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2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(安徽卷)及答案_图文

年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 理科) 2010 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数 学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选挥题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 l 至第 2 页,第Ⅱ卷第 3 至第 4 页。全卷 满分 l50 分,考试时间 l20 分钟。 考生注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条 形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两 位. 2.答第Ⅰ时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号. 3.答第Ⅱ时,务必使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整,笔迹清晰。作图题可 先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔秒清楚。必须在题号所指示的 答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效. 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交. 参考公式: 如果事件 A 与 B 互斥,那么

P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )
如果 A 与 B 是两个任意事件, P ( A) ≠0 , 那么 P ( AB ) = P ( A) P ( B A) =P(A)P(B A ) 如果事件 A 与 B 相互独立, 那么 P ( AB ) = P ( A) P ( B )

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. (1)i 是虚数单位,

i = 3 + 3i
1 3 + i 4 12
(C)

(A)

1 3 ? i 4 12

(B)

1 3 1 3 + i (D) ? i 2 6 2 6

(2)若集合 A = ? x log 1 x≥ ? ,则 ?R A =

? ? ? ?

2

1? ? 2? ?

(A) ( ?∞, 0] ∪ ( (C) ( ?∞, 0] ∪ ?

2 , +∞) 2

(B) (

2 , +∞) 2

? 2 ? , +∞ ? ? ? 2 ?

(D) ?

? 2 ? , +∞ ? ? ? 2 ?

(3)设向量 a = (1, 0) , b = ( , ) ,则下列结论中正确的是 (A) a = b (B) a·b =

1 1 2 2

2 2

(C) a ? b 与 b 垂直

(D) a∥b

(4)若 f ( x ) 是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f (1) = 1 , f (2) = 2 ,则 f (3) ? f (4) = (A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2

(5)双曲线方程为 x 2 ? 2 y 2 = 1 ,则它的右焦点坐标为

(A) (

2 , 0) 2

(B) (

5 , 0) 2

(C) (
2

6 , 0) 2

(D) ( 3, 0)

(6)设 abc>0 ,二次函数 f ( x ) = ax + bx + c 的图像可能是

(7)设曲线 C 的参数方程为 ?

? x = 2 + 3cos θ (θ 为参数) ,直线 l 的方程为 x ? 3 y + 2 = 0 ,则曲线 C 上 ? y = ?1 + 3sin θ

到直线 l 距离为 (A)1

7 10 的点的个数为 10
(C)3 (D)4

(B)2

(8)一个几何体的三视图如图。该几何体的表面积为

(A)280

(B)292

(C)360

(D)372

(9) 动点 A( x, y ) 在圆 x 2 + y 2 = 1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转, 秒旋转一周.已知时间 t = 0 时, 12

点 A 的坐标是 ( , 是 (A) [ 0,1]

1 3 ) ,则当 0≤t≤12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t (单位:秒)的函数的单调递增区间 2 2

(B) [1, 7 ]

(C) [ 7,12]

(D) [ 0,1] 和 [ 7,12]

(10)设 {an } 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X , Y , Z ,则下列等式中恒 成立的是 (A) X + Z = 2Y (C) Y 2 = XZ (B) Y (Y ? X ) = Z ( Z ? X ) (D) Y (Y ? X ) = X ( Z ? X )

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分) 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. .................. 小题, 把答案填在答题卡的相应位置. 二.填空题:本大 题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. 填空题: (11)命题“对任何 x∈R ,|x-2|+|x-4|>3”的否定是___

(12) (

x y 6 ? ) 的展开式中, x3 的系数等于____ y x

?2 x ? y + 2 ≥ 0 ? (13)设 x,y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ≤ 0 ,若目标函数 z = abx + y ( a > 0, b > 0) 的最大值为 8,则 a+b ? x ≥ 0, y ≥ 0 ?
的最小值为 ___

第(l4 )题图 (14)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出值 x=____. (15)甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球。乙罐中有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑球.先从甲罐中随 机取出一球放入乙罐,分别以 A1 , A2 和 A3 ,表示由甲罐取出的球是红球.白球和黑球的事件;再从乙罐 中随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是____(写出所有正确结 论的编号).

