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北京101中2017届高三数学零模试卷(理科) Word版含解析


2017 年北京 101 中高考数学零模试卷(理科)
一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设(1+i)x=1+yi,其中 x,y 是实数,则|x+yi|=( A.1 B. C. D.2 ) )

2.执行如图所示的程序框图,若输入的 a 值为 1,则输出的 k 值为(

A.1

B.2

C.3

D.4

3.设{an}是首项为正数的等比数列,公比为 q,则“q<0”是“对任意的正整数 n, a2n﹣1+a2n<0”的( A.充要条件 )

B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D,E 分别是边 AB,BC 的中点,取 DE 的中点 F,则 A. B. C. 的值为( D. ﹣ =1 的左、右焦点,点 M 在 E 上,MF1 与 x 轴 ) )

5.已知 F1,F2 是双曲线 E:

垂直,sin∠MF2F1= ,则 E 的离心率为(

-1-

A.

B.

C.

D.2 )

6.函数 y=2x2﹣e|x|在[﹣2,2]的图象大致为(

A.

B.

C.

D.

7.若 a>b>1,0<c<1,则( A.ac<bc B.abc<bac D.logac<logbc



C.alogbc<blogac

8.设△AnBnCn 的三边长分别是 an,bn,cn,△AnBnCn 的面积为 Sn,n∈N*,若 b1 >c1,b1+c1=2a1,bn+1= A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列 C.{S2n﹣1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D.{S2n﹣1}为递减数列,{S2n}为递增数列 ,则( )

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线 上.. 9.已知等差数列{an}前 9 项的和为 27,a10=8,则 a100= 10.在二项式 为 .
2 2 B 两点, (t 为参数) 与圆 C: (x+6) +y =25 交于 A, 且



的展开式中,所有项的二项式系数之和为 256,则常数项

11. 直线 则直线 l 的斜率为




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12.在[﹣1,1]上随机地取一个数 k,则事件“直线 y=kx 与圆(x﹣5)2+y2=9 相交” 发生的概率为 . ,a=1,

13.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cosA= ,cosC= 则 b= .

14.若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系: ①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4 有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组 (a,b,c,d)的个数是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知 (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 求实数 m 的取值范围. 16.在平面四边形 ABCD 中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD,将△ABD 沿 BD 折 起,使得平面 ABD⊥平面 BCD,如图. (1)求证:AB⊥CD; (2)若 M 为 AD 中点,求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值. 时,对任意的 t∈R,不等式 mt2+mt+3≥f(x)恒成立, .

17.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现 一次音乐,要么不出现音乐:每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出 现两次音乐获得 20 分, 出现三次音乐获得 100 分, 没有出现音乐则扣除 200 分 (即 获得﹣200 分) .设每次击鼓出现音乐的概率为 ,且各次击鼓出现音乐相互独立. (1)设每盘游戏获得的分数为 X,求 X 的分布列; (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?

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(3)玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后,与最初分数相比,分数没有 增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 18.设函数 f(x)=alnx+ 切线斜率为 0, (1)求 b; (2)若存在 x0≥1,使得 f(x0)< ,求 a 的取值范围. x2﹣bx(a≠1) ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的

19.已知椭圆 C:9x2+y2=m2(m>0) ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. (1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (2)若 l 过点( ,m) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行 四边形?若能,求此时 l 的斜率;若不能,说明理由. 20.设 A 是由 m×n 个实数组成的 m 行 n 列的数表,满足:每个数的绝对值不大 于 1,且所有数的和为零,记 s(m,n)为所有这样的数表构成的集合.对于 A∈ S(m,n) ,记 ri(A)为 A 的第ⅰ行各数之和(1≤ⅰ≤m) ,Cj(A)为 A 的第 j 列 各数之和(1≤j≤n) ;记 K(A)为|r1(A)|,|R2(A)|,…,|Rm(A)|,|C1 (A)|,|C2(A)|,…,|Cn(A)|中的最小值. (1)如表 A,求 K(A)的值; 1 0.1 (2)设数表 A∈S(2,3)形如 1 a 求 K(A)的最大值; (3)给定正整数 t,对于所有的 A∈S(2,2t+1) ,求 K(A)的最大值. 1 b c ﹣1 1 ﹣0.3 ﹣0.8 ﹣1

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2017 年北京 101 中高考数学零模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设(1+i)x=1+yi,其中 x,y 是实数,则|x+yi|=( A.1 B. C. D.2 )

【考点】复数求模. 【分析】根据复数相等求出 x,y 的值,结合复数的模长公式进行计算即可. 【解答】解:∵(1+i)x=1+yi, ∴x+xi=1+yi, 即 ,解得 ,即|x+yi|=|1+i|= ,

故选:B.

