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江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学2017届高三4月联考理数试题


江西省八所重点中学 2017 届高三联考 数学(理科)试卷
考试用时:120 分 注意事项: 1.答题时,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码贴在答 题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。写在试题 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答: 用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.选做题的作答:先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题 卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5.考试结束后,请将答题卡上交; 全卷满分:150 分 2017.4

第Ι 卷(选择题部分,共 60 分)
一、选择题:本题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1. 已知 i 为虚数单位, m ? R ,复数 z ? ? m ? 2m ? 8 ? m ? 8m i ,若 z 为负实数,则 m 的
2 2

?

? ?

?

取值集合为( A. ?0?

) B. ?8? C. ? ?2, 4 ? D. ? ?4, 2 ?

2.已知集合 A ? ? x y ? lg

? ?

2? x? 2 ? ,集合 B ? y y ? 1 ? x ,则集合 ? x x ? A ? B且x ? A ? B? 为 x ? 2?

?

?

( A. C.

? ?2,1? ? ? 2, ?? ? ? ??, ?2 ? ? ?1, 2 ?
6



B. D.

? ?2,1? ? ? 2, ?? ? ? ??, ?2? ? ?1, 2 ?
a ?( b


3. 在 ? x ? 2 ? 展开式中, 二项式系数的最大值为 a ,含 x 5 项的系数为 b ,则 A.

5 3

B. ?

5 3

C.

3 5

D. ?

3 5

4 .已知抛物线 C 的顶点为坐标原点,对称轴为坐标轴,直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与抛物线的 对称轴垂直, l 与 C 交于 A, B 两点,且 AB ? 8 , M 为抛物线 C 准线上一点,则 ?ABM 的面积

为( A. 16

) B. 18 C. 24 D. 32

5.给出下列四个命题:

①“若 x0 为 y =f ? x ? 的极值点,则 f ? ? x0 ? ? 0 ”的逆命题为真命题; ②“平面向量 a , b 的夹角是钝角”的充分不必要条件是 a ? b ? 0 ③若命题 p :

1 1 ? 0 ,则 ?p : ? 0; x ?1 x ?1
) C. 3 D. 4

④命题“ ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R 均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”. 其中不正确 的个数是( ... A. 1 B. 2

6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女子善织,日益 功,疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈(1 匹=40 尺,一丈=10 尺),问日益几何?”其意思为: “有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快,从第二天起,每天比前 一天多织相同量的布,第一天织 5 尺,一月织了九匹三丈,问每天增加多少尺布?”若一个月按 31 天算, 记该女子一个月中的第 n 天所织布的尺数为 a n , 则

a1 ? a3 ? ??? ? a29 ? a31 的值为 ( a2 ? a4 ? ??? ? a28 ? a30



A.

16 5

B.

16 15

C.

16 29

D.

16 31


7. 若执行如右图所示的程序框图,输出 S 的值为 4,则判断框中应填入的条件是(

A. k ? 18

B. k ? 17
2

C. k ? 16

D. k ? 15
2 2

2018 ? 2018 ? 2017 ? 2017 ? 2016 ? 2016 ? 8. 已知 a ? 2 ln 则 ( ?? ?? ?? ? , b ? 2 ln ? , c ? 2 ln ? , 2017 ? 2017 ? 2016 ? 2016 ? 2015 ? 2015 ?
A. a ? b ? c C. c ? a ? b B. a ? c ? b D. c ? b ? a



9. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积 为( A. )

136?

B.

144?

C.

36?

D. 34?

10. 若一个四位数的各位数字相加和为 10 ,则称该数为“完美四位数” ,如数字“ 2017 ”.试问 用数字 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7 组成的无重复数字且大于 2017 的“完美四位数”有( A. 53 B. 59
2 2

)个

C. 66
2 2

D. 71

11. 已知双曲线 C1 :

x y x y ? ? 1 与双曲线 C2 : 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率相同,且双曲线 6 2 a b C2 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , M 是双曲线 C2 一条渐近线上的某一点,且 OM ? MF2 ,

S ?OMF2 ? 8 3 ,则双曲线 C2 的实轴长为(
A.