2 ; 5 5 ②P(B| A1 )= ; 11
① p( B) = ③事件 B 与事件 A1 相互独立; ④ A1 , A2 , A3 两两互斥的搴件;

⑤P(B)的值不能确定,因为它与 A1 , A2 , A3 中究竟哪一个发生有关. 小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上 解答题: 的指定区域内. 的指定区域内. (16)( (16)(本小题满分 l2 分) 设△ABc 是锐角三角形,a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对边长,并且

sin 2 A = sin( + B ) sin( ? B ) + sin 2 B 3 3
(Ⅰ)求角 A 的值;

π

π



(Ⅱ) AB ? AC = 12 ,a= 2 7 ,求 b, c (其中 b < c ) .

uuu uuuv v

(17) (本小题满分 12 分) 设 a 为实数,函数 f ( x ) = e ? 2 x + 2a, x ∈ R .
x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间与极值; (Ⅱ)求证:当 a>ln2-1 且 x>0 时, e >x ? 2ax + 1 .
x 2

(18) (本小题满分 13 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形,EF∥AB,EF⊥

FB,AB =2EF,∠BFC=90°,BF∥FC,H 为 BC 的中点.
(Ⅰ)求证:FH∥平面 EDB; (Ⅱ)求 证:AC⊥平面 EDB; (Ⅲ)求二面角 B—DE—C 的大小.

(19) (本小题满分 13 分) ,对称轴为坐标轴,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率 e = 已知椭圆 E 经过点 A(2,3) (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)求∠ F1 A F2 的角平分线所在直线 l 的方程; (Ⅲ)在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点?若存在.请找出;若不 存在,说明理由.

1 . 2

(20) (本小题满分 12 分) 设数列 a1 , a2, K an K 中的每一项 都不为 0. 证明, {an } 为等差数列的充分必要条件是:对任何 n ∈ N ,都有

1 1 1 n + +K + = . a1a2 a2 a3 an an +1 a1an +1

(21) (本小题满分 13 分) 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试,一种通常采用的测试方法如下:拿出 n 瓶外观相同但品质不同的酒 让其品尝,要求其按品质优劣为它们排序;经过一段时间,等其记忆淡忘之后,再让其品尝这 n 瓶酒,并 重新按 品质优劣为它们排序,这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分. 现设 n = 4 ,分别以 a1 , a2 , a3 , a4 表示第一次排序时被排为 1,2,3,4 的四种酒在第二次排序时的序号,并令

X = 1 ? a1 + 2 ? a2 + 3 ? a3 = 4 ? a4 ,
则 X 是对两次排序的偏离程度的一种描述. (Ⅰ)写出 X 的可能值集合; (Ⅱ)假设 a1 , a2 , a3 , a4 等可能地为 1,2,3,4 的各种排列,求 X 的分布列; (Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中,都有 X ≤2 . (i)试按(Ⅱ)中的结果,计算出现这种现象的概率(假设各轮测试相互独立) ; (ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何?说明理由.

年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科) 2010 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.

(17) (本小题满分 12 分) 本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和证明函数不等式,考查运算能 力、综合分析和解决问题的能力.

(Ⅰ)解:由 f ( x) = e ? 2 x + 2a, x ∈ R知f ′( x) = e ? 2, x ∈ R.
x x

令 f ′( x) = 0, 得x = ln 2.于是当x变化时, f ′( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ′( x) f ( x)

(?∞, ln 2)
— 单调递减

ln 2
0

(ln 2, +∞)
+ 单调递增

2(1 ? ln 2 + a )

故 f ( x ) 的单调递减区间是 (?∞, ln 2) ,单调递增区间是 (ln 2, +∞) ,

f ( x)在x = ln 2 处取得极小值,
极小值为 f (ln 2) = e ln 2 ? 2 ln 2 + 2a = 2(1 ? ln 2 + a ).
x 2 (Ⅱ)证:设 g ( x ) = e ? x + 2ax ? 1, x ∈ R ,

于是 g ′( x ) = e x ? 2 x + 2a, x ∈ R. 由(Ⅰ)知当 a > ln 2 ? 1时, g ′( x)最小值为g ′(ln 2) = 2(1 ? ln 2 + a ) > 0.