2.执行如图所示的程序框图,若输入的 a 值为 1,则输出的 k 值为(



A.1

B.2

C.3

D.4

【考点】程序框图. 【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变
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量 S 的值,模拟程序的运行过程,可得答案. 【解答】解:输入的 a 值为 1,则 b=1, 第一次执行循环体后,a=﹣ ,不满足退出循环的条件,k=1; 第二次执行循环体后,a=﹣2,不满足退出循环的条件,k=2; 第三次执行循环体后,a=1,满足退出循环的条件, 故输出的 k 值为 2, 故选:B

3.设{an}是首项为正数的等比数列,公比为 q,则“q<0”是“对任意的正整数 n, a2n﹣1+a2n<0”的( A.充要条件 )

B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可. 【解答】解:{an}是首项为正数的等比数列,公比为 q, 若“q<0”是“对任意的正整数 n,a2n﹣1+a2n<0”不一定成立, 例如:当首项为 2,q=﹣ 时,各项为 2,﹣1, ,﹣ ,…,此时 2+(﹣1)=1 >0, +(﹣ )= >0;

而“对任意的正整数 n,a2n﹣1+a2n<0”,前提是“q<0”, 则“q<0”是“对任意的正整数 n,a2n﹣1+a2n<0”的必要而不充分条件, 故选:C.

4.已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D,E 分别是边 AB,BC 的中点,取 DE 的中点 F,则 A. B. C. 的值为( D. )

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由题意画出图形,把 【解答】解:如图所示, 、 用 、 表示,再代入数量积公式计算即可.

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∵D、E 分别是边 AB、BC 的中点,F 是 DE 的中点, ∴ ∴ = = = ∴ = = = + + ( ﹣ ? =( ﹣ ? ﹣ ; ﹣ )? ) + = ( ﹣ ) ,

= ×12﹣ ×1×1×cos =﹣ . 故选:B.

5.已知 F1,F2 是双曲线 E:



=1 的左、右焦点,点 M 在 E 上,MF1 与 x 轴 )

垂直,sin∠MF2F1= ,则 E 的离心率为( A. B. C. D.2

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】 设|MF1|=x, 则|MF2|=2a+x, 利用勾股定理, 求出 x= 求得 x=a,可得 =a,求出 a=b,即可得出结论. , 利用 sin∠MF2F1= ,

【解答】解:设|MF1|=x,则|MF2|=2a+x, ∵MF1 与 x 轴垂直,
-7-

∴(2a+x)2=x2+4c2, ∴x= ∵sin∠MF2F1= , ∴3x=2a+x, ∴x=a, ∴ =a,

∴a=b, ∴c= a, .

∴e= =

故选:A.

6.函数 y=2x2﹣e|x|在[﹣2,2]的图象大致为(



A.

B.

C.

D.

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【考点】函数的图象. 【分析】根据已知中函数的解析式,分析函数的奇偶性,最大值及单调性,利用 排除法,可得答案. 【解答】解:∵f(x)=y=2x2﹣e|x|, ∴f(﹣x)=2(﹣x)2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|, 故函数为偶函数, 当 x=±2 时,y=8﹣e2∈(0,1) ,故排除 A,B; 当 x∈[0,2]时,f(x)=y=2x2﹣ex, ∴f′(x)=4x﹣ex=0 有解, 故函数 y=2x2﹣e|x|在[0,2]不是单调的,故排除 C, 故选:D

