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高中数学解题基本方法2


二、换元法 解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化, 这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换 研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题 简单化,变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、 变量代换法。 通过引进新的变量, 可以把分散的条件联系起来, 隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和 推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究 方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元,是在已知 或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通 过变形才能发现。例如解不等式:4 x +2 x -2≥0,先变形为设 2 x =t(t>0),而变为熟悉 的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角 知识中有某点联系进行换元。如求函数 y= x + 1 ? x 的值域时,易发现 x∈[0,1],设 x =sin 2 α ,α∈[0,

π
2

],问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中

主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如变量 x、y 适合条件 x 2 +y 2 =r 2(r>0) 时,则可作三角代换 x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。 均值换元,如遇到 x+y=S 形式时,设 x=

S S +t,y= -t 等等。 2 2

我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范 围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。如上几例 中的 t>0 和α∈[0,

π
2

]。

Ⅰ、再现性题组: 再现性题组: 1.y=sinx·cosx+sinx+cosx 的最大值是_________。 2.设 f(x 2 +1)=log a (4-x 4 ) (a>1) ,则 f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{a n }中,a 1 =-1,a n+1 ·a n =a n+1 -a n ,则数列通项 a n =___________。 4.设实数 x、y 满足 x 2 +2xy-1=0,则 x+y 的取值范围是___________。

5.方程

1 + 3? x =3 的解是_______________。 1 + 3x

6.不等式 log 2 (2 x -1) ·log 2 (2 x +1 -2)〈2 的解集是_______________。

t2 1 【简解】 小题: sinx+cosx=t∈[- 2 , 2 ], y= 1 设 则 +t- , 对称轴 t=-1, 2 2
当 t= 2 ,y max =
2

1 + 2; 2
2

2 小题: x +1=t (t≥1), f(t)=log a [-(t-1) +4], 设 则 所以值域为(-∞,log a 4]; 3 小题:已知变形为

1 a n+1



1 1 =-1,设 b n = ,则 b 1 =-1,b n =-1+(n-1)(-1) an an

=-n,所以 a n =-

1 ; n

4 小题:设 x+y=k,则 x 2 -2kx+1=0, △=4k 2 -4≥0,所以 k≥1 或 k≤-1; 5 小题:设 3 x =y,则 3y 2 +2y-1=0,解得 y=

1 ,所以 x=-1; 3 5 ,log 2 3)。 4
1 S max

x 6 小题:设 log 2 (2 -1)=y,则 y(y+1)<2,解得-2<y<1,所以 x∈(log 2

Ⅱ、示范性题组: 示范性题组: 例 1. 实数 x、 满足 4x 2 -5xy+4y 2 =5 y 的值。 (93 年全国高中数学联赛题) 【 分 析 】 由 S = x 2 + y 2 联 想 到 cos 2 α + sin 2 α = 1, 于 是 进 行 三 角 换 元 , 设 ( ①式) , S=x 2 +y 2 , 设 求 +

1 S min

? x = S cos α ? 代入①式求 S max 和 S min 的值。 ? ? y = S sin α ?
【解】设 ?

? x = S cos α ? ? y = S sin α ?

代入①式得: 4S-5S·sinαcosα=5

解得 S=

10 ; 8 ? 5 sin 2α


∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8-5sin2α≤13

10 10 10 ≤ ≤ 13 8 ? 5 sin α 3



1

S max



1

S min



3 13 16 8 + = = 10 10 10 5

此种解法后面求 S 最大值和最小值,还可由 sin2α= 式:|

8S ? 10 |≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法” 。 S

8 S ? 10 的有界性而求,即解不等 S

【另解】 由 S=x +y ,设 x =

2

2

2

S S S S 2 +t,y = -t,t∈[- , ], 2 2 2 2

S2 S2 2 -t 代入①式得:4S±5 -t 2 =5, 则 xy=± 4 4
移项平方整理得 100t +39S -160S+100=0 。 ∴ 39S -160S+100≤0 解得:
2 2 2

