a4q,a6=a4q , 2 ∴由已知条件得 6a4=a4q -a4q, 2 即 6=q -q,∴q=3 或 q=-2. 答案:3 或-2 ?基础达标 1. 2+1 与 2-1,两数的等比中项是( ) 1 2

A.1

B.-1

C.±1
2

D.

1.解析:设等比中项为 b,则 b =( 2+1)·( 2-1)=1,∴b=±1,故选 C. 答案:C 2.一个各项都为正数的等比数列,且任何项都等于它后面两项的和,则公比是(

)

A.

5 2

B.-

5 2

C.

1- 5 -1+ 5 D. 2 2
*

2.解析:设其中三项为 an,an+1,an+2(n∈N ),公比为 q,则有 an=an+1+an+2,即 an 2 =anq+anq , -1± 5 2 ∴q +q-1=0.∴q= . 2 -1+ 5 ∵各项都为正数,∴q= . 2 答案:D 3. 将公比为 q 的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列 a1a2, a2a3, a3a4, …. 则此数列( ) A.是公比为 q 的等比数列 B.是公比为 q2 的等比数列 C.是公比为 q3 的等比数列 D.不一定是等比数列 3.B * 2n 4.已知等比数列{an}满足 an>0,n∈N ,且 a5·a2n-5=2 (n≥3),则当 n≥1 时,log2a1 +log2a3+…+log2a2n-1 的值为( ) 2 A.n(2n-1) B.(n+1) 2 2 C.n D.(n-1) 2n 2 2n n 4.解析:由 a5·a2n-5=2 (n≥3)得 an=2 ,an>0,则 an = 2 , log2a1 + log2a3 + … + 2 log2a2n-1=1+3+…+(2n-1)=n ,故选 C. 答案:C 5. 等比数列{an}, 公比是 q(q≠-1), 则数列 a1+a2, a3+a4, a5+a6, …的公比是________. 2 4 2 5.解析:此数列为 a1+a2,q (a1+a2),q (a1+a2),….故公比为 q . 2 答案:q ?巩固提高 + 6.等比数列{an}中,an∈R ,a4·a5=32,则 log2a1+log2a2+…+log2a8 的值为(

)

A.10 B.20 C.36 D.128 4 6.解析:log2a1+log2a2+…+log2a8=log2(a1·a2·a3·…·a8)=log2(a4a5) =4log232 =20.故选 B. 答案:B 1 2 7.若等比数列{an}满足 a2a4= ,则 a1a3a5=________. 2 7.解析:利用等比数列的性质求解. ∵数列{an}为等比数列, 1 2 2 ∴a2·a4=a3= ,a1·a5=a3. 2 1 2 4 ∴a1a3a5=a3= . 4 1 答案: 4 8.在数列{an}中,若 a1=1,an+1=2an+3 (n∈N ),则该数列的通项 an=________. 8.解析:由 a1=1,an+1=2an+3(n≥1),∴an+1+3=2(an+3)(n≥1),即{an+3}是以 a1+3=4 为首项,2 为公比的等比数列,an+3=4·2n-1=2n+1,所以该数列的通项 an=2n+1 -3. n+1 答案:2 -3 2 * 9.设二次方程 anx -an+1x+1=0(n∈N )的两根 a 和 b 满足 6a-2ab+6b=3. (1)试用 an 表示 an+1;
? 2? (2)求证:?an- ?是等比数列. 3? ?
*

9.分析:利用递推关系及等比数列的定义求解. (1)解析:根据根与系数的关系有

a ? ?a+b= a ? 1 ?ab=a , ?
n

n+1 n

, 代入 6(a+b)-2ab=3,

得 6×

an+1 2 - =3. an an

1 1 ∴an+1= an+ . 2 3 1 1 (2)证明:∵an+1= an+ , 2 3 2? 2 1? ∴an+1- = ?an- ?, 3? 3 2?
? 2? 1 故数列?an- ?是以 为公比的等比数列. 3 2 ? ?

10.某厂生产微机,原计划第一季度每月增加台数相同,在生产过程中,实际上 2 月份 比原计划多生产 10 台,3 月份比原计划多生产 25 台,这样三个月产量成等比数列,而第三 个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少 10 台,问该厂第一季度实际生产微机多少 台? 10.解析:设原计划第一个月生产 a 台,公差为 d,

(a+d+10) =a(a+2d+25), ? ? ∴? 1 a+2d+25= (3a+3d)-10, ? 2 ?
2

2

① ②

由②得 a=d+70,代入①得 d +15d-250=0. ∴d=10 或 d=-25(舍去),∴a=80. 所以实际上三个月产量分别为 80 台,100 台和 125 台,故该厂第一季度实际生产微机 305 台.

1.准确掌握等比数列的通项公式与定义,由此得出一些等比数列的性质,掌握推导性 质的方法比记忆性质更重要. 2.适当记忆一些性质,利用性质提高解题速度与解题的正确率,如用等比数列的性质: 若 m+n=p+k,则 aman=apak,可以解决许多相关问题. 3.等比数列的一些项组成的新的等比数列也经常遇到,要准确判断用好定义与通项公 式.


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