于是对任意x ∈ R, 都有g ′( x) > 0, 所以g ( x)在R内单调递增,
于是当 a > ln 2 ? 1时, 对任意x ∈ (0, +∞), 都有g ( x) > g (0), 而 g (0) = 0, 从而对任意x ∈ (0, +∞), g ( x) > 0. 即 e x ? x 2 + 2ax ? 1 > 0, 故e x > x 2 ? 2ax + 1. (18) (本小题满分 13 分) 本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明,考查二面角的求法以及利用向量知识解 决几何问题的能力,同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.

[综合法](Ⅰ)证:设 AC 与 BD 交于点 G,则 G 为 AC 的中点,连 EG,GH, 又 H 为 BC 的中点,∴ GH / /

1 1 AB, 又EF / / AB,∴ EF / /GH . 2 2

∴四边形 EFHG 为平行四边形, ∴EG//FH,而 EG ? 平面 EDB,∴FH//平面 EDB. (Ⅱ)证:由四边形 ABCD 为正方形,有 AB⊥BC,又 EF//AB, ∴EF⊥BC. 而 EF⊥ FB,∵EF⊥平面 BFC,∴EF⊥FH,∴AB⊥FH. 又 BF=FC,H 为 BC 的中点,∴FH⊥BC. ∴FH⊥平面 ABCD,∴FH⊥AC, 又 FH//BC,∴AC⊥EG.

又 AC⊥BD,EG ∩ BD=G,∴AG⊥平面 EDB.

∴ y1 = ?1, z1 = 0, 即n1 = (1, ?1, 0). uuu r uuu r CD = (0, ?2, 0), CE = (1, ?1,1),

uuu r 设平面CDE的法向量为n 2 = (1, y2 , z2 ), 则n 2 ? CD = 0, y2 = 0, uuu r n2 ? CE = 0,1 ? y2 + z2 = 0, z2 = ?1 故n 2 = (1, 0, ?1), cos < n1 , n 2 >= n1 ? n 2 = | n1 | ? | n 2 | 1 2? 2 = 1 , 2

∴< n1 , n 2 >= 60o ,
即二面角 B—DE—C 为 60°. (19) (本小题满分 13 分) 本题考查椭圆的定义及标准方程,椭圆的简单几何性质,直线的点斜式方程与一般方程,点到直线的 距离公式,点关于直线的对称等基础知识;考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创 新意识. 解: (Ⅰ)设椭圆 E 的方程为

x2 y2 + =1 a2 b2

由e =

1 c 1 , 即 = , a = 2c, 得b 2 = a 2 ? c 2 = 3c 2 , 2 a 2 x2 y2 ∴ 椭圆方程具有形式 2 + 2 = 1. 4c 3c
1 3 + 2 = 1, 解得c = 2, 2 c c

将 A(2,3)代入上式,得

∴椭圆 E 的方程为

x2 y 2 + = 1. 16 12

(Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)知 F1 ( ?2, 0), F2 (2, 0) ,所以 直线 AF1 的方程为: y =

3 ( x + 2), 即3 x ? 4 y + 6 = 0, 4 直线 AF2 的方程为: x = 2.
设 P ( x, y )为l 上任一点,则

由点 A 在椭圆 E 上的位置知,直线 l 的斜率为正数.