) C.

8 3 12. 已知定义在 ? ??, 4? 上的函数 f ? x ? 与其导函数 f ? ? x ? 满足 ? x ? 1?? x ? 4 ? ? f ?( x) ? f ( x) ? ? 0 ,
4
B. D. 若f

4 3

8

? x ? y ? 1? ? e

1 x ?1 2

?1 ? f ? x ? y ? 2 ? ? 0 ,则点 ? x, y ? 所在区域的面积为( ?2 ?
C. 18 D. 9



A. 12

B. 6

第Ⅱ卷(非选择题部分,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22~ 23 题为选做题,考生根据要求作答。 二、填空题:本题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分 13.已知 a ? ? x,1? , b ? ?1, 2 ? , c ? ? ?1,5 ? ,若 (a ? 2b) // c ,则 a ? 14. 若正实数 m, n 满足 . .

15. 已 知 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 并 且 a2 ? 2, S5 ? 15 , 数 列 ?bn ? 满 足

2 ? 2 1 1 ? ? ? ? ?x? 4 ? x 2 ?dx ,则 log 2 ? m ? 2n ? 的最小值为 m n ?2 ? ? ?

bn ? 2 ?

? 2 S ? 2 ? bn ? ? n?2 ? ? , n ? N ? ? ,若 M 的子集个数为 16, n ? N ? ? ,记集合 M ? ?n | n n ? n?2 2 ? ?
.

则实数 ? 的取值范围为

16. 已 知 动 点 P 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 表 面 上 运 动 , 且 线 段

PA ? r 0 ? r ? 3 ,记点 P 的轨迹长度为 f (r ) .给出以下四个命题:
2 3 2 3 3 ② f ( 2) ? 3? ; ③ f( )? ? ? ; 3 3 2 ④函数 f ( r ) 在 (0,1) 上是增函数, f ( r ) 在 ( 2, 3) 上是减函数.
① f (1) ? 其中为真命题的是 (写出所有真命题的序号)

?

?

三、解答题:本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)已知 a, b, c 分别为锐角 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边,且

? a ? b ?? sin A ? sin B ? ? ? c ? b ? sin C
(Ⅰ)求 ?A 的大小; (Ⅱ)求 sin ?

C ?? ? ? B ? ? 2sin 2 的取值范围. 2 ?2 ?

18. (本小题满分 12 分)继共享单车之后,又一种新型的出行方式------“共享汽车”也开始亮 相北上广深等十余大中城市,一款叫“一度用车”的共享汽车在广州提供的车型是“奇瑞 eQ” ,每 次租车收费按行驶里程加用车时间,标准是“1 元/公里+0.1 元/分钟” ,李先生家离上班地点 10 公 里,每天租用共享汽车上下班,由于堵车因素,每次路上开车花费的时间是一个随机变量,根据 一段时间统计 40 次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下: 时间(分钟) 次数

?15, 25?
8

? 25,35?
14

?35, 45?
8

? 45,55?
8

?55,65?
2

以各时间段发生的频率视为概率,假设每次路上开车花费的时间视为用车时间,范围为 ?15,65? 分 钟. (Ⅰ)若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过 45 分钟,便是所有可选择的交通工 具中的一次最优选择,设 ? 是 4 次使用共享汽车中最优选择的次数,求 ? 的分布列和期望. (Ⅱ)若李先生每天上下班使用共享汽车 2 次,一个月(以 20 天计算)平均用车费用大约是多少 (同一时段,用该区间的中点值作代表).

