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高中数学必修4(北师版)第一章1.3 弧度制(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案

高中数学必修4(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 三角函数 1.3 弧度制

一、知识清单
弧度制

二、知识讲解
1.弧度制 描述: 角度制与弧度制 用度作为单位来度量角的制度叫做角度制 (degree measure).用弧度作为单位来度量角的制 度叫做弧度制 (radian measure).把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角, 用符号 rad 来表示,读作弧度.今后我们在用弧度制表示角的时候,弧度二字或者 rad 可以略 去不写,而只写这个角对应的弧度数.例如 ∠α = 2 表示 α 是 2rad 的角,sin

π rad 的角的正弦.一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度 3 数是 0 .如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧的长为 l ,那么角 α 的弧度数的绝对值是 l .这里, α 的正负由角 α 的终边的旋转方向决定. |α| = r
角度与弧度的换算

π 表示 3

360 ? = 2πrad, 180 ? = πrad π rad ≈ 0.01745rad 1? = 180 180 ? 1rad = ( ) ≈ 57.30? = 57? 18 ′ π

扇形的弧长公式 l = |α| ? r (其中 α 指扇形的圆心角的弧度数, r 指扇形的半径) 扇形的面积公式

S=
长)

1 1 lr = |α|r2 2 2

(其中 α 指扇形的圆心角的弧度数, r 指扇形的半径, l 指扇形的弧

例题: 下列叙述中,错误的是______. ① “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位; ②无论是用角度制还是用弧度制度量角,它们都与圆的半径长度有关; ③1 度的角是圆周角的 ④1 弧度是长度为半径长的弧所对的圆心角. 解:②. 将下列角度与弧度进行互化.

1 1 ,1 弧度的角是圆周角的 ; 360 2π

15? ;?135 ? ;?

2 π ;1 3 π π

3 π π ; = 180 12 π 3 ?135 ? = ?135 × = ? π; 180 4 2 2π 180 ? ? π=? ×( ) = ?120 ? ; 3 3 π 180 ? 1 = 1×( ) ≈ 57.3 ? . π
解:15? = 15 × (1)一个扇形的周长为 20cm,当扇形的圆心角等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?并求出 这个扇形面积的最大值. (2)一个扇形的面积为 25cm 2 ,当扇形的圆心角等于多少弧度时,这个扇形的周长最小?并求 出这个扇形周长的最小值. 解:(1)设扇形的半径为 r ,则弧长为 l = (20 ? 2r).由 0 < l < 2πr ,得

10 < r < 10.于是扇形的面积为 π+1 1 10 S = (20 ? 2r)r = ?(r ? 5)2 + 25( < r < 10).当 r = 5 时,l = 10 ,α = 2,S 取得 2 π+1 最大值,此时最大值为 25cm2 .故当扇形的圆心角 α 等于 2 弧度时,这个扇形的面积最大, 最大面积是 25cm2 . 1 (2)设扇形的半径是 r ,弧长是 l ,扇形的周长为 y ,则 y = l + 2r.由题意得 lr = 25,则 2 50 50 ,所以 y = l= + 2r.利用函数单调性的定义可证明:当 0 < r ≤ 5 时,函数 r r 50 50 y= + 2r 是减函数;当 r > 5 时,函数 y = + 2r 是增函数.所以,当 r = 5 时,y r r l 取得最小值 20,此时 l = 10 ,α = = 2 ,即当扇形圆心角为 2 弧度时,扇形周长取最小值为 r 20. 0 < 20 ? 2r < 2πr,所以

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