10 10 ≤S≤ 13 3



1 S max



1 S min



3 13 16 8 + = = 10 10 10 5

【注】 此题第一种解法属于“三角换元法” ,主要是利用已知条件 S=x 2 +y 2 与三角公 式 cos 2 α+sin 2 α=1 的联系而联想和发现用三角换元,将代数问题转化为三角函数值域 问题。第二种解法属于“均值换元法” ,主要是由等式 S=x 2 +y 2 而按照均值换元的思路, 设 x 2 = S +t、y 2 = S -t,减少了元的个数,问题且容易求解。另外,还用到了求值域的
2 2

几种方法:有界法、不等式性质法、分离参数法。 和“均值换元法”类似,我们还有一种换元法,即在题中有两个变量 x、y 时,可以设 x =a+b,y=a-b,这称为“和差换元法” ,换元后有可能简化代数式。本题设 x=a+b,y =a-b,代入①式整理得 3a 2 +13b 2 =5 ,求得 a 2 ∈[0, =2(a 2 +b 2 )=

5 ],所以 S=(a-b) 2 +(a+b) 2 3

10 20 2 10 10 1 1 + a ∈[ , ],再求 + 的值。 13 13 13 3 S max S min

例 2. △ABC 的三个内角 A、B、C 满足:A+C=2B,

1 1 2 + =- ,求 cos A cos C cos B

cos

A?C 的值。 (96 年全国理) 2
【 分 析 】 由 已 知 “ A + C = 2B ” 和 “ 三 角 形 内 角 和 等 于 180 ° ” 的 性 质 , 可 得

? A + C = 120 ° ? A= 60 ° + α ;由“A+C=120°”进行均值换元,则设 ? ,再代入可 ? ? B= 60 ° ?C= 60 °-α
求 cosα即 cos

A?C 。 2
? A + C = 120 ° ? B= 60 °
,

【解】由△ABC 中已知 A+C=2B,可得 ?

由 A+C=120°,设 ?

? A= 60 ° + α ?C= 60 °-α

,代入已知等式得:

1 1 1 1 1 + = + = cos( 60°+α ) cos( 60°?α ) cos A cos C 1 3 cos α ? sin α 2 2
1 3 1 cos α + sin α 2 2
解得:cosα= =



cos α cos α = =-2 2 , 1 3 2 3 2 2 cos α ? sin α cos α ? 4 4 4
即:cos

2 , 2

A? C 2 = 。 2 2

【另解】由 A+C=2B,得 A+C=120°,B=60°。所以

1 1 2 + =- cos A cos C cos B

=-2 2 ,设 所以 cosA=

1 1 =- 2 +m, =- 2 -m , cos A cos C
,cosC=

1

1

? 2+m

? 2?m

,两式分别相加、相减得:

cosA+cosC=2cos

A+ C A? C A? C 2 2 cos =cos = 2 , 2 2 2 m ?2 A+ C A? C A? C 2m sin =- 3 sin = 2 , 2 2 2 m ?2

cosA-cosC=-2sin

即:sin

A? C 2m 2 2 A? C A? C =- ,=- 2 ,代入 sin 2 +cos 2 =1 整理 2 2 2 2 m ?2 3( m ? 2 )
A? C 2 2 2 = 2 = 。 2 2 m ?2

得:3m 4 -16m-12=0,解出 m 2 =6,代入 cos

【注】 本题两种解法由“A+C=120°”“ 、

1 1 + =-2 2 ”分别进行均值 cos A cos C

换元,随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算,除由已知想到均值换元外,还要求对 三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元,也可由三角运算直接解出:由 A+C =2B, A+C=120°, 得 B=60°。 所以

1 1 2 + =- =-2 2 , cosA+cosC 即 cos A cos C cos B

=-2 2 cosAcosC,和积互化得:

2cos

A+ C A? C A? C 2 cos =- 2 [cos(A+C)+cos(A-C), cos 即 = - 2 cos(A-C) 2 2 2 2



2 A? C 2 A? C 2 A? C - 2 (2cos -1),整理得:4 2 cos +2cos -3 2 =0, 2 2 2 2
A? C 2 = 2 2

解得:cos

例 3. 设 a>0, f(x)=2a(sinx+cosx)-sinx· 求 cosx-2a 2 的 最大值和最小值。 y , ,
2

【解】 设 sinx+cosx=t,则 t∈[- 2 , 2 ],由(sinx+ - 2 cosx) 2 =1+2sinx·cosx 得:sinx·cosx=

x

t2 ?1 2

1 1 (t-2a) 2 + (a>0) ,t∈[- 2 , 2 ] 2 2 1 t=- 2 时,取最小值:-2a 2 -2 2 a- 2 1 当 2a≥ 2 时,t= 2 ,取最大值:-2a 2 +2 2 a- ; 2 1 当 0<2a≤ 2 时,t=2a,取最大值: 。 2
∴ f(x)=g(t)=-

?1 2 ) ? (0 < a < 1 ?2 2 2 ∴ f(x)的最小值为-2a -2 2 a- ,最大值为 ? 。 2 1 2 ? 2 ? ? 2a + 2 2 a ? 2 ( a ≥ 2 ) ?
【注】 此题属于局部换元法,设 sinx+cosx=t 后,抓住 sinx+cosx 与 sinx·cosx 的内在联系, 将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题, 使得容易求解。 换元过程中一定要注意新的参数的范围(t∈[- 2 , 2 ])与 sinx+cosx 对应,否则将会 出错。 本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法, 即由对称轴与闭区间的位 置关系而确定参数分两种情况进行讨论。 一般地,在遇到题目已知和未知中含有 sinx 与 cosx 的和、差、积等而求三角式的最大 值和最小值的题型时,即函数为 f(sinx±cosx,sinxcsox),经常用到这样设元的换元法, 转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。

4( a + 1) 2a (a + 1) 2 例 4. 设对所于有实数 x,不等式 x log 2 +2x log 2 +log 2 >0 a a +1 4a 2
2

恒成立,求 a 的取值范围。 (87 年全国理)

4( a + 1) 2a ( a + 1) 2 【分析】不等式中 log 2 、 log 2 、log 2 三项有何联系?进行对 a a +1 4a 2
数式的有关变形后不难发现,再实施换元法。 【解】 设 log 2 log 2

4( a + 1) 2a 8( a + 1) a +1 =t,则 log 2 =log 2 =3+log 2 =3- a a +1 2a 2a

2a (a + 1) 2 a +1 =3-t,log 2 =2log 2 =-2t, 2 a +1 2a 4a

代入后原不等式简化为(3-t)x 2 +2tx-2t>0,它对一切实数 x 恒成立,所以:

?3 ? t > 0 ?t < 3 ,解得 ? ? 2 ?t < 0或t > 6 ? ? = 4t + 8t ( 3 ? t ) < 0
0<

∴ t<0 即 log 2

2a <0 a +1

2a <1,解得 0<a<1。 a +1
【注】应用局部换元法,起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何

设元,关键是发现已知不等式中 log 2

4( a + 1) 2a (a + 1) 2 、 log 2 、log 2 三项之间的联 a a +1 4a 2

系。在解决不等式恒成立问题时,使用了“判别式法” 。另外,本题还要求对数运算十分熟 练。一般地,解指数与对数的不等式、方程,有可能使用局部换元法,换元时也可能要对所 给的已知条件进行适当变形, 发现它们的联系而实施换元, 这是我们思考解法时要注意的一 点。 例 5. 已知 值。 【解】 设

sin θ cos θ cos 2 θ sin 2 θ 10 = ,且 + = 2 2 2 x y x y 3( x + y 2 )