19. (本小题满分 12 分)如图,多面体 EF ? ABCD 中,四边形 ABCD 是菱形, AB ? 4 ,

?BAD ? 60? , AC , BD 相交于 O , EF ∥ AC ,点 E 在平面 ABCD 上的射影恰好是线段 AO 的中
点. (Ⅰ)求证: BD ? 平面ACF ;

(Ⅱ)若直线 AE 与平面 ABCD 所成的角为 45? ,求平面 DEF 与平面 ABCD 所成角(锐角)的 余弦值.

20. (本小题满分 12 分)如图所示,在 ?ABC 中, AB 的中点为 O ,且 OA ? 1 ,点 D 在 AB 的延 长线上,且 BD ?

1 AB .固定边 AB ,在平面内移动顶点 C ,使得圆 M 与边 BC ,边 AC 的延长 2

线相切, 并始终与 AB 的延长线相切于点 D , 记顶点 C 的轨迹为曲线 ? .以 AB 所在直线为 x 轴,

O 为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系.
(Ⅰ)求曲线 ? 的方程; (Ⅱ)设动直线 l 交曲线 ? 于 E、F 两点,且以 EF 为直径的圆经过点 O ,求 ?OEF 面积的取值 范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln( x ? 1), g ? x ? ?

(Ⅰ)当 x ? 0 时, f ( x) ? h ? x ? 恒成立,求 a 的取值范围;

1 3 x ? ax , h ? x ? ? e x ? 1 . 3

(Ⅱ)当 x ? 0 时,研究函数 F ? x ? ? h ? x ? ? g ? x ? 的零点个数; (Ⅲ)求证:

1095 10 3000 (参考数据: ln1.1 ? 0.0953 ). ? e? 1000 2699

请考生在第(22) 、 (23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C 的参数方程为 ? 程为 ?

? x ? 1 ? 2 cos ? ?? 为参数 ? ,直线 l 的参数方 ? y ? 2sin ?

? x ? 5 ? 2t ? t为参数 ? ,定点 P ?1,1? . ? y ? 3?t

(Ⅰ)以原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴,单位长度与平面直角坐标系下的单位长度相同 建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)已知直线 l 与圆 C 相交于 A, B 两点,求 PA ? PB 的值.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 x ? 1 ? x ? 3 ? m 的解集不是空集,记 m 的最小值为 t . (Ⅰ)求 t 的值; (Ⅱ)若不等式 x ? 1 ? x ? 3 > x ? a 的解集包含 ?? 1,0? ,求实数 a 的取值范围.

江西省高三 2017 届八校联考数学(理)试卷答案 一、选择题: 题号 答案 1 B 2 D 3 B 4 A 5 C 6 B 7 C 8 A 9 D 10 D 11 D 12 A

二、填空题:本题共 4 题,每小题 5 分 13. 10 ; 14. 2 ; 15.

15 ? ? ? 1; 16

16. ①④;

三、解答题

17. 解: (Ⅰ)因为 ? a ? b ?? sin A ? sin B ? ? ? c ? b ? sin C , 由正弦定理有 ? a ? b ?? a ? b ? ? ? c ? b ? c 由余弦定理得 cos A ? (Ⅱ)由题,
2 2 2

即有 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc

????3 分 ????6 分

b ?c ?a bc 1 ? ? ? ,又 A 为锐角,∴ A= 2bc 2bc 2 3

C ?? ? ? 2? ? sin ? ? B ? ? 2sin 2 ? cos B ? cos C ? 1 ? cos B ? cos ? ? B ? ?1 2 ?2 ? ? 3 ? ?? ? ? sin ? ? B ? ? 1 ???8 分 ?6 ? ? ? ? ? 0?B? 0?B? ? ? ? ? ? 2 2 ?? ? ? B ? , ????10 分 又在锐角 ?ABC 中,有 ? ? 6 2 ?0 ? C ? ? ?0 ? 2? ? B ? ? ? ? 3 2 ? 2 ?