7.若 a>b>1,0<c<1,则( A.ac<bc B.abc<bac D.logac<logbc



C.alogbc<blogac

【考点】不等式比较大小;对数值大小的比较. 【分析】根据已知中 a>b>1,0<c<1,结合对数函数和幂函数的单调性,分析 各个结论的真假,可得答案. 【解答】解:∵a>b>1,0<c<1, ∴函数 f(x)=xc 在(0,+∞)上为增函数,故 ac>bc,故 A 错误; 函数 f(x)=xc﹣1 在(0,+∞)上为减函数,故 ac﹣1<bc﹣1,故 bac<abc,即 abc> bac;故 B 错误; logac<0,且 logbc<0,logab<1,即 误; 0<﹣logac<﹣logbc,故﹣blogac<﹣alogbc,即 blogac>alogbc,即 alogbc<blogac, 故 C 正确; 故选:C = <1,即 logac>logbc.故 D 错

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8.设△AnBnCn 的三边长分别是 an,bn,cn,△AnBnCn 的面积为 Sn,n∈N*,若 b1 >c1,b1+c1=2a1,bn+1= A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列 C.{S2n﹣1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D.{S2n﹣1}为递减数列,{S2n}为递增数列 【考点】数列的函数特性. 【分析】由 an+1=an 可知△AnBnCn 的边 BnCn 为定值 a1,由 bn+1+cn+1﹣2a1= (bn+cn b1+c1=2a1 得 bn+cn=2a1, ﹣2an) , 则在△AnBnCn 中边长 BnCn=a1 为定值, 另两边 AnCn、 AnBn 的长度之和 bn+cn=2a1 为定值,由此可知顶点 An 在以 Bn、Cn 为焦点的椭圆上, 根据 bn+1﹣cn+1= (cn﹣bn) ,得 bn﹣cn= ,可知 n→+∞时 bn→cn, ,则( )

据此可判断△AnBnCn 的边 BnCn 的高 hn 随着 n 的增大而增大,再由三角形面积公式 可得到答案. 【解答】解:b1=2a1﹣c1 且 b1>c1,∴2a1﹣c1>c1,∴a1>c1, ∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1>0,∴b1>a1>c1, 又 b1﹣c1<a1,∴2a1﹣c1﹣c1<a1,∴2c1>a1,∴c1 由题意,bn+1+cn+1= ,

+an,∴bn+1+cn+1﹣2an= (bn+cn﹣2an) ,

∴bn+cn﹣2an=0,∴bn+cn=2an=2a1,∴bn+cn=2a1, 又由题意,bn+1﹣cn+1= ∴bn+1﹣(2a1﹣bn+1)= ﹣a1) . ∴bn=a1+(b1﹣a1) = = 可得{Sn}单调递增. 单调递增. ,cn=2a1﹣bn=a1﹣(b1﹣a1) , ? , =a1﹣bn,bn+1﹣a1= (a1﹣bn)= ( b1

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故选:B.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线 上.. 9.已知等差数列{an}前 9 项的和为 27,a10=8,则 a100= 98 【考点】等差数列的通项公式. 【分析】利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式列出方程组,求出首项和公差, 由此能求出 a100. 【解答】解:∵等差数列{an}前 9 项的和为 27,a10=8, ∴ , .

解得 a1=﹣1,d=1, ∴a100=a1+99d=﹣1+99=98. 故答案为:98.

10.在二项式 为 112 .

的展开式中,所有项的二项式系数之和为 256,则常数项

【考点】二项式系数的性质. 【分析】由题意可得:2n=256,解得 n,利用通项公式即可得出. 【解答】解:由题意可得:2n=256,解得 n=8. 的通项公式为:Tr+1= 令 =0,解得 r=2. =112. =(﹣2)r .

∴常数项= 故答案为:112.

11. 直线 则直线 l 的斜率为

2 2 B 两点, (t 为参数) 与圆 C: (x+6) +y =25 交于 A, 且



±



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【考点】参数方程化成普通方程. 【分析】直线 ( t 为参数)与圆 C : ( x+6 ) 2+y2=25 联立,可得 ? (t1+t2)2﹣4t1t2=10,即可得出结论.

t2+12tcosα+11=0,|AB|=|t1﹣t2|= 【解答】解:直线 t2+12tcosα+11=0. t1+t2=﹣12cosα,t1t2=11. ∴|AB|=|t1﹣t2|=

(t 为参数)与圆 C: (x+6)2+y2=25 联立,可得

? (t1+t2)2﹣4t1t2=10,? cos2α= ,tanα=± .



