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【K12小初高学习】新版高中数学人教A版选修2-1习题:第三章空间向量与立体几何 3.2.3

k12 小初高学习小初高学习 第 3 课时 用向量方法求空间中的角 课时过关· 能力提升 基础巩固 1 若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°,则直线 l 与平面 α 所成的角等于 ( ) B.60° D.以上均错 A.120° C.30° 解析: ∵l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角为 120°, ∴它们所在直线的夹角为 60°. 则直线 l 与平面 α 所成的角为 90°-60°=30°. 答案: C 2 设四边形 ABCD,ABEF 都是边长为 1 的正方形,FA⊥平面 ABCD,则异面直线 AC 与 BF 所成的角 等于 A.45° ( ) C.90° D.60° B.30° 解析: 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),F(0,0,1),B(0,1,0),C(1,1,0), ∴ ∴ =(1,1,0), =-1. =(0,-1,1). 精英学习计划页脚内容 k12 小初高学习小初高学习 设异面直线 AC 与 BF 所成的角为 θ, ∴cos θ=|cos< >|= . 又∵θ∈(0°,90°],∴θ=60°. 答案: D 3 若 a=(λ,1,2)与 b=(2,-1,-2)的夹角为钝角,则实数 λ 的取值范围为( ) A.λ< B.λ< ,且 λ≠-2 C.λ≥ ,且 λ≠4 D.λ≥ 解析: 由已知,得 a· b=2λ+(-1)-4<0,即 λ< . 而|a|= ,|b|=3,又<a,b>为钝角, ∴ 答案: B ≠-1,即 λ≠-2. 4 若斜线段与它在平面 α 内射影的长之比是 2∶1,则 AB 与平面 α 所成角为( ) A. B. C. π D. π 精英学习计划页脚内容 k12 小初高学习小初高学习 解析: 设 AB 与平面 α 所成角为 θ,由题意知 cos θ= ,则 AB 与平面 α 所成角为 . 答案: B 5 若平面 α 的一个法向量为 n=(4,1,1),直线 l 的一个方向向量为 a=(-2,-3,3),则 l 与 α 所成角的余 弦值为 ( ) A.- B. C.- D. 解析: cos<a,n>= =- , 故 l 与 α 所成角的余弦值为 答案: D . 6 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,二面角 A-BD1-B1 的大小为 解析: 如图,以点 C 为原点建立空间直角坐标系. . 设正方体的边长为 a,则 A(a,a,0),B(a,0,0),D1(0,a,a),B1(a,0,a), ∴ =(0,a,0), =(-a,a,a), =(0,0,a). 设平面 ABD1 的法向量为 n=(x,y,z), 则 n· =(x,y,z)· (0,a,0)=ay=0, 精英学习计划页脚内容 k12 小初高学习小初高学习 n· =(x,y,z)· (-a,a,a)=-ax+ay+az=0. ∵a≠0,∴y=0,x=z. 令 x=z=1,则 n=(1,0,1), 同理,求得平面 B1BD1 的法向量 m=(1,1,0), ∴cos<n,m>= ,∴<n,m>=60°. 而二面角 A-BD1-B1 为钝角,故为 120°. 答案: 120° 7 在正四棱锥 P-ABCD 中,高为 1,底面边长为 2,E 为 BC 的中点,则异面直线 PE 与 DB 所成的角 为 . 解析: 建立坐标系如图,则 B(1,1,0),D(-1,-1,0),E(0,1,0),P(0,0,1), ∴ =(2,2,0), =(0,1,-1). ∴cos< >= . ∴< >= .∴PE 与 DB 所成的角为 . 答案: 8 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 DA=DC=4,DD1=3,则异面直线 A1B 与 B1C 所成角的余弦值 为 . 精英学习计划页脚内容 k12 小初高学习小初高学习 答案: 9 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 是棱 AB 上的动点.若异面直线 AD1 与 EC 所成角为 60°,试确定此时动点 E 的位置. 解: 以 DA 所在直线为 x 轴,以 DC 所在直线为 y 轴,以 DD1 所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系. 设 E(1,t,0)(0≤t≤2), 则 A(1,0,0),D(0,0,0),D1(0,0,1),C(0,2,0), =(1,0,-1), =(1,t-2,0), · cos 60°, 根据数量积的定义及已知得:1+0×(t-2)+0= 所以 t=1.所以点 E 的位置是 AB 的中点. 10 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,已知 PA⊥平面 ABCD,且四边形 ABCD 为直角梯形,∠ABC=∠ BAD= ,PA=AD=2,AB=BC=1.求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值. 精英学习计划页脚内容 k12 小初高学习小初高学习 解: 以{ }为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz,则各点的坐标为 B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2). 因为 AD⊥平面 PAB,所以 因为 =(1,1,-2), 是平面 PAB 的一个法向量, =(0,2,0). =(0,2,-2). 设平面 PCD 的法向量为 m=(x,y,z), 则 m· =0,m· =0. 即 令 y=1,解得 z=1,x=1. 所以 m=(1,1,1)是平面 PCD 的一个法向量. 从而 cos< ,m>= , 所以平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值为 . 能力提升 1 已知 E,F 分别是棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BC,CC1 的中点,则截面 AEFD1 与底面 ABCD 所成二面角的正