3 2? ?? ? ,所以 ? sin ? ? B ? ? 1 , 3 6 3 2 ?6 ? ? 3 ? C ?? ? ∴ sin ? ? B ? ? 2sin 2 的取值范围是. ? ? 1 , 0 ?. ? 2 2 ?2 ? ? ?
所以

?

? B?

?

?

?????12 分

18. 解: (Ⅰ)李先生一次租用共享汽车,为最优选择的概率 p ?

30 3 ? 40 4

依题意 ? ~ B (4, ), ? 的值可能为 0,1,2,3,4???????2 分

3 4

3 0 1 4 1 P(? ? 0) ? ( 0 4( ) ( ) ? 4 4 256 3 1 3 12 P(? ? 1) ? (1 4 ( )( ) ? 4 4 256

3 2 1 2 54 P(? ? 2) ? ( 2 4( ) ( ) ? 4 4 256 3 1 108 3 1 P(? ? 3) ? ( 3 4( ) ( ) ? 4 4 256 3 4 1 0 81 P(? ? 4) ? ( 4 4( ) ( ) ? 4 4 256
分布列

?
P ???? ???6 分

0

1

2

3

4

1 256

12 256

54 256

108 256

81 256

12 54 108 81 3 或 E? ? 4 ? ? 3 ???? ???8 分 ? 2? ? 3? ? 4? ?3 256 256 256 256 4 8 14 8 8 2 (Ⅱ)每次用车路上平均花的时间 t ? 20 ? ? 30 ? ? 40 ? ? 50 ? ? 60 ? ? 35.5 40 40 40 40 40 E? ? 1 ?
(分钟) ???????????10 分 每次租车的费用约为 10+35.5×0.1=13.55 元. 一个月的平均用车费用约为 542 元. ???????????12 分

19.解: (Ⅰ)取 AO 的中点 H,连结 EH,则 EH⊥平面 ABCD ∵BD 在平面 ABCD 内,∴EH⊥BD ┄┄┄┄┄2 分

又菱形 ABCD 中,AC⊥BD 且 EH∩AC=H,EH、AC 在平面 EACF 内 ∴BD⊥平面 EACF,即 BD⊥平面 ACF ┄┄┄┄┄5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 EH⊥平面 ABCD,以 H 为原点,如图所示 建立空间直角坐标系 H-xyz ┄┄┄┄┄┄┄6 分

∵EH⊥平面 ABCD,∴∠EAH 为 AE 与平面 ABCD 所成的角, 即∠EAH=45°,又菱形 ABCD 的边长为 4, 则 AO ? 2 3, AH ? 3, EH ? 3 各点坐标分别为 H (0, 0, 0), A( 3, 0, 0), D( ? 3, ?2, 0), O( ? 3, 0, 0) ,E(0,0, 3 ) ???7 分 易知 HE 为平面 ABCD 的一个法向量,记 n = HE ? (0, 0, 3) , AO = ?2 3, 0, 0

????

????

DE =

?

3, 2, 3

?

?

?

,

∵EF//AC, ∴ EF ? ? AO ? ?2 3? , 0, 0

????

?

?

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分

设平面 DEF 的一个法向量为 m ? ? x, y, z ?, 则m ? DE , m ? EF 即 m ? DE = 3 x ? 2 y ? 3 z ? 0 令y? , m ? EF ? ?2 3? x ? 0

?? ??? ?

(注意:此处 EF 可以用 AO 替代) ┄┄┄┄????9 分

??? ?

????

3 , 则x ? 0, z ? ?2 ,则,∴ m ? 0, 3 ,?2 ? ?? ? ?? n?m ?2 3 2 7 ?? ∴ cos n, m ? ? ?? ? 7 3? 7 n?m
平面 DEF 与平面 ABCD 所成角(锐角)的余弦值为

?

?