∴直线 AB 的斜率为± 故答案为± .

12.在[﹣1,1]上随机地取一个数 k,则事件“直线 y=kx 与圆(x﹣5)2+y2=9 相交” 发生的概率为 .

【考点】几何概型. 【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交,可求出满足条件 的 k,最后根据几何概型的概率公式可求出所求. 【解答】解:圆(x﹣5)2+y2=9 的圆心为(5,0) ,半径为 3. 圆心到直线 y=kx 的距离为 ,

要使直线 y=kx 与圆(x﹣5)2+y2=9 相交,则

<3,解得﹣ <k< .

∴在区间[﹣1,1]上随机取一个数 k,使直线 y=kx 与圆(x﹣5)2+y2=9 相交相交的 概率为 = .

故答案为: .

13.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cosA= ,cosC=

,a=1,

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则 b=



【考点】解三角形. sinC, 【分析】 运用同角的平方关系可得 sinA, 再由诱导公式和两角和的正弦公式, 可得 sinB,运用正弦定理可得 b= 【解答】解:由 cosA= ,cosC= sinA= sinC= = = = , = , + × = , ,代入计算即可得到所求值. ,可得

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= × 由正弦定理可得 b=

=

=



故答案为:



14.若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系: ①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4 有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组 (a,b,c,d)的个数是 【考点】集合的相等. 【分析】利用集合的相等关系,结合①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4 有且只有一 个是正确的,即可得出结论. 【解答】解:由题意,a=2 时,b=1,c=4,d=3;b=3,c=1,d=4; a=3 时,b=1,c=4,d=2;b=1,c=2,d=4;b=2,c=1,d=4; a=4 时,b=1,c=3,d=2; ∴符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是 6 个. 6 .

三、解答题:本大题共 6 小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知 .

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(1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 求实数 m 的取值范围. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算. 【分析】 (1)首先根据向量的坐标运算求出函数的解析式,进一步变函数为正弦 型函数,最后求出单调区间. (2)根据函数与的定义域求出函数的值域,进一步利用恒成立问题,利用分类讨 论的思想求出 m 的取值范围. 【 解 答 】 解 : ( 1 , ∴f(x)=2 令 2kπ﹣ 解得:﹣ sinxcosx+(cosx+sinx) (sinx﹣cosx)= ≤2x﹣ +kπ≤x≤ ≤2kπ+ +kπ, +kπ, +kπ](k∈Z) . (k∈Z) , sin2x﹣cos2x═2sin(2x﹣ ) , ) ∵ 时,对任意的 t∈R,不等式 mt2+mt+3≥f(x)恒成立,

所以:函数 f(x)的单调递增区间为:[﹣ 单调递减区间为[ (2)当 +kπ, 时,

+kπ](k∈Z) . ≤2x﹣ ≤ , ,

对任意 t∈R,不等式 mt2+mt+3≥f(x)恒成立. 只需满足:mt2+mt+3≥f(x)max 成立即可. 即 mt2+mt+1≥0 即可. ①当 m=0 时,恒成立 ②当 m≠0 时,只需满足 解得:0<m≤4 综合所得:0≤m≤4.

16.在平面四边形 ABCD 中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD,将△ABD 沿 BD 折 起,使得平面 ABD⊥平面 BCD,如图.

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(1)求证:AB⊥CD; (2)若 M 为 AD 中点,求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值.

【考点】直线与平面所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系. 【分析】 (1)利用面面垂直的性质定理即可得出; (2)建立如图所示的空间直角坐标系.设直线 AD 与平面 MBC 所成角为 θ,利用 线面角的计算公式 sinθ=|cos |= 即可得出.

【解答】 (1)证明:∵平面 ABD⊥平面 BCD,平面 ABD∩平面 BCD=BD,AB? 平面 ABD,AB⊥BD, ∴AB⊥平面 BCD,又 CD? 平面 BCD,∴AB⊥CD. (2)解:建立如图所示的空间直角坐标系. ∵AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD, ∴B(0,0,0) ,C(1,1,0) ,A(0,0,1) ,D(0,1,0) ,M ∴ =(0,1,﹣1) , =(1,1,0) , = . , .

