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高考数学第一轮总复习试卷


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高考数学第一轮总复习试卷(十九) 高考数学第一轮总复习试卷(十九) 立体几何综合训练
第 I 卷(选择题 共 60 分) 选择题( 个小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 只有一项是符合题目要求的) 1.下列命题正确的是( ) A.直线 a,b 与直线 l 所成角相等,则 a//b B.直线 a,b 与平面α成相等角,则 a//b C.平面α,β与平面γ所成角均为直二面角,则α//β D.直线 a,b 在平面α外,且 a⊥α,a⊥b,则 b//α 2.空间四边形 ABCD,M,N 分别是 AB、CD 的中点,且 AC=4,BD=6,则( ) A.1<MN<5 B.2<MN<10 C.1≤MN≤5 D.2<MN<5 3.已知 AO 为平面α的一条斜线,O 为斜足,OB 为 OA 在α内的射影,直线 OC 在平 面α内,且∠AOB=∠BOC=45°,则∠AOC 等于( ) A.30° B.45° C.60° D.不确定 4.甲烷分子结构是:中心一个碳原子,外围四个氢原子构成四面体,中心碳原子与四 个氢原子等距离,且连成四线段,两两所成角为θ,则 cosθ值为( )

1 1 1 1 B. C. D. ? 3 3 2 2 5.对已知直线 a,有直线 b 同时满足下面三个条件:①与 a 异面;②与 a 成定角;③与 a 距离为定值 d,则这样的直线 b 有( ) A.1 条 B.2 条 C.4 条 D.无数条 6.α,β是不重合两平面,l,m 是两条不重合直线,α//β的一个充分不必要条件是 ( ) A. l ? α,m ? α ,且 l//β,m//β B. l ? α,m ? β ,且 l//m
A. ? C.l⊥α,m⊥β,且 l//m D.l//α,m//β,且 l//m 7.如图正方体 ABCD ? A 1 B1 C1 D1 中,E,F 分别为 AB,CC1 的中点,则异面直线 A 1 C 与 EF 所成角的余弦值为( A. ) C.

3 3

B.

2 3

1 3

D.

1 6

8.对于任一个长方体,都一定存在一点:①这点到长方体的各顶点距离相等;②这点 到长方体的各条棱距离相等;③这点到长方体的各面距离相等,以上三个结论中正确的是 ( ) A.①② B.① C.② D.①③
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9.在斜棱柱的侧面中,矩形最多有几个? A.2 B.3 C.4

D.6 )

10.正六棱柱的底面边长为 2,最长的一条对角线长为 2 5 ,则它的侧面积为( A.24 B.12 C. 24 2 D. 12 2

11.异面直线 a,b 成 80°角,P 为 a,b 外的一个定点,若过 P 有且仅有 2 条直线与 a, b 所成的角相等且等于α,则角α属于集合( ) A.{α|0°<α<40°} B.{α|40°<α<50°} C.{α|40°<α<90°} D.{α|50°<α<90°} 12.从水平放置的球体容器的顶部的一个孔向球内以相同的速度注水,容器中水面的高 度与注水时间 t 之间的关系用图象表示应为( )

第 II 卷(非选择题 共 90 分) 填空题( 个小题, 把答案填在题中横线上) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上) 13.正四棱锥 S-ABCD 侧棱长与底面边长相等,E 为 SC 中点,BE 与 SA 所成角的余弦 值为_____________。 14.α、β为两个不同平面,m,n 是平面α,β外的两条不同直线,给出下面四个结 论:①m//n;②m//β;③α⊥β;④n⊥α,以其中三个为条件,另一个为结论,写出你认 为正确的一个命题。 (按 ①②③ ? ④ 形式写)_____________。 15.已知 A,B,C,D 为同一球面上的四点,且连接每两点的线段长都等于 2,则球心 到平面 BCD 的距离等于_____________。 16.斜三棱柱 ABC ? A 1 B1 C1 中,侧面 BB1C1C 的面积为 S, AA 1 到面 BCC1 B1 的距离 是 a,则该三棱柱的体积是_____________。 个小题, 解答应写出必要文字说明、 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出必要文字说明、证明过程或演 解答题( 算步骤) 算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知平面α∩平面β=a,平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ。b//a,b//β。 求证:①a⊥γ;②b⊥γ。

18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PDC 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直,底面是 以∠ADC 为锐角的菱形。 (1)试问:当∠ADC 为多大时,有 PA⊥CD;
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(2)当 PA⊥CD 时,求面 PAB 与面 PCD 所成角的大小。

19. (本小题满分 12 分) 三棱柱 ABC ? A 1 B1 C1 中,AB=AC=a,∠BAC=90°,顶点 A 1 在底面 ABC 上的射影为 BC 边的中点 M。 (1)求证:BC 垂直于 A 1 ,A,M 三点确定的平面; (2) 如果三棱锥 C ? A 1 B1 C1 的体积为 二面角的大小。