2 7 . 7

┄┄┄┄┄┄┄12 分

20. 解: (Ⅰ)依题意得 AB ? 2, BD ? 1 ,设动圆 M 与边 AC 的延长线相切于 T1 ,与边 BC 相切 于 T2 , 则 AD ? AT1 , BD ? BT2 , CT1 ? CT2 所以 AD ? BD ? AT1 ? BT2 ? AC ? CT1 ? BT2

? AC ? CT1 ? CT2 ? AC ? BC ? AB ? 2 BD ? 4 ? AB ? 2
???????2 分 所以点 C 轨迹 ? 是以 A, B 为焦点,长轴长为 4 的椭 圆,且挖去长轴的两个顶点.则曲线 ? 的方程 为

x2 y 2 ? ? 1? y ? 0 ? . 4 3

???????4 分

(Ⅱ) 【法一】 由 于 曲 线 ? 要 挖 去 长 轴 两 个 顶 点 , 所 以 直 线 OE , OF 斜 率 存 在 且 不 为 0 , 所 以 可 设 直 线

1 ???????5 分 x, E ? x1 , y1 ? , F ? x2 , y2 ? k y ? kx ? 12k 2 12 2 2 由? 2 得 , ,同理 y ? x ? 1 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ?3 x ? 4 y ? 12 OE : y ? kx, OF : y ? ?

12k 2 12 2 , y2 ; ? 2 2 3k ? 4 3k ? 4 12(1 ? k 2 ) 12(1 ? k 2 ) 2 2 OF ? 所以 OE ? , 3 ? 4k 2 3k 2 ? 4 2 1 1? k 2 2 2 2 又 OE ? OF ,所以 S ?OEF ? OE OF ? 36 ? 4 3k 2 ? 4 4k 2 ? 3
可得: x 2 ?
2

令 t ? k ? 1, 则 t ? 1且 k ? t ?1, 所以 S ?OEF
2 2

2

?? ? ???????8 分 ?1 ? k ? t ? 36 ? ? 36 ? ? 3t ? 1?? 4t ? 1? ? 3k ? 4 ?? 4k ? 3?
2 2 2 2 2

?

?

?

? ?36 ?

1 1 ? ?36 ? 2 ? 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 49 ? 3 ? 4 ? ? ?? ? ? ? ? ?t ?? t ? 4 ?t 2?

???????10 分

1 1 4 1 49 ? 1 1 ? 49 ?? , ? 1 ,所以 ? ?? ? ? ? ? ?12 ,所以 ? ? 2 t 12 ? 1 1 ? 49 49 4 ?t 2? 4 ? ? ? ? 4 ?t 2? 144 1 12 所以 ? ?36 ? ? 3 ,所以 ? S ?OEF ? 3 , 2 7 49 ? 1 1 ? 49 ? ? ? ? 4 ?t 2? ?12 ? 所以 ?OEF 面积的取值范围为 ? , 3 ? . ???????12 分 ?7 ?
又0 ? 【法二】

2

x ? my ? n , 依题意得直线 l 斜率不为 0, 且直线 EF 不过椭圆的顶点, 则可设直线 l : 且m ? ?
设 E ? x1 , y1 ? , F ? x2 , y2 ? ,又以 EF 为直径的圆经过点 O ,则 OE ? OF ,所以

2 。 3

x1 x2 ? y2 y1 ? 0
由?



???????5 分

? x ? my ? n 得 ? 3m 2 ? 4 ? y 2 ? 6mny ? 3n 2 ? 12 ? 0 ,则 2 2 3 x ? 4 y ? 12 ?