设平面 BCM 的法向量 =(x,y,z) ,则 令 y=﹣1,则 x=1,z=1. ∴ =(1,﹣1,1) . 设直线 AD 与平面 MBC 所成角为 θ. 则 sinθ=|cos |= = = .

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17.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现 一次音乐,要么不出现音乐:每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出 现两次音乐获得 20 分, 出现三次音乐获得 100 分, 没有出现音乐则扣除 200 分 (即 获得﹣200 分) .设每次击鼓出现音乐的概率为 ,且各次击鼓出现音乐相互独立. (1)设每盘游戏获得的分数为 X,求 X 的分布列; (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? (3)玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后,与最初分数相比,分数没有 增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 【考点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 【分析】 (1)设每盘游戏获得的分数为 X,求出对应的概率,即可求 X 的分布列; (2)求出有一盘出现音乐的概率,独立重复试验的概率公式即可得到结论. (3)计算出随机变量的期望,根据统计与概率的知识进行分析即可. 【解答】解: (1)X 可能取值有﹣200,10,20,100. 则 P(X=﹣200)= P(X=10)= P(X=20)= P(X=100)= 故分布列为: X P ﹣200 10 20 100 = , = = , ,

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由(1)知,每盘游戏出现音乐的概率是 p= + 则至少有一盘出现音乐的概率 p=1﹣

= , .

= 由 (1) 知, 每盘游戏获得的分数为 X 的数学期望是 E (X) (﹣200) × +10× +20 × ×100=﹣ = .

这说明每盘游戏平均得分是负分,由概率统计的相关知识可知:许多人经过若干 盘游戏后,入最初的分数相比,分数没有增加反而会减少.

18.设函数 f(x)=alnx+ 切线斜率为 0, (1)求 b;

x2﹣bx(a≠1) ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的

(2)若存在 x0≥1,使得 f(x0)<

,求 a 的取值范围.

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (1)利用导数的几何意义即可得出; (2)对 a 分类讨论:当 a 时,当 a<1 时,当 a>1 时,再利用导数研究函

数的单调性极值与最值即可得出. 【解答】解: (1)f′(x)= (x>0) ,

∵曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线斜率为 0, ∴f′(1)=a+(1﹣a)×1﹣b=0,解得 b=1.

(2)函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,由(1)可知:f(x)=alnx+ ∴ ①当 a 时,则 = , .



则当 x>1 时,f′(x)>0, ∴函数 f(x)在(1,+∞)单调递增, ∴存在 x0≥1,使得 f(x0)< 的充要条件是 ,即 ,

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解得 ②当 则当 x∈ 当 x∈ a<1 时,则

; , 上单调递减; 上单调递增. ,

时,f′(x)<0,函数 f(x)在 时,f′(x)>0,函数 f(x)在 的充要条件是

∴存在 x0≥1,使得 f(x0)< 而 = +

,不符合题意,应舍去. ,成立. .

③若 a>1 时,f(1)= 综上可得:a 的取值范围是

19.已知椭圆 C:9x2+y2=m2(m>0) ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. (1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (2)若 l 过点( ,m) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行 四边形?若能,求此时 l 的斜率;若不能,说明理由. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;直线的斜率. 【分析】 (1)联立直线方程和椭圆方程,求出对应的直线斜率即可得到结论. (2) 四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分, 即 xP=2xM, 建立方程关系即可得到结论. 【解答】解: (1)设直线 l:y=kx+b, (k≠0,b≠0) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M (xM,yM) , 将 y=kx+b 代入 9x2+y2=m2(m>0) ,得(k2+9)x2+2kbx+b2﹣m2=0, 则判别式△=4k2b2﹣4(k2+9) (b2﹣m2)>0, 则 x1+x2= ,则 xM= = = , ,yM=kxM+b= ,

于是直线 OM 的斜率 kOM= 即 kOM?k=﹣9,

∴直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值.
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(2)四边形 OAPB 能为平行四边形. ∵直线 l 过点( ,m) , ∴由判别式△=4k2b2﹣4(k2+9) (b2﹣m2)>0, 即 k2m2>9b2﹣9m2, ∵b=m﹣ m, ∴k2m2>9(m﹣ m)2﹣9m2, 即 k2>k2﹣6k, 即 6k>0, 则 k>0, ∴l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k>0,k≠3, 由(1)知 OM 的方程为 y= 设 P 的横坐标为 xP, 由 得 ,即 xP= , x,

将点( ,m)的坐标代入 l 的方程得 b= 即 l 的方程为 y=kx+ 将 y= 得 kx+ 解得 xM= x,代入 y=kx+ = x , , ,



四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分,即 xP=2xM, 于是 解得 k1=4﹣ =2× 或 k2=4+ , ,

∵ki>0,ki≠3,i=1,2, ∴当 l 的斜率为 4﹣ 或 4+ 时,四边形 OAPB 能为平行四边形.

