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北师大版选修1-2高中数学第三章推理与证明 反证法名师点拨课件


? 1 .间接证明不是从正面论证命题的真 实性,而是通过证明它的等价命题, 间接地达到证明的目的,最常见的间 接证明是反证法. ? 2.间接论证的应用,有一定困难.因 为在间接证明过程中,不得不暂时离开 所讨论的论题,引进许多补充的材料 (如结论的反面等),致使全部过程复杂 化.但这种方法我们务必学会,因为在 学习中,时常会遇到这样的命题,当时 并无直接证明它的论据,必须用间接法 来证明它的真实性. ? 1.反证法的原理 ? 反证法的原理是“否定之否定等于肯 定”. ? 反证法的主要依据是逻辑中的排中 律.排中律的一般表现形式是:或者是 A,或者是非A,即在同一讨论过程中, A和非A有一个且仅有一个是对的.不能 有第三种情形出现. ? 2.反证法证题的一般步骤 ? (1)假设:假设所要证明的结论不成立, 即假设结论的反面成立; ? (2)归谬:从假设出发,经过推理论证, 得出矛盾,这是反证法的核心,在推理 论证的过程中要有意识地制造矛盾和发 现矛盾. 用反证法证明问题时一般叙述过程是: ①否定结论?A?B?C; ?与课本公理抵触 ? ?与已学定理不相容 ?与本题题设冲突 ②而 C 不合理? ?与临时假定违背 ?自相矛盾 ? ?与事实矛盾 ③因为结论不能与事实矛盾,故结论成立. ? 反证法可以证明的命题范围相当广 泛.如:唯一性问题,无限性问题,肯 定性问题,否定性问题,存在性问题, 不等式问题,等式问题,函数问题,整 除问题,几何问题等.常见的基本题型 是: ? (1)一些基本定理; ? (2)“否定性”命题; ? (3)“唯一性”命题; ? (4)“必然性”命题; ? (5)“至少”、“至多”命题. 原 至少有n 至多有n 结 至少有 至多有 个 个 论 一个 一个 ? 常见的“结论词”与“反设词”归纳如 词 下:一个也 至多有 至少有 反 没有 至少有 (n-1) (n+1) 设 (不存 两个) 个 个 词 在 只有一 对任意x不 原结论词 对任意x成立 个 成立 没有或 至少 存在某个x不 存在某个x 反设词 有两 成立 成立 原结论 都是 一定是 p或 q p且 q 个 词 不一定 綈p且綈q 綈p或綈q 反设词 不都是 是 ? 1.如果待证命题的相反判断有多种不同 情况,需对各种不同情况一一导出矛盾, 加以否定,才能使原判断得到充分肯 定. ? 2.有些待证命题的相反判断虽然只有一 种情况,但在证明过程中有必要进行分 类,首先要求分类必须详尽无遗漏,并 且就各类一一导出矛盾. ? 3.有些待证命题的相反判断是断言一 个对象在某一范围内恒有某种属性,对 此只要我们能够在该范围内举一特例导 出矛盾,即可予以否定,从而达到证明 的目的. ? 4.用直接法证明几何问题时,所画的 图形应力求准确,但反证法恰好相反, 我们往往故意画出不正确的甚至不可能 存在的图形,才便于探索导出矛盾的途 径. ? 5.有些命题在证明过程中,可以连续 运用反证法,即反证法中套反证法. 【错解】 证明:假设方程 x2-2x+5-p2=0 有实根, 由已知实数 p 满足不等式(2p+1)(p+2)<0, ? ◎已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)<0, 1 2 2 2 2 解得- 2< p < - ,而关于 x 的方程 x - 2 x + 5 - p = 0的 用反证法证明:关于 x 的方程 x - 2 x + 5 - p 2 =0无实根. 根的判别式 Δ=4(p2-4). 1 1 2 ∵-2<p<- ,∴

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