6mn 3n 2 ? 12 , y y ? 1 2 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4 且 ? ? 36m 2 n 2 ? 4 ? 3m 2 ? 4 ?? 3n 2 ? 12 ? ? ?48 ? n 2 ? 3m 2 ? 4 ? ? 0 ,所以 n 2 ? 3m 2 ? 4 ? 0 y1 ? y2 ? ? 3m 2 n 2 ? 12m 2 6m 2 n 2 ? 2 ? n2 2 3m ? 4 3m ? 4 2 12 ? m ? 1? 4n 2 ? 12m 2 2 2 2 ? 代入①得: ,所以 , n ? 7 n ? 12 m ? 12 ? 0 3m 2 ? 4 7 4 代入②得: ?9m 2 ? 16 ? 0 恒成立所以 m 2 ? 0 且 m 2 ? . 3
又 x1 x2 ? ? my1 ? n ?? my2 ? n ? ? m y1 y2 ? mn ? y1 ? y2 ? ? n ?
2 2





EF ? 1 ? m y1 ? y2 ? 1 ? m ?
2 2

?48 ? n 2 ? 3m 2 ? 4 ? 3m 2 ? 4

? 4 3 ? 1? m ?
2

? ? n 2 ? 3m 2 ? 4 ? 3m 2 ? 4



点 O 到直线 l 的距离为 d ?

n 1 ? m2



???????7 分

所以 S ?OEF

? 2 3?

?n 2 ? n 2 ? 3m 2 ? 4 ?

? ? n 2 ? 3m 2 ? 4 ? n 1 1 2 ? ? EF ? d ? ? 4 3 ? 1 ? m ? ? 2 2 2 3m ? 4 1 ? m2
3m 2 ? 4
2

12 ? ? 7

?m

2

? 3m

? 1?? 9m 2 ? 16 ? ? 4?
2

12 m2 ? ? 1? 7 9m 4 ? 24m 2 ? 16

??9 分

(Ⅰ)当 m 2 ? 0 时, S ?OEF ? (Ⅱ) 当 m2 ? 0 且 m2 ?

12 ; 7

12 m2 12 1 4 时,S ?OEF ? , ? 1? ? ? 1? 4 2 16 7 9m ? 24m ? 16 7 3 2 9m ? 2 ? 24 m 16 4 16 又 9m 2 ? 2 ? 24 , 当 且 仅 当 m 2 ? 时 取 “ ? ”, 所 以 9m 2 ? 2 ? 24 , 所 以 m 3 m 1 1 1 49 , 所 以 , 所 以 0? ? 1 ? 1? ? 16 16 48 48 2 2 9m ? 2 ? 24 9m ? 2 ? 24 m m 1 7 12 1 ? 1? ? ,所以 综合(1) , ( 2) ? S ?OEF ? 3 ; ??11 分 16 7 2 4 3 9m ? 2 ? 24 m 12 知 ? S ?OEF ? 3 . ???????12 分 7
21. 解: (Ⅰ)令 H ? x ? ? h ? x ? ? f ? x ? ? e ? 1 ? a ln( x ? 1) ? x ? 0 ? 则 H ? ? x ? ? e x ?
x

a ? x ? 0? x ?1

①若 a ? 1 ,则

a ? 1 ? e x , H ?( x) ? 0 , H ( x) 在 ? 0, ?? ? 递增, H ( x) ? H (0) ? 0 ,即 f ( x) ? h ? x ? x ?1

在 ? 0, ?? ? 恒成立,满足,所以 a ? 1 ; ②若 a ? 1 , H ?( x) ? e x ?

???????2 分

a 在 ? 0, ?? ? 递增, H ?( x) ? H ?(0) ? 1 ? a 且 1 ? a ? 0 x ?1

? ?) 使 H ?( x0 ) ? 0 进而 H ( x) 在 ? 0, ? ?) x0 ? 递减,在 ( x0 , 且 x ? ?? 时, H ?( x) ? ?? ,则 ?x0 ? (0,
递增,

x0 ? 时 H ( x) ? H (0) ? 0 ,即当 x ? ? 0, x0 ? 时, f ( x) ? h ? x ? ,不满足题意,舍去; 所以当 x ? ? 0,
综合①,②知 a 的取值范围为 ? ??,1? . ???????4 分 (Ⅱ)依题意得 F ? x ? ? h ? x ? ? g ? x ? ? e x ? 1 ?