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20.设 A 是由 m×n 个实数组成的 m 行 n 列的数表,满足:每个数的绝对值不大 于 1,且所有数的和为零,记 s(m,n)为所有这样的数表构成的集合.对于 A∈ S(m,n) ,记 ri(A)为 A 的第ⅰ行各数之和(1≤ⅰ≤m) ,Cj(A)为 A 的第 j 列 各数之和(1≤j≤n) ;记 K(A)为|r1(A)|,|R2(A)|,…,|Rm(A)|,|C1 (A)|,|C2(A)|,…,|Cn(A)|中的最小值. (1)如表 A,求 K(A)的值; 1 0.1 (2)设数表 A∈S(2,3)形如 1 a 求 K(A)的最大值; (3)给定正整数 t,对于所有的 A∈S(2,2t+1) ,求 K(A)的最大值. 【考点】进行简单的演绎推理;进行简单的合情推理. 【分析】 (1)根据 ri(A) ,Cj(A) ,定义求出 r1(A) ,r2(A) ,c1(A) ,c2(A) , c3(A) ,再根据 K(A)为|r1(A)|,|R2(A)|,|R3(A)|,|C1(A)|,|C2(A) |,|C3(A)|中的最小值,即可求出所求. (2)先用反证法证明 k(A)≤1,然后证明 k(A)=1 存在即可; (3)首先构造满足 是最大值即可. 【解答】解: (1)由题意可知 r1(A)=1.2,r2(A)=﹣1.2,c1(A)=1.1,c2(A) =0.7,c3(A)=﹣1.8 ∴K(A)=0.7 (2)先用反证法证明 k(A)≤1: 若 k(A)>1 则|c1(A)|=|a+1|=a+1>1,∴a>0 同理可知 b>0,∴a+b>0 由题目所有数和为 0 即 a+b+c=﹣1
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1 ﹣0.3

﹣0.8 ﹣1

1 b

c ﹣1

的 A={ai,j}(i=1,2,j=1,2,…,2t+1) ,然后证明

∴c=﹣1﹣a﹣b<﹣1 与题目条件矛盾 ∴k(A)≤1. 易知当 a=b=0 时,k(A)=1 存在 ∴k(A)的最大值为 1 (3)k(A)的最大值为 首先构造满足 . 的 A={ai , j} ( i=1 , 2 , j=1 , 2 , … , 2t+1 ) : , . 经计算知,A 中每个元素的绝对值都小于 1,所有元素之和为 0,且 , , . 下面证明 是最大值.若不然,则存在一个数表 A ∈ S ( 2 , 2t+1 ) ,使得 . 由 k(A)的定义知 A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于 x,而两个绝对值不 超过 1 的数的和, 其绝对值不超过 2,故 A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间 [x,2]中.由于 x>1,故 A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同,且绝对值 均不小于 x﹣1. 设 A 中有 g 列的列和为正,有 h 列的列和为负,由对称性不妨设 g<h,则 g≤t,h ≥t+1.另外,由对称性不妨设 A 的第一行行和为正,第二行行和为负. 考虑 A 的第一行, 由前面结论知 A 的第一行有不超过 t 个正数和不少于 t+1 个负数, 每个正数的绝对值不超过 1(即每个正数均不超过 1) ,每个负数的绝对值不小于 x ﹣1(即每个负数均不超过 1﹣x) .因此|r1(A)|=r1(A)≤t?1+ (t+1) (1﹣x)=2t+1 ﹣(t+1)x=x+(2t+1﹣(t+2)x)<x, 故 A 的第一行行和的绝对值小于 x,与假设矛盾.因此 k(A)的最大值为 .

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2017 年 4 月 18 日

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