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双曲线及其标准方程_图文

双曲线及其标准方程

知识回顾
1.双曲线的定义及其注意点; 2.双曲线的标准方程及a,b,c间的关系; 3.椭圆与双曲线的比较.

双曲线定义及标准方程
定义

| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
M
M F2

y

图象
F1

o

F2

x
F1

x

方程
焦点
a.b.c 的关系

x y ? 2 ?1 2 a b
F ( ±c, 0)

2

2

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b
F(0, ± c)
2 2

c ?a ?b
2

双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭 定义 方程 圆

双曲线
||MF1|-|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a

2 2 x2 y 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b

焦点

F(±c,0) F(0,±c)

F(±c,0) F(0,±c) a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a.b.c a>b>0,a2=b2+c2 的关系

巩固练习

1. 方程mx2-my2=n中mn<0,则其表示焦点在 x 轴上 的 双曲线 . 2. 若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在y轴上的
双曲线,则k? (-1, 1)
2 2

.

x ? y ?1 3. 双曲线 的焦点坐标是 (0, ? 4 ? k ) . k 4
4. 双曲线 2 x 2 ? y 2 ? k 的焦距是6,则k= ?6 .
2 y x ? 5. 若方程 | k | ?2 5 ? k ? 1 表示双曲线,求实数k的 2

取值范围. -2<k<2或k>5

例1.已知双曲线的焦点在y轴上,并且两点P1 (3, ?4 2 ) 、 P2 (9/4 ,5)在双曲线上,求双曲线的标准方程。
2 2 y x 解:由题意可设双曲线方程为 ? 2 ?1 (a ? 0,b ? 0) 2 a b 把点P1,P2坐标代入得

?(?4 2)2 9 ? 2 ? 1 ? 2 b ? a ? 9 2 ( ) ? 25 ? 2 ? 42 ? 1 ?a b

?a 2 ? 16 ? ? 2 ?b ? 1

y2 x2 所以所求双曲线的标准方程为 ? ?1 16 9

变题:若去掉焦点在y轴上的条件,如何?


(2)定型(求a,b,c的值)



1.用待定系数法求双曲线的标准方程的步骤:

(1)定位(确定焦点所在位置)

2.已知双曲线过两点,而又不能确定其焦点位 置时,可不讨论而设方程为Ax2-By2=1(AB>0), 避免讨论.

例2.已知B(-5,0),C(5,0)是ΔABC的两个顶点,且 3 sinB-sinC= sinA,求顶点A的轨迹方程. 5
解:根据条件,由正弦定理得:∣AC∣-∣AB∣=3/5∣BC∣=6 所以 点A的轨迹为以B,C为焦点的双曲线的右支 2a=6,c=5 ∴a=3,c=5,b=4

x2 y2 ? ?1 所以A 的轨迹方程为 9 16

(x>0,y≠0)

变题. 已知动圆与定圆C1:(x+5)2+y2=49, C2: (x-5)2+y2=1都外切,求动圆圆心的轨迹方程.

例3.一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比 在B处晚2s. (1)爆炸点应在什么样的曲线上? (2)已知A,B两地相距800m,并且此时声速为340m/s,求 曲线方程.
P

A

B

思考

如果A,B两处同时听到爆炸声,那么爆炸点应 在什么样的曲线上?

练习:证明椭圆

x y ? ?1 25 9

2

2

与双曲线

x2-15y2=15的焦点相同. 变式: 上题的椭圆与双曲线的一个交点为P, 焦点为F1,F2,求|PF1|.
分析:
? |PF1|+|PF2|=10, ? ?| PF1 | ? | PF2 |? ?2 15.

1.用待定系数法求双曲线标准方程的步骤: (1)定位:确定焦点位置,若不能确定,应分类讨论 定型:求a,b,c 的值. (2)若过两点,无法判断焦点位置,这时可设为 AX2-BY2=1 (AB>0) 2.用定义法求双曲线标准方程的注意事项: 何时为双曲线一支,何时为双曲线两支?

作业

课本108页习题8.3 第3(3), 4, 5, 6题

x2 y 2 3.已知双曲线 2 ? 2 ? 1的左、右焦点分别 a b

为F1、F2,点M为双曲线上任意一点,并且 ∠F1MF2=θ,求ΔF1MF2的面积.