1 3 x ? ax ? x ? 0 ? ,则 F ?( x) ? e x ? x 2 ? a , 3

则 F ??( x) ? e x ? 2 x ? 0 在 ? ??,0 ? 上恒成立,故 F ?( x) ? e x ? x 2 ? a 在 (??, 0) 递增, 所以 F ?( x) ? F ?(0) ? 1 ? a ,且 x ? ?? 时, F ?( x) ? ?? ; ①若 1 ? a ≤ 0 , 即 a ≤ ?1 , 则 F ?( x) ? F ?(0) ? 1 ? a ≤ 0 , 故 F ( x) 在 (??, 所以 F ( x) ? F (0) ? 0 , 0) 递减,
F ( x) 在 (??, 0) 无零点;

???????6 分

②若 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 ,则 ?x0? ? (?? , 0) 使 F ?( x0? ) ? 0 ,进而 F ( x) 在 (?? , x0? ) 递减,在 ( x0?, 0) 递 1 增, F ( x0? ) ? F (0) ? 0 且 x ? ?? 时, F ( x) ? (e x ? 1) ? x( x 2 ? 3a) ? ?? , F ( x) 在 (?? , x0? ) 上有一 3 个零点,在 [ x0? , 0) 无零点,故 F ( x) 在 (??, 0) 有一个零点. 综合①②,当 a ≤ ?1 时无零点;当 a ? 1 时有一个公共点. ???????8 分

(Ⅲ)由(Ⅰ)知,当 a ? 1 时, e x ? 1 ? ln( x ? 1) 对 x ? 0 恒成立,
1095 1 1095 ,则 e 10 ? 1 ? ln1.1 ? 1.0953 ? 即 10 e ? ; ???????10 分 1000 10 1000 1 由(Ⅱ)知,当 a ? ?1 时, e x ? x3 ? x ? 1 对 x ? 0 恒成立, 3 1 ? 1 1 1 2699 1 3000 令 x ? ? ,则 e 10 ? (? )3 ? ,所以 10 e ? ; ?1 ? 3 10 10 3000 10 2699 1095 10 3000 故有 . ???????12 分 ? e? 1000 2699
1

令x?

22. 解: (Ⅰ)依题意得圆 C 的一般方程为 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 ,将 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 代入上式
2

得 ? ? 2 ? cos ? ? 3 ? 0 ,所以圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 ? cos ? ? 3 ? 0 ;???????4 分
2 2

(Ⅱ) 依题意得点 P ?1,1? 在直线 l 上, 所以直线 l 的参数方程又可以表示为 ? 代入圆 C 的一般方程为 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 得 5t 2 ? 2t ? 3 ? 0 ,
2

? x ? 1 ? 2t ? t为参数 ? , ? y ? 1? t

2 3 ? 0, t1t2 ? ? ? 0 , 5 5 所以 t1 , t2 异号,不妨设 t1 ? 0, t2 ? 0 ,所以 PA ? 5t1 , PB ? ? 5t2 ,
设点 A, B 分别对应的参数为 t1 , t2 ,则 t1 ? t2 ? 所以 PA ? PB ? 5 ? t1 ? t2 ? ?

2 5 . 5

???????10 分

23. 解: (Ⅰ)因为 x ? 1 ? x ? 3 ? ? x ? 1? ? ? x ? 3? ? 4 ,当且仅当 ?3 ? x ? 1 时取等号, 故 m ? 4 ,即 t ? 4 . (Ⅱ) x ? ?? 1,0?. 则 x ? 1 < 0. x ? 3 >0. ???????5 分

由已知得 1- x ? x ? 3 > x ? a 在 x ? ?? 1,0?上恒成立

? x ? 4 < a < x ? 4 在 x ? ?? 1,0?上恒成立
? -4< a <3. ? 实数 a 的取值范围是(-4,3)???????10 分


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