3 3 a ,求棱锥侧面 ABB1 A 1 与底面 ABC 所成锐 12

20. (本小题满分 12 分) 已知△ABC 和△DBC 中,AB=BC=BD=a,∠ABC=∠DBC=120°,沿两三角形的公共 边 BC 折成 60°的二面角。 求: (1)AD 和平面 DBC 所成的角; (2)二面角 A-BD-C 的正切值。

21. (本小题满分 12 分) 已知:如图,四边形 ABCD,EADM 和 MDCF 是个三边长为 a 的全等的正方形,点 P、 Q 分别是 ED 和 AC 的中点。 求: (1)PQ 与 AD 所成的角的大小; (2)平面 EBF 与平面 ABCD 所成锐二面角的正切值; (3)多面体 EFM-ABCD 的体积。

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22. (本小题满分 14 分) 如图,甲、乙是边长为 4a 的两块正方形钢板,现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱,将 乙裁剪焊接成一个正四棱锥,使它们的全面积都等于一个正方形的面积(不计焊接缝的面 积) 。

(1)将你的裁剪方法用虚线标示在图中,并作简要说明; (2)试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小,并证明你的结论。

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参考答案 一、选择题 1.D A,B,C 均可找出反例排除 2.A 取 AD 中点 P, ?PMN 中,PM=3,PN=2,由三角形三边大小关系即得 A。 3.C 由 cos ∠AOC = cos ∠AOB ? cos ∠BOC =

1 , ∠AOC = 60° 2

4.A 一个正四面体的各顶点与中心连线所成的角。 5.D 先考虑一特例, a ⊥ b ,在 a 垂直半径为 d 的圆面的边界上任一切线均可,有无 数条。b 不垂直,也可类似得到。 6.C l 与 m 不相交就不充分,B.不充分。C.也不充分。D.充分不必要 7.B 取 A1C1 中点 O1 ,连 O1 F ,则 ∠O1 FE 为所求,在 ?OEF 中计算。 8.B 只有(1)正确,此点为对角线的交点。 9.A 最多 2 个,若有 3 个,则底面有三条边与侧棱垂直,也即底面一定存在两相交 直线与侧棱垂直。 10.A 易计算,底面半径为 2,进而计侧棱长为 2 ∴ S 侧 = 6 × 2 × 2 = 24 11.B 将两异面直线平移到 O 点, a ' , b' 相交成 80°,100°两对角。过 P 作直线与 两直线成 40°角有一条。40°~50°之间有 2 条。50°有 3 条。50°~90°有 4 条。 12.A 体积等速增加,在球内高度变化,先快,再慢,又快。选 A 二、填空题 13.

3 3 6 6

14.①②③ ? ③或①③④ ? ②

15.

16.

s a 2

提示: 13.取 AC 中点 O,EO//SA, ∠OEB 为所求角,在 ?EOB 中求解 15.依题意知,这四点为一个正四面体的顶点,球为该四面体的外接球;所求距离为内 接球半径,两球同心,距离为四面体高的

1 。 4 1 Sa 。 3

16.将其分为三棱锥 A1 ? ABC 2 。四棱锥 A1 ? BCC1 B1 且 V A1 ? BCC1B = ∴V =

3 1 S × Sa = a 2 3 2

三、解答题 17. (1)如图,在 γ 内过一点 P 作 m 垂直于 β 与γ 的交线, 则m ⊥ β 。 过 P 作 n 垂直 α与γ 的交线,
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则n ⊥ α ∵ a ? α,a ? β , ∴m ⊥ a ,n ⊥ a ∴a ⊥ γ 。 (2)过 b 作平面 S 交平面 α 于 b' , 则 b // b' , 同理可在 β 作 b' ' // b ∴ b' // b' ' ∴ b' // 平面β 。

m∩n = P

α ? b' , α ∩ β = a
∴ b' // a ∴ b // a 。 ∴b ⊥ γ 。

18. (1)如图,过 P 作 PH⊥CD 于 H, ∵平面 PCD⊥平面 ABCD ∴PH⊥平面 ABCD。 ∴AH 是 PA 在平面 ABCD 上的射影, 又 PC=PD ∴H 为 CD 中点, 当 ∠ADC = 60° 时, ?ACD 为正三角形,AH⊥CD,又 PH⊥平面 ABCD ∴PA⊥CD (2)过 P 作直线 l // CD AP ⊥ CD ? AP ⊥ l 。PH⊥l。 ∴ ∠APH 为所求二面角的平面角 又 ?PHA 为等腰直角三角形, ∴ ∠APH = 45°