(②式),求

x 的 y

sin θ cos θ = =k,则 sinθ=kx,cosθ=ky,且 sin 2 θ+cos 2 θ= x y
k 2x2 10k 2 k2 y2 10 + = = 3 x2 y2 3( x 2 + y 2 )
即:

k 2 (x 2 +y 2 )=1,代入②式得:

y2 x2 + 2 = x2 y

10 3

1 x2 设 2 =t,则 t+ = 10 , t y 3

解得:t=3 或

1 3



x 3 =± 3 或± y 3

【另解】 由

x sin θ cos 2 θ = =tgθ,将等式②两边同时除以 ,再表示成含 tgθ y cos θ x2
2

的式子:1+tg θ= (1 + tg θ ) ×
4

10 3(1 + 1 ) tg 2θ



10 2 2 2 tg θ,设 tg θ=t,则 3t —10t+3 3

=0, ∴t=3 或

1 , 3

解得

x 3 =± 3 或± 。 y 3

【注】 第一种解法由

sin θ cos θ = 而进行等量代换, 进行换元, 减少了变量的个数。 x y

第二种解法将已知变形为

x sin θ = ,不难发现进行结果为 tgθ,再进行换元和变形。两 y cos θ

种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时,都使用了换元法使方程次数降低。

( x ?1)2 ( y + 1) 2 + =1,若 x+y-k>0 恒成立,求 k 的范围。 例 6. 实数 x、y 满足 9 16 ( x ? 1)2 ( y + 1) 2 + =1,可以发现它与 a 2 +b 2 =1 有相似之处, 【分析】由已知条件 9 16
于是实施三角换元。 【解】由

x ?1 ( x ? 1)2 ( y + 1) 2 y +1 + =1,设 =cosθ, =sinθ, 9 16 3 4
代入不等式 x+y-k>0 得:

即: ?

? x = 1 + 3 cos θ ? y = ?1 + 4 sin θ

3cosθ+4sinθ-k>0,即 k<3cosθ+4sinθ=5sin(θ+ψ) 所以 k<-5 时不等式恒成立。 【注】本题进行三角换元,将代数问题(或者是解析几何问题)化为了含参三角不等式 恒成立的问题,再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题,从而求出参数范围。一 般地,在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时,或者在解决圆、椭圆、双曲线等 有关问题时,经常使用“三角换元法” 。 本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法: 在平面直角坐标系, 不等式 ax+by +c>0 (a>0)所表示的区域为直线 ax+by+c=0 所分平面成两部分中含 x 轴正方向的一部 分。此题不等式恒成立问题化为图形问题:椭圆上的点始终位于平面上 x+y-k>0 的区域。 即当直线 x+y-k=0 在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时,方程组

?16( x ? 1) 2 + 9( y + 1) 2 = 144 有相等的一组实数解,消元后由△=0 可求得 k=-3,所以 ? ?x + y ? k = 0
k<-3 时原不等式恒成立。 Ⅲ、巩固性题组: 巩固性题组: 1. 已知 f(x )=lgx (x>0),则 f(4)的值为_____。 A. 2lg2 B.
1 lg2 3
3

C.

2 lg2 3

D.

2 lg4 3

2. 函数 y=(x+1) 4 +2 的单调增区间是______。 A. [-2,+∞) B. [-1,+∞)
2

D. (-∞,+∞)

C. (-∞,-1]

3. 设等差数列{a n }的公差 d= 1 ,且 S 100 =145,则 a 1 +a 3 +a 5 +……+a 99 的值为 _____。 A. 85

B. 72.5

C. 60

D. 52.5

4. 已知 x 2 +4y 2 =4x,则 x+y 的范围是_________________。 5. 已知 a≥0,b≥0,a+b=1,则 a + 1 + b + 1 的范围是____________。
2 2

6. 不等式 x >ax+ 3 的解集是(4,b),则 a=________,b=_______。
2

7. 函数 y=2x+ x + 1 的值域是________________。 8. 在等比数列{a n }中,a 1 +a 2 +…+a 10 =2,a 11 +a 12 +…+a 30 =12,求 a 31 +a 32 +…+a 60 。 9. 实数 m 在什么范围内取值,对任意实数 x, 不等式 sin x+2mcosx+4m-1<0 恒成立。 10. 已知矩形 ABCD,顶点 C(4,4),A 点在曲线 x 2 +y 2 =2 (x>0,y>0)上移动,且 AB、AD O
2

y

D A

C B x

始终平行 x 轴、y 轴,求矩形 ABCD 的最小面 积。


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