| 3x ? 4 y + 6 | =| x ? 2 | . 5
若 3 x ? 4 y + 6 = 5 x ? 10, 得x + 2 y ? 8 = 0 (因其斜率为负,舍去). 于是,由 3 x ? 4 y + 6 = ?5 x + 10, 得2x ? y ? 1 = 0 所以直线 l 的 方程为: 2 x ? y ? 1 = 0. 解法 2:

uuur uuuu r Q A(2,3), F1 (?2, 0), F2 (2, 0),∴ AF1 = (?4, ?3), AF2 = (0, ?3). uuur uuuu r AF1 AF2 1 1 4 r ∴ uuur + uuuu = (?4, ?3) + (0, ?3) = ? (1, 2). 3 5 | AF1 | | AF2 | 5

∴ k1 = 2,∴ l : y ? 3 = 2( x ? 1), 即2 x ? y ? 1 = 0.

得一元二次方程 3 x + 4( ?
2

1 x + m) 2 = 48, 即x 2 ? mx + m2 ? 12 = 0, 2

则 x1与x2 是该方程的两个根, 由韦达定理得 x1 + x2 = m,

1 3m ( x1 + x2 ) + 2m = , 2 2 m 3m ). ∴B,C 的中点坐标为 ( , 2 4 3m 又线段 BC 的中点在直线 y = 2 x ? 1上,∴ = m ? 1, 得m = 4. 4
于是 y1 + y2 = ? 即 B,C 的中点坐标为(2,3) ,与点 A 重合,矛盾. ∴不存在满足题设条件的相异两点. (20) (本小题满分 12 分) 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识,考查推理论证、运算求解能力. 证:先证必要性 设数列 {an }的公差为d , 若d = 0, 则所述等式显然成立, 若 d ≠ 0 ,则

1 1 1 + +L + a1 a2 a2 a3 an an +1 = = = a ? an 1 a2 ? a1 a3 ? a2 ( + + L + n +1 ) d a1 a2 a2 a3 an an +3 1 1 1 1 1 1 1 (( ? ) + ( ? ) + L + ( ? )) d a1 a2 a2 a3 an an +1 1 1 1 1 an +1 ? a1 ( ? )= d a1 an +1 d a1 an +1
n . a1 an +1

=

再证充分性. 证法 1: (数学归纳法)设所述的等式对一切 n ∈ N + 都成立,首先,在等式

1 1 2 + = a1 a2 a2 a3 a1 a3



两端同乘 a1 a2 a3 , 即得a1 + a3 = 2a2 , 所以a1 , a2 , a3 成等差数列, 记公差为 d , 则a2 = a1 + d .

(21) (本小题满分 13 分) 本题考查离 散型随机变量及其分布列,考查在复杂场合下进行计数的能力,通过设置密切贴近生产、 生活实际的问题情境,考查概率思想在现实生活中的应用,考查抽象概括能力、应用与创新意识. 解: (I) X 的可能值集合为{0,2,4,6,8}. 在 1,2,3,4 中奇数与偶数各有两个,所以 a2 , a4 中的奇数个数等于 a1 , a3 中的偶数个数,因此

| 1 ? a1 | + | 3 ? a3 | 与 | 2 ? a2 | + | 4 ? a4 | 的奇偶性相同,

从而 X = (| 1 ? a1 | + | 3 ? a3 |) + (| 2 ? a2 | + | 4 ? a4 |) 必为偶数.

X 的值非负,且易知其值不大于 8. 容易举出使得 X 的值等于 0,2,4,6,8 各值的排列的例子.
(Ⅱ)可用列表或树状图列出 1,2,3,4 的一共 24 种排列,计算每种排列下的 X 值,在等可能的假 定下,得到

X P

0

2

4

6

8

1 3 7 9 24 24 24 24

4 24 4 1 = ,将三轮测试都有 X ≤ 2 的概率记做 p, 24 6

(Ⅲ) (i)首先 P ( X ≤ 2) = P ( X = 0) + P ( X = 2) = 由上述结果和独立性假设,得

p=

1 1 = . 3 216 6 1 5 < 是一个很小的概率, 这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有 X ≤ 2 的 216 1000

(ii) 由于 p =

结果的可能性很小,所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能,不是靠随机猜测.


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