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19. (1)连结 A1M AM。 ∵M 是 A1 在平面 ABC 上的射影, ∴ A1 M ⊥ 平面 ABC, ∵BC 在平面 ABC 上, ∴ A1 M ⊥ BC 。 由 AB=AC,M 是 BC 中点,有 AM ⊥ BC 。 ∴BC⊥平面 A1 AM 。 (2)过 M 在平面 ABC 内作 MN ⊥ AB 于 N,连结 A1 N , 则 A1 N ⊥ AB 。 ∴ ∠A 1 NM 是侧面 ABB1 A1 与底面 ABC 所成的锐二面角的平面角。 由于三棱锥 C ? A1 B1C1 的高等于 A1 M 的长, 又三棱锥 C ? A1 B1C1 的体积为

3 3 1 a ,三角形 A1 B1C1 的面积为 a 2 , 12 2



1 1 2 3 3 ? a ? A1 M = a , 3 2 12 3 a。 2 1 a, 2
3,

∴ A1 M =

∵ ?ABC 为等腰直角三角形,M 为斜边中点, MN ⊥ AB , ∴ MN =

∴在 Rt?A1 MN 中, tan ∠A1 NM =

∴ ∠A1 MN = 60° 即侧面 ABB1 A1 与底面 ABC 所成的锐二面角为 60°。

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20. (1)过 A 点作 AO ⊥ BO 交 CB 的延长线于 O,连 DO,取 DO 中点 K,连 AK。 ∵ CO ⊥ OA , CO ⊥ DO ∴ ∠AOD 的二面角 A ? BC ? D 的平面角为 60°, ∵CO⊥面 ADO ∴面 AOD⊥面 DOC,在等边三角形 AOD 中, ∵ AK ⊥ DO , ∴ AK ⊥ 面 BOD。 ∴AD 与平面所成角为 ∠ADO = 60° (2)过 K 作 KE⊥BO 于 E, ∵AK⊥面 BDK ∴ ∠AEK 为 A-BD-C 的平面角的补角。 在 ?AKE 中 ,

KE =

3 3 3 a, AK = AO = a 8 2 4

故 tan ∠AEK = 2 3 。 ∴二面角 A-BD-C 正切值为 ? 2 3 。

21. (1)过 P 作 PH⊥AE 于 H,过 Q 作 QN⊥AB 于 N,连结 HN。 则 PH

// // 1 AD QN 。 2

∴四边形 PHNQ 是平行四边形。 ∴PQ//HN。 又∵ AD ⊥ AE , AD ⊥ AB ,且 AE ∩ AB = A 。 则 AD ⊥ 平面 EAB。
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而 HN ⊥ 平面 EAB。而 HN ? 平面 EAB, ∴AD ⊥ HN,即 AD ⊥ PQ。 ∴PQ 与 AD 所成的角为 90°。

(2)过 B 作 RS//AC 交 DA 的延长线于点 R,交 DC 的延长线于点 S。取 EF 的中点 O, 连结 OB、OQ、QB。 ∵正方形 ABCD,∴QB ⊥ AC。 又∵RS//AC,∴QB ⊥ RS。 ∵OQ ⊥ 平面 ABCD, 由三垂线定理可得 OB ⊥ RS。 ∴ ∠OBQ 为平面 EBF 与平面 ABCD 所成二面角的平面角在 Rt?OQB 中,

OQ = a , BQ =
∴ tan ∠OBQ =

2 a, 2

OQ = 2。 BQ

∴平面 EBF 与平面 ABCD 所成锐二面角的正切值为 2 。

(3)将图形补成一个正方体 MEGF ? ABCD

VEFM ? ABCD = V正方体 ? VC ? EBF

1 1 = a3 ? ? a2 ? a 3 2 5 = a3 6

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22. (1)将正方形甲按图中虚线剪开,以两个正方形为底面,四个长方形为侧面,焊接 成一个底面边长为 2a,高为 a 的正四棱柱。

将正方形乙按图中虚线剪开,以两个长方形焊接成边长为 2a 的正方形为底面,三个等 腰三角形为侧面,两个直角三角形合拼成为一侧面,焊接成一个底面边长为 2a,斜高为 3a 的正四棱锥。 (2)∵正四棱柱的底面边长为 2a,高为 a, ∴其体积 V锥 = ( 2a ) ? a = 4a 。
2 3

又∵正四棱锥的底面边长为 2a,高为 h = ∴其体积 V锥 =

(3a ) 2 ? a 2 = 2 2a ,

1 8 2 3 ( 2a ) 2 ? 2 2a = a 。 3 3

∵4 ?(
2

8 2 2 128 16 ) = 16 ? = > 0, 3 9 9

即4 >

8 2 8 2 3 ,4 a 3 > a , 3 3

∴ V柱 > V锥 故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大。 (说明:裁剪方式不惟一,计算的体积也不一定相等)

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